Исследоательская работа 'Трапеция в заданиях ОГЭ'

Министерство образования и науки Республики Бурятия

М О «Мухоршибирский район»

МБОУ «Мухоршибирская средняя общеобразовательная школа №2»

Конференция «Шаг в будущее»

Исследовательская работа на тему:

Трапеция в задачах ОГЭ.

Работу выполнил ученик 9 класса

Руководитель:

Кривогорницына Ольга Ивановна.

С, Мухоршибирь

2015 г.

Содержание:

1. Введение.

2. Основная часть

3. Вывод.

4. Литература.

1. Введение.

Известно, какую большую роль играет геометрия в науке и образовании. На протяжении всей истории человечества она служила источником развития не только математики, но и многих других наук. Именно в ней появились первые теоремы и доказательства. Сами законы математического мышления формировались с помощью геометрии.

Многие геометрические задачи способствовали появлению новых научных направлений. Наоборот, решение многих научных проблем получено с использованием геометрических методов.

Понятие трапеции вводится в среднем звене и рассматривается на всём протяжении изучения геометрии, используется не только в школьном курсе геометрии, но так же является одним из базовых понятий курсов высшего образования, такие как высшая математика, линейная алгебра, численные методы, экономика, программирование, физика, теоретическая механика, сопротивление металлов т.д.

Изучение геометрической фигуры трапеция полезно тем, что при решении задач на этой фигуре закрепляются знания, полученные ранее (свойства треугольников, подобие треугольников, свойства параллельных прямых и т.д.)

Не случайно в прототипах номер 26 заданий ОГЭ почти четверть всех задач посвящено трапеции. Мне очень захотелось научиться решать эти задачи. Мне показалось, что моих школьных знаний не достаточно для решения этих задач. Тогда я решила более глубоко и подробно изучить свойства трапеции.

Цель работы: изучить теорию о трапеции, чтобы полученные знания позволяли решать задачи прототипа 26 о трапеции.

Задачи исследования:

1. Изучить теоретический материал о трапеции

2. Решить задачи о трапеции в 26 задании ОГЭ.

3. Выделить в решении задач тот теоретический материал который позволил бы мне решить эти задачи более рациональным способом.

Методы исследования:

• наблюдения

• статистический

• аналитическое чтение

Объект исследования нашей работы - трапеции.

Гипотеза: существуют общие методы решения задач на трапецию.

Практическая ценность данного исследования заключается в использовании полученных результатов для более качественной подготовки к экзамену. Эта работа позволит раскрыть возможности методов решения задач на трапецию

2. Основная часть.

Теоретическая часть.

Понятие трапеции формировалось длительного периода времени. Сначала трапецией называли любой четырёхугольник, не являющийся параллелограммом. Именно в таком смысле термин «трапеция» использовал Евклид в своих «Началах». В ХVIII веке понятие трапеции приобретает современное значение.

Трапе́ция (от τραπέζιον - «столик»; τράπεζα - «стол, еда») - четырёхугольник, как минимум две противоположные стороны которого параллельны. Две параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие - это боковые стороны. Средняя линия - отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Элементы трапеции

Прямоугольная трапеция

Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой

• Параллельные стороны называются основаниями трапеции.

• Две другие стороны называются боковыми сторонами.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется трапеции.

Виды трапеций. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой, равнобочной или равнобедренной трапецией.

• Трапеция, имеющая углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Общие свойства

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

• Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.

• (Обобщённая ). Параллельные прямые, пересекающие стороны , отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

• В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен (), где и - основания трапеции (формула Буракова).

• Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

• Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

• Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей подобны.

• Треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие.

• Если отношение оснований равно , то отношение площадей треугольников, лежащих на основаниях, равно .

Свойства и признаки равнобокой трапеции.

• Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.

• Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований

• Углы при любом основании равны.

• Длины диагоналей равны.

• Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность.

• Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно . Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).

• В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

• Если трапеция равнобедренная, то около неё можно .

• Если в трапецию с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка - и , - то .

Площадь.

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для .

• В случае, если и - основания и - высота, формула :

• В случае, если - средняя линия и - высота, формула :

* Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

Практическая часть.

Рассмотрим задачи из банка заданий прототип 26

Прототип задания 26 (№ 324600)

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Прототип задания 26 (№ 324601)

В трапеции боковая сторона перпендикулярна основанию . Окружность проходит через точки и и касается прямой в точке . Найдите расстояние от точки до прямой , если , .

В трапеции АВСД продлим стороны AB и CD до пересечения в точке S. Прямая EK будет перпендикулярна стороне CD, так как точка K проекция точки E на прямую CD. M - ,будет проекцией точки C на прямую AD.

