Научно - практическая работа по математике по теме 'Задачи Наполеона' (9 класс)

Научно-практическая конференция

Малой академии наук школьников г. Уфа

Секция: математика

Номинация: Геометрия

Исследовательская работа

Задачи Наполеона

Иванова Надежда, Гайсина Рита

МАОУ лицей№58, 9 класс

Научный руководитель:

Егорова Нурия Талгатовна,

учитель математики МАОУ лицей №58

Казань 2013

Содержание

Введение………………………………………………………..3

1. Задачи Наполеона……………..……………….....................5

1.1. Треугольники Наполеона………………….……….…….5

1.2. Задача о пирамиде Хеопса………………………….……9

1.3. Головоломка Наполеона…………………………..….…10

2. Задача Наполеона о делении окружности ……………....11

2.1 Деление окружности на 4 части с помощью циркуля.…11

2.2 Алгоритмы деления окружности на nчастей…….…….13

3. Заключение …………………………………………..…….17

4. Список литературы ………………………………………..18

5. Приложения………………………………….……….…….19

Введение

В истории было немного по- настоящему великих людей, но Наполеоне Буонапарте (настоящее имя Наполеона Бонапарта) определенно один из них. О Наполеоне написано больше книг, чем о ком - либо другом в мире. Не один полководец не достиг такой известности, если бы он был просто талантливым генералом. Он интересовался всем: искусством, литературой, математикой. Например, систему нумерации домов: четные дома по - одну сторону улицы, а нечетные по - другую придумал Наполеон Бонапарт. (ПРИЛОЖЕНИЕ 1).Наполеон был не только французским государственным деятелем, полководцем, императором Франции (1804 - 1814, март-июнь 1815), но и Членом Института Франции (так в революционные годы именовалась там Академия наук), известным незаурядным математиком. Наполеон Бонапарт был любителем математики. Он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. А академиком Наполеон стал за решение нескольких довольно сложных и красивых геометрических задач, одной из которых мы и посвящаем свою работу. Он предложил простой способ построения квадрата одной линейкой с двумя засечками. Это решение стало существенным шагом к доказательству возможности при помощи только циркуля или только линейки с двумя засечками делать любые .

В своей научно-исследовательской работе мы решили рассмотреть способы решения этих задач, а также сделать анимацию решения задач с помощью компьютерных технологий. Актуальность.Выбранная нами тема исследования(деление окружности на равные части)имеет широкое применение в различных сферах. Кроме того своим исследованием нам хотелось бы подчеркнуть значимость изучения математики, которая по мысли Аристотеля: «…выявляет порядок, симметрию и определённость, - а это важнейшие виды прекрасного».В своей работе мы выдвинули следующее предположение: можно ли разделить окружность на четыре части, не прибегая к линейке (одна из задач Наполеона). На основании вышесказанного мы ставим перед собой следующую цель: изучить задачи Наполеона и найти способ решения задачи о делении окружности на четыре части с помощью только одного циркуля. Для реализации поставленной цели нами были выдвинуты задачи:

1)Изучить соответствующую историческую и математическую литературу.

2)Изучить задачи и головоломки Наполеона.

3)Решить задачу Наполеона о делении окружности на четыре равные части с помощью только одного циркуля.

4) Найти алгоритм деления окружности на равные части с помощью циркуля и линейки.

5) Написать программу для вычисления стороны правильного n-угольника.

6) Показать практическое применение деления окружности на равные части.

Для решения задач мы применили аналитические методы, метод геометрических преобразований и геометрических построений. Данная исследовательская работа реализуется в предметных рамках математики и истории.

1. Задачи Наполеона

   1. Треугольники Наполеона

Теорема Наполеона.

Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников - тоже равносторонний (внешний треугольник Наполеона). (ПРИЛОЖЕНИЕ 2)

Доказательство

1 способ. Решим задачу с использованием геометрических преобразований:

1. Пусть O₁, O₂ и O₃ - центры равносторонних треугольников на рис.1 Выполним дополнительное построение: соединим отрезками прямых точки O₁, O₂ и O₃с ближайшими (к каждой из них) двумя вершинами треугольника AВС и между собой.

