Тема: Система уравнений с двумя переменными.

Тема: Система уравнений с двумя переменными.

Цель урока: Продолжить работу по оказанию помощи учащимся самостоятельно находить способы решения систем уравнений с двумя переменными.

Задачи урока: Сформировать умение графически решать системы уравнений с двумя переменными;

Повторить графики функций, дать наглядные представления о возможном количестве решений систем уравнений.

Ход урока:

I этап: Организационный момент, Приветствие, проверка домашнего задания

II этап: Новая тема

Каждое из уравнений 4х - 2у = 6; 3х - у = 1; ху = 4; х + у - 5 = 0; является уравнение с двумя переменными. Найдите пару чисел х, у, которая обращает уравнение 4х - 2у = 6 в верное равенство. Что называется решением уравнения? Уравнение с двумя переменными имеет, как правило бесконечное множество решений. Два уравнения, имеющие одинаковое множество решений, называют равносильными уравнениями.

Как определяется степень уравнения с двумя переменными? На примере (х + у) = х - 1 выяснить степень уравнения. Что называется графиком уравнения с двумя переменными? Показать, что графиком уравнения х + у = r , где r - произвольное положительное число, является окружностью радиуса r с центром в начале координат.

Системы уравнений можно решить несколькими способами:

1. алгебраическое сложение

2. способ подстановки

3. графический способ

4. способ введения новой переменной

Способ алгебраического сложения:

• Умножить почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

• Сложить почленно левые и правые части уравнений системы;

• Решить получившееся уравнение с одной переменной

• Найти соответствующее значение второй переменной;

• Записать ответ в виде пар числовых значений переменных

Пример: х²+у=25 2х²=32 х²=16, тогда х₁=-4, х₂=4 Теперь х подставляем во

х²-у=27 второе уравнение системы и находим у:

х₁=-4, тогда (-4)²-у₁=7, 16-у₁=7, у₁=9 х₂=4, тогда 4²-у₂=7, 16-у₂=7, у₂=9

Ответ: (-4;9)(4;9)

Способ подстановки:

• в одном из уравнений выражаем одну переменную через другую;

• подставляем полученное выражение во второе уравнение для получения уравнения с одной переменной;

• решаем полученное уравнение с одной переменной;

• найти значение второй переменной;

• записать ответ в виде пар числовых значений переменных

Пример: у²-ху=12 Разложим левые части уравнений на множители:

х²-ху=-3 у(у-х)=12

х(х-у)=-3 Выразить разность х-у через переменную х из второго уравнения (х?0); х-у=-3/х. Подставим его в первое уравнение, получаем: у/х=4

х(х-у)=-3

откуда у=4х Подставляем выражение у во второе уравнение последней системы,

х(х-у)=-3 имеем -3х²=-3 или х²=1, тогда х₁=1 и х₂=-1, соответственно: у₁=4 и у₂=-4 Ответ: (1;4)(-1;-4)

Графический способ:

• рассмотреть одну из переменных системы уравнений как аргумент, а другую как функцию;

• построить графики уравнений системы в одной прямоугольной системе координат;

• определить координаты точек пересечений графиков уравнений;

• записать ответ в виде пар числовых значений переменных

Пример: у=х²-6х+5 Определяем точку О₁(m;n) из первого уравнения системы.

у=2,5х-13 Используем выделение полного квадрата, записываем уравнение

у=х²-6х+5=(х-3)²-4 это парабола Из этого уравнения m=3 и n=-4 , Тогда О₁(3;-4). Теперь находим точки пересечения с осями координат. Если х=0, то у=5, а при у=0 получаем: х₁=1, х₂=5

Следовательно, парабола пересекает оси координат в точки с координатами (0;5),(1;0),(5;0). используя точки строим график уравнения у=х²-6х+5 (рис 1)

Графиком второго уравнения у=2,5х-13 является прямая

Для того чтобы построить прямую достаточно найти две

точки: х=2, то у=2,5-*2-13=-8 (2;-8)

если х=6, то у=2,5*6-13=2 (6;2) Проводим прямую (рис 1)

По рисунку видно, что графики пересекаются в точке А (4;-3)

Следовательно, система уравнений имеет одно решение

х=4; у=-3 Ответ: (4;-3)

Способ введения новой переменной:

• ввести новые переменные;

• записать уравнения системы через введенные переменные;

• решить систему уравнений с новыми переменными;

• найти значения переменных, используя числа введенных переменных;

• записать ответ в виде пар чисел исходных уравнений

Пример: х+у+2ху=7 Вводим обозначения а=х+у b=ху. Получаем систему

ху+2(х+у)=8 а+2b=7

b+2а=8 Эту систему уравнений решаем способом подстановки. Тогда а=7-2b а=3

b+14-4b=8 Отсюда b=2 Возвращаемся к х и у, получаем

х+у=3 х=3-у

ху=2 (3-у)у=2 Теперь решаем квадратное уравнение у²-3у+2=0, получаем

у₁=1 и у₂=2. Подставляем у в первое уравнение и получаем х₁=2 и х₂=1

Ответ: (2;1)(1;2)

III этап: Решение примеров ? 39 стр 17

IV этап: Подведение итогов

V этап: Домашнее задание ? 36(а, б) стр 17