Если угол ∠CAD = α, а CD=x, так как MD=4-3=1, то:

cosα=MD/DC = 1/x

Из подобия треугольников SBC и SAD находим, что SC = 3x. Поэтому:

SE²=SD*SC=12x²

Значит можно найти

SE=2x√3; EK=SE*cos∠SEM=SE*cos∠SDA=SE*cosα=2x√3 / x = 2√3

Ответ: ЕК= 2√3

Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение - достроили трапецию до треугольника.

Прототип задания 26 (№ 324603)

Боковые стороны и трапеции равны соответственно 8 и 10, а основание равно 2. Биссектриса угла проходит через середину стороны . Найдите площадь трапеции.

5, а это значит, что нижнее основание равно 2+ AD/2=5, 2+ AD=10, AD=8 - тогда полусумма оснований будет равна 5.

Проведем высоты трапеции. Высоты отсекут от нижнего основания трапеции отрезки AM и ND, которые мы обозначим a и b. Тогда высоту трапеции можно записать для прямоугольного треугольника ABM:

h²=8²-a²

Высоту можно записать и в треугольнике CND:

h²=10²-b²

Приравняем данные два выражения: 8²-a²=10²-b²

Это выражение можно переписать так: b²-a²=10²-8²

А теперь разложим правую и левую части как разность квадратов:

(b+a)(b-a)=(10+8)(10-8)=18*2=36

Сумму отрезков a и b легко определить как разность оснований трапеции: a+b=8-2=6

Подставим данную сумму в предыдущее уравнение: 6(b-a)=36, или b-a=6

Составим систему: b+a=6

b-a =6

Сложив два уравнения системы, найдем: 2b=12, b=6.

Теперь можно найти высоту трапеции и ее площадь: h²=100-36 = 64 h=8.

S=.(2+8)*8=40

Ответ: 40

Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение - провели среднюю линию трапеции (отрезок параллельный основанию).

.

Прототип задания 26 (№ 324613)

Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

Решение:

Решение задачи:

Треугольники AOD и BOC -подобны по двум углам.
Следовательно, BC/AD=OC/AO=1/3
Проведем через точку пересечения диагоналей отрезок, перпендикулярный основаниям.
Рассмотрим треугольники AOF и COE.
∠OAF=∠OCE ( накрест лежащие углы).
∠AFO=∠CEO=90°
Следовательно, данные треугольники подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда, OC/AO=OE/OF=1/3
Для простоты обозначим BC как 1x, а AD как 3x
По формуле GH=2*1x*3x/(1x+3x)=6x²/4x=3x/2
Площадь верхней трапеции:
S₁=(BC+GH)*EO/2=(1x+3x/2)*EO/2=(2x+3x)*EO/4=5x*EO/4
Площадь нижней трапеции
S₂=(AD+GH)*OF/2=(3x+3x/2)*OF/2=(6x+3x)*OF/4=9x*OF/4
S₁/S₂=(5x*EO/4)/(9x*OF/4)=(5x*EO)/(9x*OF)=5EO/9OF=5*1/(9*3)=5/27
Ответ: 5/27

Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение - провели через точку пересечения диагоналей отрезок, перпендикулярный основаниям и прямую параллельную основаниям.

Прототип задания 26 (№ 324615)

Углы при одном из оснований трапеции равны и , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.

Посмотрим на рисунок. Для начала предположим, что средняя линия NM=11, а вторая линия, соединяющая середины оснований HS=10.

В условии этой задачи самое важное - это сумма углов при основании. Если заметить, что сумма этих углов равна 90 градусам - догадаться, как решается задача, совсем просто. Достроим нашу трапецию до треугольника. Треугольник AOD - прямоугольный (по теореме о сумме углов треугольника). Треугольники AOD, KLO, BOC подобны (по двум углам, так как углы при основаниях этих треугольников - соответственные, а прямые BC, KL , AD - параллельны по условию). Так как треугольник AOD - прямоугольный, то, если описать около него окружность, то ее центр будет лежать на середине гипотенузы AD, в точке M, AD - диаметр этой окружности. Поэтому, если провести медиану к гипотенузе AD из вершины O, то она будет равна радиусу окружности и половине AD: AM=MD=MO. Тогда треугольники AOM, KNO, BSO - равнобедренные. Кроме того, NО - медиана треугольника KLO и разделит его основание пополам: NK=NL=NO=5,5. Если же ON=5,5, то SO=ON-NS=0,5. (Отрезок SN равен 5, так как NL - средняя линия трапеции MSCD, и разделит MS пополам). Так как BS=SC=SO=0,5, то BC=1, и тогда из теоремы о средней линии AD=21.

Ответ: 1,21

Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение - достроили трапецию до треугольника.

Прототип задания 26 (№ 324616)

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 3 и 4, а средняя линия равна 2,5.