2. По свойствам равностороннего (правильного) треугольника

AO₁ = O₁С, ВO₃ = O₃C, BО₂ = O₂А ; ∠AO₁С = ∠BO₂А = ∠СО₃В = 120° и ∠O₁СO₃ + ∠О₁АO₂ + ∠O₂ВO₃ = 360°. Выделим шестиугольник АO₂ВO₃СO₁, а внешние к нему невыпуклые четырехугольники отбросим. Получим фигуру, изображенную на рис. 2.

3.Отрезая теперь от упомянутого шестиугольника треугольники О₂АО₁ и O₂ВO₃, перемещая их в плоскости в положение, которое указано на рис. 3, получаем четырехугольник O₁DO₃O₂. Отрезок O₁O₃ делит его на два равных (по трем сторонам) треугольника. ∠ DO₃O₂ = ∠DO₁O₂ = 120°. Поэтому ∠O₂O₁O₃=∠O₂O₃O₁ =60°.Следовательно, O₁O₂O₃ равносторонний, что и требовалось доказать

2 способ. Решим задачу с использованием теоремы косинусов:

По теореме косинусов определим расстояние между центрами и из четырёхугольника , где и - середины сторон треугольника ABC. В этом четырёхугольнике ,, и .

Поэтому .

Но .

Следовательно, .

Симметрия полученной формулы относительно a, b и c указывает на то, что .

Утверждение теоремы Наполеона остаётся в силе, если строить правильные треугольники вовнутрь, а не вовне.

Вторая теорема Наполеона

Центры правильных треугольников, построенных вовнутрь на сторонах произвольного треугольника, образуют правильный треугольник (внутренний треугольник Наполеона).

Кстати, описанные окружности правильных треугольников, построенныхвовне, пересекаются в одной точке T(точке Ферма - Торричелли) (ПРИЛОЖЕНИЕ 4)

Если все углы треугольника ABCменьше 120°, то его точка Ферма -

Торричелли T обладает удивительным свойством:

Для треугольников Наполеона справедливы следующие утверждения и формулы:

1. Разность площадей внутреннего и внешнего треугольников

Наполеона для треугольника ABC есть площадь треугольника ABC.

2. Применив теорему косинусов к CO₁O₂, можно вывести формулу для стороны внешнего треугольника Наполеона:

где S - площадь ABC.

3. Для стороны внутреннего треугольника Наполеона аналогично получается

Следствие 1

Если один из углов исходного ∆АВС равен π/3, то одна из сторон треугольника, вершинами которого являются внутренние центроиды, лежит на биссектрисе этого угла.

Рассмотрим рисунок:

Если XAZ=0, тоВАС=π/3.

Следствие 2

Еслиисходный ∆АВС представляет собой равносторонний треугольник, то все внутренние центроиды стягиваются в точку.Атреугольник, вершины которого являются внешними центроидами, вместе с исходным ∆АВС образуют фигуру, известную «Звезда Давида»*.

Звезда Давида - эмблема в форме шестиконечной звезды (), в которой два равносторонних треугольника наложены друг на друга: верхний - концом вверх, нижний - концом вниз, образуя структуру из шести равносторонних треугольников, присоединенных к сторонам шестиугольника.Звезда Давида изображена на и является одним из основных его символов. Согласно легенде, этот символ был изображён на щитах воинов царя .(ПРИЛОЖЕНИЕ 3)

В этом случае

У теоремы Наполеона есть несколькообобщений. Одно из них известно как теорема Тебо:

Если на сторонах параллелограммапостроить вовне квадраты, тоих центры образуют квадрат.(ПРИЛОЖЕНИЕ 4 )

