Элективный курс Универсальные математические методы решения задач

</ Пояснительная записка.

Элективный курс «Универсальные математические методы решения задач» призван помочь учащимся 10-11 классов успешно подготовиться к сдаче экзамена в форме ЕГЭ. Для верного и быстрого решения простых уравнений из части «В», в элективном курсе рассматриваются нестандартные методы решения уравнений и неравенств из школьного курса математики. При решении уравнений и неравенств из части «С», применяются нетрадиционные методы. Это позволит выпускникам повысить уровень логического мышления и проявить творческие способности.

Цели и задачи элективного курса:

• систематизировать и углубить знания по теме «Методы и приемы решения уравнений и неравенств»;

• развить навыки исследовательской и познавательной деятельности учащихся.

• подготовить учащихся к успешной сдаче ЕГЭ.

В результате учения учащиеся должны знать и уметь:

Знать:

1. различные виды уравнений и неравенств;

2. основные методы решения уравнений и неравенств;

3. нестандартные методы решения уравнений и неравенств.

Уметь:

1. работать с различными источниками информации, анализировать результаты, делать умозаключения;

2. предоставлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссии;

3. применять изученные алгоритмы для решения заданий и отстаивать свою точку зрения;

4. решать самостоятельно задания из единого государственного экзамена.

Задания с уравнениями и неравенствами, как правило, относятся к трудным и носят исследовательский характер. В школьных учебниках по математике таких заданий недостаточно. Расширяя математический кругозор, программа совершенствует технику решения сложных заданий.

Данный курс отличает вариативные возможности включения задач, в зависимости от уровня подготовленности учащихся, так, например, подбор заданий для учащихся 11классов, при тех же методах решений, расширен классом показательных и логарифмических уравнений.

Элективный курс рассчитан на 1час в неделю, всего 34 часа.

Содержит три главы:

Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства и их системы.

Глава 2. Иррациональные уравнения и неравенства.

Глава 3. Решение уравнений и неравенств с параметром.

Главы разделены на отдельные темы.

Глава 1: Рациональные уравнения и неравенства и их системы.

В этой главе учащиеся учатся решать уравнения и неравенства высших степеней, решают уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Осваивают структуру работы с модулем. Знакомятся с утверждениями о равносильности систем уравнений. Каждая тема содержит изложение теории с поясняющими примерами. В конце каждой темы предлагается ряд заданий для самостоятельной работы с указанием ответов, помогающих закрепить теоретический материал, предлагается домашнее задание.

Глава 2: Иррациональные уравнения и неравенства.

В этой главе учащиеся учатся применять при решении иррациональных уравнений неравенство Коши. Знакомятся с нестандартными заменами при решении уравнений. Изображают решение систем неравенств на координатной плоскости. Рассматриваются тестовые задачи из КИМов ЕГЭ.

Глава 3: Решение уравнений и неравенств с параметром.

С понятием параметра учащиеся встречаются в курсе алгебры 7 класса. На ЕГЭ довольно часто предлагаются задачи с параметрами, но учащиеся не могут справиться с простейшими задачами, содержащими параметры, что свидетельствует об отсутствии у части их навыков решения задач с параметрами. Данный материал имеет большое образовательное значение.

Курс предполагает рассмотрение решений линейных уравнений и неравенств с параметрами, квадратных уравнений и неравенств с параметрами, иррациональных и тригонометрических уравнений с параметрами, а также решение систем уравнений и неравенств.

Данная программа дополняет и развивает школьный курс алгебры, а также ориентирован на удовлетворение потребностей учащихся, глубже интересующихся математикой. Решение заданий с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приёмов общего характера, ценных для математического развития личности. Задания с параметрами играют важную роль в формировании логического и аналитического мышления и математической культуры учащихся.

Предлагается лекционное изложение теоретического материала. Рассматриваются разнообразные и нестандартные уравнения и неравенства, а так же их системы.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предполагается использовать следующие формы занятий: лекции, практикумы по решению задач, семинары. Доминантной формой учения должна стать исследовательская деятельность ученика, которая может быть реализована как на занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы учащихся. Все занятия должны носить проблемный характер и включать в себя самостоятельную работу.

