Урок по геометрии на тему 'Синус, косинус и тангенс угла' (9 класс)

ОТКРЫТЫЙ УРОК

9 класс

Геометрия

Тема:

Синус, косинус и тангенс угла

Урок ознакомления с новым материалом (1 час)

Цели урока:

1. Образовательные

• ввести понятие синуса, косинуса и тангенса для углов от 0º до 180º;

• вывести основное тригонометрическое тождество;

• научить применять тригонометрическое тождество при решении задач;

2. Развивающие:

• развитие мышления учащихся: учить детей анализировать, выделять главное;

• развитие сенсорной сферы: развитие глазомера, развитие формы и точности;

• развитие навыков самоконтроля.

3. Воспитательные:

• развитие нравственных качеств личности: ответственности, дисциплинированности, аккуратности, требовательности к себе, умения работать в коллективе.

Ход урока.

1. Организационный момент (сведения из истории).

Введение (зарождение тригонометрии)

Первым графиком тригонометрических функций была синусоида. Этот график был вычерчен в конце 30-х годов XVII в. французским математиком Робельваль. Волновые процессы занимают в природе существенное место, находят проявление во многих областях физики и технике. В физике изучаются: механические колебания, электромагнитные колебания в конторе, переменный ток, звуковые волны и т.д. При изучении колебаний пружинного и математического маятников вводится понятия амплитуды, фазы, циклической чистоты.

Историческая справка РОБЕРВАЛЬ Жюль (Roberval Giles Persone 1602-1675) Роберваль Жюль, псевдоним Жиля Персонье - французский математик. Член Парижской Академии наук (1666). Родился в Робервале (близ Бове). Образование получил самостоятельно. С 1634г. - профессор Колледжа де Франс. Одновременно с Б.Кавальери, но независимо от него, Роберваль разработал "метод неделимых", развитие которого привело к созданию анализа бесконечно малых. Свой метод он успешно применил к решению задач на определение длины кривых линий, площадей фигур с криволинейными границами, объемов некоторых тел. Построил последовательную теорию касательных к кривым, которая основывалась на сложении скоростей по правилу параллелограмма, т.е. на рассмотрении кривой как траектории сложного движения. Принимал участие в споре между Р.Декартом и П.Ферма о методе отыскания касательных в данных точках произвольных кривых. Одним из результатов этого спора была разработка общепризнанного с того времени определения касательной как предельного положения секущей. Роберваль занимался также исследованиями в области алгебры, механики, астрономии и физики.

2. Проверка усвоения ранее (8 класс) полученных знаний. Тест с последующей самопроверкой, чертеж к тесту на доске и ключи к тестам.

2 ВАРИАНТ

1. Косинус угла В равен:

2. Тангенс угла А равен:

3. Синус 30º равен:

4. Если cosα=, то sinα равен:

5. Если sinα=, то tgα равен:

6. В треугольнике АВС ∟С=90º sin∟А=.

Найдите sin ∟В.

7. Упростите выражение

cos60º·sin 45º·tg30º

1 ВАРИАНТ

1. Синус угла А равен:

2. Тангенс угла В равен:

3. Косинус 60º равен:

4. Если sinα=, то cosα равен:

5. Если cosα=, то tgα равен:

6. В треугольнике АВС ∟С=90º sin∟А=.

Найдите sin∟В.

7. Упростите выражение

sin30º·cos45º·tg60º

3. Изучение нового материала.

Введем прямоугольную систему координат ОХУ и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в 1 и 2 четвертях. Назовем ее единичной полуокружностью.

Из точки О проведем луч h пересекающий единичную полуокружность в точке М.

Учитель: Как Вы думаете, какую задачу сейчас мы будем решать?

Ученики: Определять координаты точки М.

Помогут нам в этом cos и·sin острых углов прямоугольного треугольника. Пусть координаты точки М (х;у). Обозначим угол между лучом h и положительным направлением буквой α.

Учитель: Чему будет равно значение α, если луч h совпадет с ОХ? (α=0º).

Вернемся к точке М. Как обычно мы определяем координаты точек на плоскости?

Ученики: Опускаем перпендикуляры на ОХ, ОУ.

Выполним необходимые построения

МД┴ОХ ОД=Х

МД=У

Учитель: Какую фигуру получили?

Ученики: Прямоугольный треугольник ОМД с катетами Х, У, гепотенузой ОМ и острым углом α.

Нам известно, что

но ОМ=1, МД=У, ОД=Х отсюда следует, что

(1)

В нашей ситуации угол α - острый. А если угол α будет тупым, прямым или развернутым?

Вывод: Для любого угла α из промежутка 0º≤α≤180º Синусом угла α называют ординату точки М, а косинусом угла α - абсциссу точки М.

Учитель: Найдем значения синусов и косинусов углов 0º, 90º и 180º.

Ученики: Заполняют таблицу.

Учитель: Что называют тангенсом острого угла?

Ученики: Тангенс острого угла прямоугольного треугольника - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Учитель: Для любого угла можно определить тангенс?

Ученики: Тангенс угла не определен, если косинус этого угла равен нулю. То есть при α=90º.

Учитель: Найдем тангенс углов 0º, 90º и 180º.

Ученики: Находят значение тангенса.

Учитель: Вернемся к единичной полуокружности. Она является дугой окружности с центром в точке О и радиусом равным единице. Следовательно уравнение окружности имеет вид: Х²+У²=1

или sin²α+ cos²α=1. Как Вы помните - это основное тригонометрическое тождество.

4. Закрепление изученного

   • Работа с рабочей тетрадью № 30А, № 31А - разобрать.

   • Решить самостоятельно № 30Б, В, Г и № 31Б, В (ответы зачитать).

   • Решить задачи из учебника №1012 (самостоятельно), с проведением взаимопроверки, №1013 (ученик у доски), №1015А, В (ученик у доски).

5. Подведение итогов урока

   • Что такое синус и косинус угла α если 0º≤α≤180º?

   • Что называют тангенсом угла α? Для какого угла α тангенс не определен? Почему?

6. Домашнее задание

П.93, 94 учебника, вопрос 1 - 4, №1011, №1014, №1015.

7. Литература

1. Учебник геометрии для 7-9 классов Атаносян Л.С.

2. История математики в школе Глейзер Г.И.

3. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода Епишева О.Б.

4. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете "Первое сентября".

5. Научно-теоретический и методический журнал "Математика в школе".

6. Г.К. Селевко. Современные образовательные технологии. Москва. «Народное образование». 1998.

8. Анализ урока.

Урок достиг поставленных целей, если учащиеся:

1. умеют определять синус, косинус и тангенс для углов от нуля до ста восьмидесяти градусов;

2. умеют вывести основное тригонометрическое тождество;

3. могут найти ошибку в своем решении или в решении другого ученика и исправить ее; правильно оценить результаты своей деятельности;

4. могут объяснить и аргументировать свои действия учащимся всего класса;

5. осознают значимость учебного материала урока.