2. Задача Наполеона о пирамиде Хеопса

Первые точные измерения пирамиды Хеопса провели в начале XIX века французские ученые, прибывшие в Египет с армией Наполеона. Именно они заявили о том, что большая пирамида - это настоящий справочник о мировоздании. В ее размерах заложены почти все мировые константы Земли и космоса, касающиеся времени, расстояний, веса и объема. Легенда рассказывает, что Наполеон захотел провести ночь в самом сердце пирамиды - камере Царя - в полном одиночестве. Утром будущий император Франции вышел из пирамиды бледный взволнованный. Когда его спросили, как он провел ночь, Бонапарт ответил, что его все равно не поймут и не поверят. Уже будучи узником на острове Святой Елены на вопрос:"А что же все-таки произошло тогда в пирамиде?" - Наполеон ответил:"Не важно, всё уже свершилось".

Задача Наполеона: Одно из 7 чудес света - египетские пирамиды. Самая знаменитая из них - пирамида Хеопса высотой 147м, в основании которой квадрат со стороной 233м. Если из каменных блоков пирамиды возвести стену толщиной 20 см вокруг Франции, то какова будет высота этой стены? (справка: общая длина границ Франции 5000км). (ПРИЛОЖЕНИЕ 5)

ЗАДАЧА.Если из каменных блоков пирамидыХеопсавысотой 147м, в основании которой квадрат со стороной 233м, возвести стену толщиной 20 см вокруг Республики Башкортостан, то какова будет высота этой стены?

ЗАДАЧА.Если из каменных блоков пирамидыХеопсавысотой 147м, в основании которой квадрат со стороной 233м, возвести стену толщиной 20 см вокруг Уфы, то какова будет высота этой стены?

1.3. Головоломка Наполеона

Очевидцы рассказывают, что среди прочих математических, шахматных и тактических задач по военному искусству император Наполеон любил задавать своим офицерам и эту головоломку: какие плоские геометрические фигуры можно построить из девяти предложенных в россыпь деталей?Простую с виду задачу решить удавалось не каждому. Маршал Даву, говорят, сумел собрать из предложенных деталей квадрат, а Мюрат - и квадрат, и прямоугольник. Позже нашелся полковник, построивший звезду. Но никто до сих пор не сумел построить из этих деталей треугольник, ромб или трапецию... Да и есть ли решение вообще? Прежде чем браться за решение головоломки, мы обратили внимание на одну особенность углов в деталях треугольной и четырехугольной формы: 18, 36, 90, 108, 126, 144^о. Заметили - они кратны цифре 18? Почему? Может, именно в этой кратности скрыта подсказка. (ПРИЛОЖЕНИЕ 6)

2. Задача Наполеона о делении окружности

   1. Деление окружности на четыре равные части

с помощью циркуля

В 1797г. итальянец Маскерони опубликовал работу «Геометрия циркуля». В ней доказывается, что любое построение, которое выполняется циркулем и линейкой, можно сделать с помощью одного циркуля. Разумеется, циркулем нельзя провести прямую, поэтому Маскерони считал прямую построенной, если построены две её точки. Одна из таких задач заинтересовала Наполеона. Третья знаменитая задача из книги Маскерони так и называется «задача Наполеона». По преданию, Наполеон Бонапарт предложил ее автору «Геометрии циркуля». Беседуя как-то раз со знаменитыми французскими математиками, Лагранжем и Лапласом, (ПРИЛОЖЕНИЕ 7)маленький генерал поразил столпов французской математики тем, что объяснил им некоторые из предложенных Маскерони решений. Ни Лаплас, ни Лагранж до разговора с Наполеоном не подозревали о существовании «Геометрии циркуля». «Генерал, - почтительно заметил Лаплас, - мы ожидали чего угодно, только не урока геометрии». Именно Наполеон познакомил французских математиков с работой Маскерони. Прочтя книгу о таких построениях итальянского ученого Маскерони, он предложил французским математикамследующую задачу: данную окружность разделить на четыре равные части, не прибегая к линейке.

Рассмотрим схему, по которой обычно решаются задачи на построение циркулем и линейкой. Она состоит из четырёх частей.

