ПРОГРАММА курса по выбору в 9 классе «Замечательные неравенства, их обоснование и применение»

ПРОГРАММА

курса по выбору в 9 классе «Замечательные неравенства, их обоснование и применение»

Чечеткина Э.П,, Поташова МЛ., Сыктывкар

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Элективный курс «Замечательные неравенства, их обоснование и применение» рассчитан на одно полугодие для обучающихся 11 классов. Запланированный данной программой объем знаний, необходим для ознакомления обучающимися с методами решения некоторых классов задач и идеями такого раздела математики как выпуклый анализ.

Основная цель: сориентировать обучающихся на выбор физико-математического профиля обучения и выработать интерес к классу неравенств с переменными.

Основные задачи:

• познакомить с избранным классом неравенств с переменньши, методами их получения;

• развить логическое мьшшение учащихся.

Организация учебного процесса.

Программа курса рассчитана на 17 часов, предназначена для учащихся 11 классов, составлена как дополнение к основному курсу математики и направлена на расширение знаний обучающихся о неравенствах.

Основные виды занятия: урок-лекция, урок-семинар, урок-дискуссия.

Содержание обучения.

Программа составлена с учетом требований современной концепции математического образования, выходящей за рамки школьной программы. Данный курс можно использовать в разных типах школ: гимназиях, технических лицеях, в реальных школах в классах с углубленным изучением математики.

В качестве итогового контроля курса можно выделить следующие его формы: написание и защита реферата, отчетные доклады.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

Введение.

Предмет, изучению которого посвящен данный курс. Исторические сведения. Преемственная связь с базовым курсом школьной математики. Средние величины и неравенства Коши. О задачах школьных математических олимпиад.

1. Числовые неравенства и их свойства.

Понятия положительного и отрицательного действительного числа, число нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятия «больше» для действительных чисел, его геометрическая интерпретация и свойства. Числовые неравенства.

Тема для дискуссии: «Легко ли определить знак числа или найти наибольшее из двух данных чисел, если числа заданы как значения некоторых числовых выражений?».

2. Основные методы установления истинности числовых неравенств.

Сравнение двух чисел - значений числовых выражений «по определению», путём сравнения их отношения с единицей,
путём сравнения их степеней, путём сравнения их с промежуточными числами (числом) , методвведения вспомогательной функции, метод ис пользования «замечательных неравенств и некоторые
другие.

Тема для дискуссии «Можно ли использовать вычислительную технику (микрокалькулятор) для сравнений значений числовых выражений».

2. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными.

Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применения. Краткое введение. О применении неравенств с параметрами и об умении подбирать, сочинять и обосновывать (а то и опровергать
неравенства с параметрами). Методы установления истинности неравенств с переменными метод «от противного», метод анализа, метод синтеза, метод усиления и ослабления, метод подстановки (метод введения новых переменных, метод использования тождеств, метод введения вспомогательных функций, метод понижения степеней выражений, метод интерпретаций или моделей (векторных, тригонометрических, физических). Примеры.

Тема для дискуссии «Самое лучшее из решений. За и против».

4. Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенства Коши для произвольного числа переменных. Некоторые модификации метода математической
индукции. Примеры. Две теоремы о сравнешш соответствующих членов двух последовательностей с помощью сравнения разности или отношения двух соседних членов одной последовательности с остью или отношением двух членов другой последовательности.

5. Средние степенные величины: соотношения между ними и другие источники замечательных неравенств. Средние арифметическое, геометрическое, гармоническое, квадратаческое и отношение между ними. Среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое, их существование и свойства.

6.Генераторы замечательных неравенств. Основные способы замечательных неравенств. Свойства квадратичной функции - источник простейших неравенств. Неравенства треугольника,

Тема для дискуссии: "Варианты введения понятия расстояния между двумя точками".

7. Применение неравенств. Поиск наибольшего и наименьшего значений функции с помощью замечательных неравенств.

8. Итоговое занятие. Защита рефератов.

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№

Тема

Всего часов

В том числе

лекции

практика

1.

Числовые неравенства и их свойства

1

0,5

0,5

2.

Основные методы установления истинности числовых неравенств

2

1

1

3.

Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными.