D"

Для того, чтобы решить эту задачу, перенесем диагональ BD вправо на длину верхнего основания трапеции ВС, образовав таким образом треугольник ACD':

Сторона АС нашего треугольника является диагональю трапеции и равна 3, сторона СD' - это вторая диагональ, равная 4. Основание треугольника AD'- сумма длин оснований трапеции, а так как нам известна средняя линия, то можно узнать и сумму оснований: 2,5*2=5. Таким образом, в треугольнике ACD' мы знаем длины всех его сторон.

Теперь вернемся к цели задачи: надо определить площадь трапеции. Она равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции. Но площадь треугольника ACD' равна половине произведения основания на высоту, а высота у него такая же, как и у трапеции, и половина основания - ни что иное, как средняя линия трапеции, или полусумма ее оснований! То есть искомая площадь трапеции и площадь треугольника ACD' равны. Осталось найти площадь треугольника ACD', т.к. 3²+4²=5², т по теореме обратной теореме Пифагора треугольник ACD' прямоугольный. S=.4*3=6 или по формуле Герона:

. Здесь p - полупериметр, в нашем случае половина периметра равна р=(5+4+3):2=6

Тогда: S=6

Ответ: 6.

Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение -провели отрезок параллельный одной из диагоналей.

Прототип задания 26 (№ 324619)

В трапеции основания и равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании равна . Найдите радиус окружности, проходящей через точки и и касающейся прямой , если .

Из того, что сумма углов при основании АД равна 90º, следует, что продолжение АВ и СД пересекаются под углом 90º.
Достроим трапецию до прямоугольного треугольника АЕД
треугольники ВЕС и АЕД - подобны.
∠ Е в них - общий,ВС||АД,∠ ЕСВ=∠ЕДА по свойству углов при пересечении параллельных прямых секущей.
Коэффициент подобия АД:ВС=36:12=3
Тогда АЕ:ВЕ=3
АЕ=АВ+ВЕ
(АВ+ВЕ):ВЕ=3
(10+ВЕ):ВЕ=3
10+ВЕ=3ВЕ
2ВЕ=10, ВЕ=5
Пусть точка касания окружности и прямой СД будет F
Соединим центр О окружности с вершиной В трапеции и точкой касания М.
Так как углы ОFE и АEF прямые, ОF и АE - параллелльны.
Рассмотрим треугольник АОВ.Его стороны АО и ОВ, являясь радиусами окружности, равны.
Треугольник АОВ - равнобедренный.
Проведем в нем высоту ОK.Эта высота - и медиана ( треугольник ведь равнобедренный).Следовательно, KВ =АВ/2=10/2=5.
Рассмотрим четырехугольник KEFО.Это прямоугольник с равными сторонами KE=FО.FО - радиус окружности.
КE=KВ+ВE=5+5=10
FО=КE=10
Радиус окружности равен 10.

Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение - достроили трапецию до прямоугольного треугольника.

3. Вывод.

Проанализировав все решённые задачи, я пришёл к такому выводу.

Чтобы понять, как решать задачи с трапецией, полезно запомнить три основных пути решения.

1. Провести две высоты

.

А) Четырехугольник BCKF - прямоугольник (так как у него все углы прямые). Следовательно, FK=BC.

AD=AF+FK+KD, отсюда AD=AF+BC+KD.

Треугольники ABF и DCK - прямоугольные.

(Следует учесть и другой вариант:

Ib.

В этом случае AD=AF+FD=AF+FK-DK=AF+BC-DK.)

Б). Если трапеция равнобедренная, решение задачи упрощается:

В этом случае прямоугольные треугольники ABF и DCK равны, например, по катету и гипотенузе (AB=CD по условию, BF=CK как высоты трапеции). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

AF=KD=(AD-FK):2=(AD-BC):2.

II. Провести прямую, параллельную боковой стороне.

IIa. BM∥CD. Так как BC∥AD (как основания трапеции), то BCDM - параллелограмм. Следовательно, MD=BC, BM=CD, AM=AD-BC.

IIb. В частности, для равнобедренной трапеции

BM∥CD. Так как CD=AB, то и BM=AB. То есть получаем равнобедренный треугольник ABM и параллелограмм BCDM.

III. Продолжить боковые стороны и получить треугольник.

Прямые AB и CD пересекаются в точке P.

Треугольники APD и BPC подобны по двум углам (угол P - общий, ∠PAD= ∠PBC как соответственные при BC∥AD и секущей AP).

Следовательно, их стороны пропорциональны:

Эти три подхода к решению задач на трапецию - основные, именно их я использовал при решении задач.

Эту работу можно применять в качестве учебного материала на уроках геометрии, на консультациях при подготовке к экзаменам.

Литература.

1. Открытый банк заданий ОГЭ.

2. А.А. Черняк,Ж.А.Черняк.Геометрия ЕГЭ: Шаг за шагом.Москва. Дрофа.2011 247 стр.

3. В.Алексеев. В. Галкин Задачи о трапециях. Практикум абитульента.

4. Сайт «Решу ЕГЭ»

5. Справочные материалы по математике.