1. Отыскивание способа решения задачи путем установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Эта часть называется анализом задачи. Анализ дает возможность составлять план решения задачи.

2. Выполнение построения по намеченному плану.

3. Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4. Исследование задачи, т.е. выяснение вопроса о том, при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений.

Решение задачи Наполеона о делении окружности на четыре равные части: (ПРИЛОЖЕНИЕ 8)

1.Анализ задачи:

Разделить окружность на четыре равные части, значит построить вписанный квадрат со стороной . Сначала построим отрезок длиной и по теореме Пифагора получим .

= r

2. Построение:

1.Выбрать на окружности произвольную точку А.

Провести окружность (А, r). Точка пересечения окружностей обозначим точкой B.

2. Провести окружность (В, r). Точка пересечения окружностей обозначим точкой С.

3. Провести окружность (С, r). Точка пересечения окружностей обозначим точкой D. Заметим , что AD - диаметр.

4. Провести окружность (А, АС) и окружность (D, АС).

6. Точку пересечения этих окружностей обозначим точкой М.

7. Провести окружность (А, ОМ). Точки пересечения этой окружности с данной окружностью обозначим через P и K.

3. Доказательство.

Докажем, что АРDK квадрат. Найдем

1. АС из АВС по теореме косинусов

АC = = r

2. АМО прямоугольный т.к. АМД равнобедренный,

а МО медиана и высота.

3. Найдем ОМ изАМО по теореме Пифагора

ОМ = = r

4. AP=AK = ОМ= r (как радиусы окружности (А, ОМ))

Так AD диаметр данной окружности (по построению),

следовательно,AP=PD=DK=AK= r

Значит APDK- квадрат

4.Исследование.

Так как окружность с центром в данной точке и с данным радиусом можно провести единственным образом, данная задача имеет одно решение.

2.2 Алгоритм деления окружности на nчастей

1.Алгоритм деления окружности на четыре и восемь равных частей.

Деление окружности на восемь равных частей производится в следующей последовательности:

1.Проводят две перпендикулярные оси, проходящие через центр окружности, ,которые пересекая окружность в точках 1,2,3,4 делят ее на четыре равные части.

2.Применяя известный прием деления прямого угла на две равные части при помощи циркуля или угольника строят биссектрисы прямых углов, которые пересекаясь с окружностью в точках 5, 6, 7, и 8 делят каждую четвертую часть окружности пополам .

2. Алгоритм деления окружности на три, шесть и двенадцать равных частей

Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей выполняется в следующей последовательности:

1. Выбираем в качестве точки 4, точку пересечения осевой линии с окружностью

2. Из точки 1 пересечения осевой линии с окружностью проводим дугу радиусом равным радиусу окружности R до пересечения с окружностью в точках 2 и 3;

3. Точки 2, 3 и 4 делят окружность на три равные части;

4. Из точки 4 пересечения осевой линии с окружностью проводим дугу радиусом равным радиусу окружности R до пересечения с окружностью в точках 5 и 6;

5. Точки 1 - 6 делят окружность на шесть равных частей;

6. Дуги радиусом R, проведенные из точек 7 и 10 пересекут окружность в точках 8, 9, 11 и 12;

7. Точки 1 - 12 делят окружность на двенадцать равных частей.

3. Алгоритм деления окружности на пять и десять равных частей

Деление окружности на пять равных частей выполняется в следующей последовательности:

1. Из точки А радиусом, равным радиусу окружности R, проводим дугу, которая пересечет окружность в точках Dи K;

2. Из точки Dопускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию;

3. Из основания перпендикуляра - точки B, радиусом равным BC, проводят дугу окружности, которая пересечет горизонтальную осевую линию в точке E;

4. Из точки 1 радиусом равным CE, проводят дугу до пересечения с окружностью в точке 2, дуга 12 равна 1/5 длины окружности;

5. Точки 3, 4 и 5 находят, откладывая циркулем по данной окружности хорды, равные CE.