2

1

1

4.

Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств.

2

1

1

5.

Средние степенные величины, соотношения между ними и другие источники замечательных неравенств.

А) Средние арифметическое, геометрическое, гармоническое квадратичное в случае двух параметров;

Б) Геометрические интерпретации;

В) Среднее арифметико-геометрическое Гаусса.

2

0,5

0,5

1

0

0,5

1

0,5

0

6.

Генераторы замечательных неравенств.

А) Свойства квадратичной функции; геометрические модели

Б) Исследование функции на выпуклость и вогнутость средствами математического аналюа.

2

2

1

1

1

1

7.

Применение неравенств.

А) Неравенства в математической статистике и экономике. Задачи на оптимизацию.

Б) Поиск наиболыших и наименьших значений функций с помощью замечательных неравенств.

1

1

1

0

0

1

8.

Итоговое занятие

1

17

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

1. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. - М.: Наука, 1975, . Балк М.Б., Болтянский В.Т. Геометрия масс. - М.: Наука 1987. Беккенбах Э.,Беллман Р. Неравенства. - М.: Мир, 1965.

2. Гаврилов В.И. Математический аналю. Курс лекций. - М.: Школа им. Колмогорова, 1999. Маршал А., Олкин Н. Неравенства: теория мажоризации и ее применение.- М.: Мир, 1983 Статьи журнала «Математика в школе» и «Квант» и приложения к газете «1 сентября».

3. Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учебное пособие под редакцией Сканави М.И., М.: «Оникс 21 век», 2003г.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

1. Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. - М.: Дрофа, 1998. ., Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. - М.: Физматлит, 2000.

2. Смышляев В.К. Практикум по решению задач школьной математики. Выпуск 5: Практикум по решению задач повышенной трудности. - М.: Просвещение, 1978.

3. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. Уч. Пособие для 10 класса ср. школ. - М.: Просвещение, 1989.

4. Евсюк С.Л. Математика. Решение задач повышенной сложности. - Мн.: «Мисанта», 2003 г.

ПРОГРАММА

курса по выбору в 11 классе

«Решение задач с модулями»

Кузьмина В.М., С-Петербург

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа элективного курса «Решение задач с модулями» объемом 17 часов адресована учащимся 11 класса, имеющим интерес к изучению математики. Программа актуальна для учащихся, ориентированных на изучение математики в 10-11 классах на профильном уровне.

Цель данного курса: ориентировать учащихся на выбор математического профиля обучения. Задачи:

1. Выявить склонности и интересы учащихся в области математики.

2. Выявить способность учащихся усваивать математику на повышенном уровне.

3. Систематизировать знания методов решения задач с модулями.

Содержание данного курса позволяет повторить знания, умения и навыки по отдельным темам, І также задания, для выполнения которых требуется использование широких связей между различными разделами школьного курса. Большая практическая направленность курса способствует формированию умений у учащихся применять в новой ситуации знания, полученные на уроках алгебры в 7 - 11 классах.

Рекомендуемой формой преподавания курса являются лекционно-практические занятия. Возможно использование дифференцированных индивидуальных заданий для учащихся с разным уровнем подготовки.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№ п/п

Наименование тем курса

Часы

Форма проведения занятий

1

Модуль действительиого числа. Свойства модуля.

2

Лекция-практикум

2

Схемы решений основных типов уравнений и неравенста.

2

Практикум

3

Метод интервалов при решении уравнений и неравенств с модулями.

2

Лекция-практикум

4

Тождественные преображения.

2

Практикум

5

Иррациональные уравнения.

2

Практикум

6

Построение графиков функций.

4

Практикум

7

Графики уравнений

2

Практикум

8

Итоговое занятие.

1

Практикум

Всего:

17ч.

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

ЛИТЕРАТУРА

1. Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. - М.: Просвещение, 1991.

2. Фельдман Я.С., Жаржевский А,Я. Математика. Решение задач с модулями. - СПб., 1997.

3. Сборник задач по математике для поступающих во втузы: Учебное пособие под редакцией Сканави М.И., М.: «Оникс 21 век», 2003г.

4. Евсюк С.Л. Математика. Решение задач повышенной сложности. - Мн.: «Мисанта», 2003 г.