Данный курс способствует: дальнейшему развитию умения формулировать суждения, обосновывать и доказывать их, развивая тем самым логическое мышление; формирование алгоритмического мышления, формированию умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые.

Формой итогового контроля может стать зачетная работа, включающая задачи, рассмотренные на занятиях, самостоятельное решение предложенных задач с последующим разбором вариантов решения или защита с презентацией реферата.

Учащиеся в ходе освоения курса имеют возможность познакомиться с научно-популярной литературой и информацией из Интернета.

Для передачи теоретического материала наиболее эффективна будет лекция, сопровождающаяся беседой с учащимися, демонстрацией материалов. Формы занятий предусматривают творческую деятельность посредством выполнения творческих практических заданий.

Роль учителя в осуществлении учебной деятельности учащихся состоит в консультационной работе, а также организации и координации действий, учащихся при выполнении заданий.

Аттестация по курсу может проводиться в форме тестов, практических заданий поискового характера, самостоятельных заданий.

В программе курса указана литература для учителя и учащихся. Имеется тематический план, в котором изложены содержание программы, и методы изучения программного материала, также разработаны критерии оценок, имеются приложения.

Тематическое планирование

Вводная беседа. Рациональные уравнения и неравенства.

3

1

2

1.2

Уравнения и неравенства, содержащие неизвестные под знаком абсолютной величины.

4

1

3

1.3

Системы рациональных уравнений и неравенств.

3

3

2.1

Иррациональные уравнения.

4

1

3

2.2

Иррациональные неравенства.

4

1

3

2.3

Системы иррациональных уравнений и неравенств.

3

3

3.1

Линейные и дробно - рациональные уравнения с параметрами.

2

1

1

3.2

Иррациональные уравнения с параметрами.

2

1

1

3.3

Уравнения, содержащие параметр и модуль.

3

1

2

3.4

Неравенства с параметром.

5

1

4

4.

Итоговый урок

1

1

Содержание учебного материала.

Глава 1. Рациональные уравнения и неравенства и их системы.(10ч)

Занятие 1-3.

Знакомство учащихся с целями и задачами курса, его структурой. Тестирование учащихся с целью определения знаний, методов решения уравнений и неравенств.

Систематизировать методы решения рациональных уравнений и неравенств.

Методы решения рациональных уравнений:

• уравнения сводятся к квадратным;

• разложение высших степеней на множители;

• угадывание корня уравнения;

• использование симметричности уравнения;

Методы решения рациональных неравенств:

• метод интервалов;

• обобщенный метод интервалов.

Форма занятия: лекция, практикум.

Методы обучения: выполнение тренировочных заданий.

Контроль: Тестовая работа, «Задачи по математике» Т.И.Осипова стр.39 №2.150,2.146,2.142,2.174,2.172.

Занятие 4-7.

Уравнения и неравенства, содержащие неизвестные под знаком абсолютной величины. Систематизировать методы решения уравнений и неравенств с модулем.

Рассмотреть уравнения и неравенства вида:

1.

2. ,,

3.

Методы решения:

1. по определению;

2. возведение в квадрат;

3. метод интервалов;

4. нахождение ОДЗ;

5. применение свойств абсолютной величины.

Форма занятия: лекция, практикум.

Методы обучения: беседа, выполнение тренировочных заданий.

Контроль: самопроверка.

1. Подобрать олимпиадные задачи с модулем.

2. Составить и решить самостоятельно одно уравнение или неравенство, содержащее знак модуля, под знаком модуля.

3. Дидактический материал часть 1 № 14, 18, 19, 39, 40, 47.

Занятие 8-10.

Решение рациональных систем уравнений и неравенств. Утверждения о равносильности систем уравнений.

Форма занятия: практикум.

Методы обучения: выполнение тренировочных заданий.

Контроль: проверка самостоятельно решенных задач.

1. Шарыгин И.Ф. «Факультативный курс по математике» 10 класс, стр.40-41 №172, 179, 192, 205, 215.

2. Сообщение «Олимпиадные задачи с применением свойств модуля».