6. Для деления окружности на десять частей возьмем отрезок OE(точка О - пересечение осевых линий окружности).

7. Из точки 1 радиусом равным ОЕ, откладываем по данной окружности хорды. Точки пересечения хорд с окружностью поделят её на десять равных частей.

4.Алгоритм деления окружности на семь равных частей.

Деление окружности на семь равных частей выполняется в следующей последовательности:

1. Из точки А радиусом, равным радиусу окружности R, проводим дугу, которая пересечет окружность в точке D;

2. Из точки D опускают перпендикуляр на горизонтальную осевую линию;

3. В-точка пересечения перпендикуляра с горизонтальной осевой линией.

4. Длину перпендикуляра BDоткладывают от точки 1 по окружности семь раз и получают искомые точки 1 - 7

5. Точки 1 - 7 делят окружность на семь равных частей.

5. Алгоритмделения окружности на n частей

1. Если требуется разделить окружность на n равных частей можно воспользоваться следующей программой, которую мы сами написали на языке программирования Pascal. Программа вычисляет длину хорды (сторону вписанного правильного многоугольника), которую на данной окружности нужно отложить необходимое количество раз. Для этого нужно ввести две переменные: R - радиус окружности, n - количество частей.

program abc;

Var n,a,R:real;

begin

writeln('Введитечислоn');

readln(n);

writeln('Введите радиус окружностиR');

readln(R);

a:=2*R*sin(Pi/n);

writeln('Сторона правильного многоугольника равна ',a:3:1);

end.

2.Деление окружности на произвольное число равных частей можно выполнить, пользуясь коэффициентами, приведенными в таблице(ПРИЛОЖЕНИЕ 11). Для определения величины хорды, стягивающей требуемую часть окружности (следовательно, длину стороны соответствующего правильного вписанного многоугольника), надо диаметр окружности умножить на коэффициент (). Например, окружность D = 41 разделить на 9частей; для этого 41 X 0,34202 = 14,02282 ≈ 14, т. е. длина хорды, стягивающей 1/9 часть окружности, приблизительно равна14 мм. Недостатком такого деления является некоторая неточность, получающаяся из - за невозможности точно отмерить на бумаге длину радиуса, выраженную количеством миллиметров с десятыми или даже сотыми долями.

Задача деления окружности на части

имеет практическое применение:

1. С делением окружности неразрывно связано построение правильных многоугольников, так как правильными многоугольники считаются только в том случае, если все их вершины принадлежат одной окружности и делят его на равные части.

2.Деление окружности на равные части широко применяется в архитектуре.

3.В декоративно - прикладном искусстве дизайнеры, ювелиры и представители многих других профессий с успехом применяют деление окружности, создавая прекрасные произведения. К ним, по праву, можно отнести монеты и ювелирные украшения, ордена, медали.

4.Примеры применения деления окружности на равные части и использования правильных многоугольников в графическом дизайне трудно даже перечислить, но, пожалуй, самым распространенным является создание на их основе эмблем, логотипов и товарных знаков различных фирм.

Заключение

«Мышление начинается с удивления» - заметил 2500 лет назад Аристотель. Наш современник Сухомлинский считал, что «Чувство удивления - могучий источник желания знать: от удивления к знаниям - один шаг». А математика замечательный предмет для удивления. Именно это мы попытались показать, изучая задачи, составленные Бонапартом Наполеоном. В своей научно-исследовательской работе мы смогли решить задачу о делении окружности на 4 равные части с помощью только одного циркуля. Кроме этого мы доказали теорему Наполеона разными способами и разгадали его головоломку. Также составили свои задачи для границ Башкортостана и Уфы, аналогичные второй задаче Наполеона. В данной работе предложены алгоритмы деления окружности на n равных частей. Составлена программа для вычисления стороны правильного n-угольника на языке Pascal. Также приведены примеры практического применения деления окружности на равные части в различных сферах. Карл Фридрих Гаусс на рубеже XVIII и XIX столетий доказал, правильный п-угольник, где п - простое число, может быть построен с помощью циркуля и линейки в том и только в том случае, когда п имеет вид 2^2k + 1. Вот первые несколько таких чисел - 3,5,17, 257, 65537. Ни на какое другое число равных частей разделить окружность при помощи циркуля и линейки нельзя. Задача деление окружности эквивалентна решению двучленного уравнения: xⁿ - 1 = 0. Деление окружности при помощи циркуля и линейки возможно только тогда, когда все корни этого уравнения можно получить последовательным решением квадратных и линейных уравнений. В дальнейшем мы хотим изучать эту проблему более подробно. Наши планы на будущее: решить задачи Наполеона на комплексной плоскости.

