Урок по математике на тему 'Производная в физике' (10 класс)

Тема. Производная в физике

(интегрированный урок).

Цель урока:

Образовательные:

1. Повторить определение производной, правила дифференцирования

функций, ее геометрический смысл.

2. Определить физический смысл производной.

3. Показать возможность использования производной в физике для

описания зависимости между физическими величинами, представленными соотношениями типа у = ∆х/ ∆t/.

Развивающие:

1. Развивать логическое мышление.

2. Формировать умения по применению знаний и способов действий

учащихся в нестандартных ситуациях.

Воспитательные:

1. Воспитывать коммуникативные способности во время коллективной

работы на уроке, понимать необходимость интеллектуального обучения для достижения цели.

Оборудование: таблица «Формулы дифференцирования».

Портрет И. Ньютона. Диапроектор ЛЭТИ, диафильм «Производная» (фрагменты)

Математика - первая из всех наук,

и полезна, и необходима для них.

Р. Бэкон.

1. Вступительное слово учителя математики о значении

математики при изучении естественных наук.

2. Актуализация опорных знаний

В ходе фронтальной беседы повторяем определение производной, правила дифференцирования, геометрический смысл производной, решаем (в качестве разминки) устные упражнения.

1. Стихотворение о производной.

В данной функции от икс, нареченной игреком,

Вы фиксируете х, отмечая индексом.

Придаете вы ему тотчас приращение.

Приращений тех теперь взявши отношение,

Пробуждаете к нулю у ∆х стремление

Предел такого отношенья вычисляется,

Он производной в науке называется

2. Правила дифференцирования.

3. Геометрический смысл производной.

4. Устные упражнения (слайды)

Так для чего же мы изучали производную, знакомились с правилами дифференцирования?

Дело в том, что понятие производной возникло как математическое

описание скорости движения. Известно, что в конце 17 века великим английским учёным Исааком Ньютоном был открыт общий способ описания связи между путём и скоростью.

А в чем он заключается и как математика помогает разрешить

эту проблему, мы непосредственно обратимся к физике.

Слово предоставляется учителю физики.

(Учащиеся повторили заранее весь необходимый материал по физике) в процессе объяснения используются фрагменты диафильма «Производная»)

Цель: показать возможность использования производной в физике для

описания зависимости между физическими величинами, представленными соотношениями типа у= ∆х/ ∆t.

Физика, изучающая явления природы и устанавливающая законы,

которые их описывают, нуждается в использовании математического языка для установления количественных соотношений между физическими величинами. По существу любой физический закон лишь тогда признается сформулированным, если ему придана чёткая математическая форма, то есть он записан в виде некоторой функциональной зависимости между физическими величинами.

Эйнштейн писал: «Одна из наиболее важных характерных черт

современной физики состоит в том, что выводы, сделанные из исходных идей, имеют не только качественный, но и количественный характер.

Чтобы сделать количественные выводы, мы должны использовать

математический язык. И если мы хотим сделать выводы, которые можно сравнить с результатами эксперимента, нам необходима математика как орудие исследования».

Классическим примером взаимодействия математики и физики

является создание Ньютоном исчисления бесконечно малых для решения задач динамики, в частности, для описания движения планет. Таким образом, появление производной в математике было вызвано потребностями физики в новых математических операциях.

Рассмотрим применение производной в физике на конкретных примерах.

1. Нахождение скорости тела.

При описании неравномерного движения и решения основной задачи механики необходимо уметь находить мгновенную скорость, то есть скорость тела в данный момент времени.

v= ∆х/∆t, где ∆х - перемещение тела за бесконечно малый

промежуток времени, то есть v= ∆х/∆t, при ∆t, стремящемся к нулю. Следовательно,v(t) = х'(t); то есть скорость тела есть производная от координаты по времени.

Пример. Зависимость координаты тела от времени задана уравнением

x (t) = 4 t² -5t +2 м. Найти зависимость скорости тела от времени.

v(t)= 8t - 5м/с

Рассмотрим случай равноускоренного движения. Как известно, координата тела, движущегося равномерно, изменяется по закону:

х (t) = x + vt + at²/2, так как v(t) = х'(t), то v (t) = v + at, то есть мы получили хорошо известную формулу скорости для равноускоренного движения.

2. Нахождение ускорения тела

Согласно определению а = ∆v/ ∆t. Если ∆t бесконечно мало, то мы

получили ускорение тела в данный момент времени, то есть мгновенное ускорение.

а = ∆v/ ∆t, при ∆t > 0

Следовательно, а (t) = v' (t), то есть ускорение тела есть производная от

скорости по времени или вторая производная от координаты по времени.

Пример. Координата тела при свободном падении изменяется по

закону: x(t) = gt²/2. Доказать, что это движение является равноускоренным.

V (t) = gt, а (t) = g, следовательно, a=const.

3. Нахождение силы тока.

Согласно определению I = ∆q / ∆t. Если ∆t бесконечно мало, то мы

получим мгновенное значение силы тока (силу тока в данный момент времени), i = ∆q / ∆t при ∆t, стремящемся к нулю. Следовательно, i (t) = q' (t), то есть сила тока есть производная от заряда по времени.

Пример Заряд, протекающий через поперечное сечение проводника

изменяется по закону: q(t) = 0,4 sin 8 t Kл. По какому закону изменяется сила тока?

i (t) = 3,2 cos8

4. Нахождение мощности.

N=A/t

Мгновенная мощность N = ∆A / ∆t при ∆t, стремящемся к нулю.

Следовательно, N (t ) =А ' (t), то есть мощность есть производная от работы по времени.

Вывод: соотношения между физическими величинами типа, y = ∆х/∆t,

требующие нахождения мгновенного значения величины у, можно описывать с помощью производной величины y.

3. Итоги урока. Рефлексия.