Глава 2. Иррациональные уравнения и неравенства. (11ч)

Занятие 11-14. Методы решения иррациональных уравнений.

Методы решения иррациональных уравнений.

1. Возведение обеих частей уравнения в соответствующую степень.

2. Тождественные преобразования.

3. Введение новой переменной.

4. Применение неравенств Коши, Коши - Буняковского.

5. Применение монотонности функции.

Форма занятия: лекция, практикум.

Методы обучения: выполнение тренировочных заданий.

Контроль:

1. По страницам журналов «Квант», «Математика в школе» подобрать аналогичные уравнения (с целью поиска соответствующей информации) и решить.

2. Написать опорный конспект для решения иррациональных неравенств.

3.Дидактические материалы часть 2 № 82,84,87,92,100.

Занятие 15-18. Решение иррациональных неравенств.

Схемы решения основных иррациональных неравенств.

Форма занятия: лекция, практикум.

Методы обучения: выполнение тренировочных заданий в группах.

Контроль: самопроверка.

1. Приготовить тесты для решения иррациональных уравнений и неравенств из газет «Математика в школе», «Квант»

2. Практикум по решению задач Э.Н. Балаян стр.113-114 № 14,17,25,26,27,29,30

3. Компьютерный тест по теме «Иррациональные неравенства».

Занятие 19-21.

Систематизация методов и приемов решения иррациональных уравнений и систем уравнений и неравенств.

Форма занятия: практикум.

Методы обучения: выполнение тренировочных заданий в группах.

Контроль:

1.Составить 5 систем неравенств, для изображения на координатной плоскости.

2. Компьютерный тест по теме «Системы иррациональных уравнений».

Глава 3. Решение уравнений и неравенств с параметром.(13ч)

Занятие 22-28. Уравнения с параметром линейные, квадратные, дробно-рациональные, иррациональные, с модулем.

Алгоритм графического решения уравнений с параметром.

1.Находим область определения уравнения.

2.Выражаем a, как функцию от х.

3.В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

4.Находим точки пересечения прямой, а=с, где с(-∞;+∞) с графиком функции а=(х). Если прямая, а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

5.Записываем ответ.

Форма занятия: лекция, практикум.

Методы обучения: выполнение тренировочных заданий.

Контроль: самопроверка.

1.Дидактические материалы часть 4 № 246, 248, 250, 251.

2. Написать конспект решения неравенств с параметром.

Занятие 29-33

Неравенства с параметром. Графическое решение неравенств. Решение задач из КИМов.

Форма занятия: лекция, практикум.

Методы обучения: выполнение тренировочных заданий.

Контроль: самопроверка.

1.Составить два проектных неравенства с параметром и показать решение.

2. Составить алгоритм решения уравнений с параметром.

3. Дидактические материалы часть 4 № 253. 254, 256.

Алгоритм решения неравенств с параметром.

1. Находим область определения данного неравенства.

2. Сводим неравенство к уравнению.

3. Выражаем а, как функцию от х.

4. В системе координат хОа строим графики функций а = (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

5. Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

6. Исследуем влияние параметра на результат.

- найдём абсциссы точек пересечения графиков.

- зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -∞ до +∞

7. Записываем ответ.

Занятие 34. Итоговый урок

Форма занятия: практикум.

Методы обучения: выполнение тренировочных заданий.

Контроль: самопроверка.

Литература для учителя:

1. В.А. Антонов. Математика. Основные методы решения задач.: Учебное пособие для дистанционного обучения.- Челябинск: Издательство ЮУрГУ,1999.

2. Э.Н. Балаян. ЕГЭ по математике: Новейшие тесты. Пособие для учащихся старших классов и абитуриентов вызов.- М: ИКЦ «МарТ»; Ростов - на - Дону: Издательский центр «МарТ», 2004.

3. Э.Н. Балаян . Практикум по решению задач. Рациональные уравнения, неравенства и системы.- Ростов на Дону: Феникс, 2006.

4. И.И. Гайдуков. Абсолютная величина: Пособие для учителей.-Изд.2-е.-М.,1968.

5. Л.О. Денищева. Единый государственный экзамен: Математика: Контрол. измерит. материалы - М.: Просвещение, 2003.