Список литературы

2. Энциклопедический словарь юного математика, Савин А. П., издательство: Педагогика, 1985. - 298 - 299 с.

3. Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" (6-е изд., июнь 1972).

4. F:\ Теорема Наполеона в Большой Советской Энциклопедии.mht

5. F:\ Ответы@Mail_Ru Задача___ Наполеона!!!.mht

7. «Геометрия», 7-9 классы, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. 15-е изд., М.:"Просвещение", 2005

8. Перельман Я.И. Занимательная геометрия. М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1950.- 296с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Наполеон Бонапарт

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Треугольники Наполеона

ПРИЛОЖЕНИЕ 3.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Задача Наполеона про пирамиду Хеопса.

ПРИЛОЖЕНИЕ 6. Головоломка Наполеона.

Лоренцо Маскерони

ПРИЛОЖЕНИЕ 7.

Жозеф Луи Лагранж

Пьер Симон Лаплас

ПРИЛОЖЕНИЕ 8. Решение задачи о делении круга на четыре части.

ПРИЛОЖЕНИЕ 9.

ПРИЛОЖЕНИЕ 10.

Таблица хорд

Число делений окружности

Коэффициент

Число делений окружности

Коэффициент

1

0

51

0,061560906

2

1

52

0,060378497

3

0,866025404

53

0,059240628

4

0,707106781

54

0,058144829

5

0,587785252

55

0,057088811

6

0,5

56

0,056070447

7

0,433883739

57

0,05508776

8

0,382683432

58

0,054138909

9

0,342020143

59

0,053222175

10

0,309016994

60

0,052335956

11

0,281732557

61

0,051478755

12

0,258819045

62

0,050649169

13

0,239315664

63

0,049845886

14

0,222520934

64

0,049067674

15

0,207911691

65

0,04831338

16

0,195090322

66

0,047581916

17

0,183749518

67

0,046872262

18

0,173648178

68

0,046183459

19

0,16459459

69

0,045514599

20

0,156434465

70

0,04486483

21

0,149042266

71

0,044233347

22

0,142314838

72

0,043619387

23

0,136166649

73

0,043022233

24

0,130526192

74

0,042441203

25

0,125333234

75

0,041875654

26

0,12053668

76

0,041324974

27

0,116092914

77

0,040788586

28

0,111964476

78

0,04026594

29

0,108119018

79

0,039756515

30

0,104528463

80

0,039259816

31

0,101168322

81

0,038775371

32

0,09801714

82

0,038302734

33

0,095056043

83

0,037841477

34

0,092268359

84

0,037391194

35

0,089639309

85

0,036951499

36

0,087155743

86

0,036522023

37

0,084805924

87

0,036102413

38

0,082579345

88

0,035692334

39

0,080466569

89

0,035291464

40

0,078459096

90

0,034899497

41

0,076549253

91

0,034516139

42

0,074730094

92

0,03414111

43

0,072995315

93

0,033774142

44

0,071339183

94

0,033414977

45

0,069756474

95

0,033063369

46

0,068242413

96

0,032719083

47

0,066792634

97

0,032381891

48

0,065403129

98

0,032051578

49

0,06407022

99

0,031727933

50

0,06279052

100

0,031410759

ПРИЛОЖЕНИЕ 11