6. С.Л. Евсюк. «Математика. Решение задач повышенной сложности» Минск «МИСАНТА»,2003.

7. С.И. Колесникова. Интенсивный курс подготовки к Единому государственному экзамену. М.: Айрис - пресс, 2004.

8. С.В. Климин. ЕГЭ 2001: Тестовые задания: Математика - М.: Просвещение, 2002.

9. В.В. Кочагин. Единый государственный экзамен: Математика: Репетитор - М.: Просвещение, Эксмо, 2006.

10. В.В. Кочагин. Математика. Тематические тренировочные задания - М.: Эксмо, 2008.

11. В.В. Кочагин. Самое полное издание реальных заданий ЕГЭ 2008: Математика- М.: АСТ: Астрель, 2008.

12. Л.Д. Лаппо. ЕГЭ. Репетитор. Математика. Эффективная методика- М.: Издательство «Экзамен», 2007.

13. В.В. Локоть. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные, неравенства, системы: Учебное пособие.-М.:АРКТИ, 2005.

14. Ф.Ф. Лысенко. Математика. ЕГЭ-2008. Вступительные испытания. -Ростов - на - Дону: Легион, 2007.

15. Т.И. Осипова. Задачи по математике. Пособие для поступающих в вузы. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ.2001.

16. С.Н. Олехник. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы: - М.: Дрофа, 2002.

17. Е.М. Родионов. Решение задач с параметрами. Пособие для поступающих в вузы.

18. В.Н. Студенецкая. Решение задач и выполнение заданий с комментариями и ответами для подготовки к единому государственному экзамену. Часть 1. - Волгоград: Учитель, 2003.

20. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. Пособие для 10 класса средней школы-М.: Просвещение, 1989.

21. Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004г. М.: Центр тестирования Минобразования России, 2004.

22. Интерактивный курс подготовки к ЕГЭ. Математика. ООО Издательство «Экзамен» 2007г.

Литература для ученика:

1 Э.Н. Балаян. ЕГЭ по математике: Новейшие тесты. Пособие для учащихся старших классов и абитуриентов вызов.- М: ИКЦ «МарТ»; Ростов - на - Дону: Издательский центр «МарТ», 2004.

2. Э.Н. Балаян . Практикум по решению задач. Рациональные уравнения, неравенства и системы.-Ростов на Дону: Феникс, 2006.

3. Н.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ. 10,11 кл. : Учеб. пособие для школ с углубленным изучением математики. - 9-е изд , стереотип. -М.: Мнемозина, 2002.

4. С.Л.Евсюк. «Математика. Решение задач повышенной сложности» Минск «МИСАНТА»,2003.

5. С.В. Климин. ЕГЭ 2001: Тестовые задания: Математика - М.: Просвещение, 2002.

6. В.В. Кочагин. Единый государственный экзамен: Математика: Репетитор - М.: Просвещение, Эксмо, 2006.

7. В.В. Кочагин. Самое полное издание реальных заданий ЕГЭ 2008: Математика- М.: АСТ: Астрель, 2008.

8. Л.Д. Лаппо. ЕГЭ. Репетитор. Математика. Эффективная методика- М.: Издательство «Экзамен», 2007.

9. Ф.Ф. Лысенко. Математика. ЕГЭ-2008. Вступительные испытания. -Ростов - на - Дону: Легион, 2007.

10. С.М. Никольский. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10, 11 кл. общеобразовательныхучреждений.-2-е изд.- М.: Просвещение, 2003.

11. Т.И. Осипова. Задачи по математике. Пособие для поступающих в вузы. - Ижевск: Изд-во ИжГТУ.2001.

12. С.Н. Олехник. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы: - М.: Дрофа, 2002.

13. О.Ю. Черкасов. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы.- М.: АСТ-ПРЕСС, 2001.

14. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. Пособие для 10 класса средней школы-М.: Просвещение, 1989.

15. Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004г. М.: Центр тестирования Минобразования России, 2004.

16. КИМы ЕГЭ, 2001-2007 г.

17. Газеты и журналы математика в школе. Журнал «Квант».