Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя образовательная школа №1

имени генерал - лейтенанта Б.П. Юркова

г.Зверева Ростовской области.

Урок - семинар на тему

«Решение уравнения sin x + cos x = 1»

учитель математики МБОУ СОШ №1

им. Б.П. Юркова

Куц Фёдор Иванович

г. Зверево

2015 г.

Перед человеком к разуму три пути: путь размышления - это самый благородный; путь подражания - это самый легкий; путь личного опыта - самый тяжелый путь.

Конфуций

Цели урока:

Главная дидактическая цель: рассмотреть все возможные способы решения данного уравнения.

Обучающие: изучение новых приемов решения тригонометрических уравнений на примере данного в творческой ситуации урока-семинара.

Развивающие: формирование общих приемов решения тригонометрических уравнений; совершенствование мыслительных операций учащихся; развитие умений и навыков устной монологической математической речи при изложении решения тригонометрического уравнения.

Воспитывающие: развивать самостоятельность и творчество; способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов.

Вопросы для подготовки и дальнейшего обсуждения на семинаре.

1) Введение вспомогательного угла.

2) Использование универсальной тригонометрической подстановки:

3) Сведение к однородному уравнению.

4) Применением формул сложения тригонометрических функций

5) Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

6) Применение формул двойного и половинного аргумента.

7) Применение основного тригонометрического тождества.

8) Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.

9)Графическое решение уравнения.

Все учащиеся разбиваются на группы (по 2-3 человека) в зависимости их индивидуальных способностей и желания. Каждой группе определяется задание для подготовки и выступления на уроке-семинаре. Выступает один человек от группы, а остальные учащиеся принимают участие в дополнениях и исправлениях ошибок, если в этом возникнет необходимость.

Организационный момент.

Учащимся сообщаются:

Тема урока: «Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x + cos x = 1».

Форма проведения: урок - семинар.

Задачи урока:

а) рассмотреть возможность решения одного и того же уравнения различными способами;

б) познакомиться с различными общими приемами решения тригонометрических уравнений;

в) изучение нового материала (введение вспомогательного угла, универсальная подстановка).

План семинара:

1) Введение вспомогательного угла.

2) Использование универсальной тригонометрической подстановки:

3) Сведение к однородному уравнению.

4) Применением формул сложения тригонометрических функций

5) Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

6) Применение формул двойного и половинного аргумента.

7) Применение основного тригонометрического тождества.

8) Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.

9)Графическое решение уравнения.

1. Решение первой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 методом «Введения вспомогательного угла».

Если дано уравнение a sin x + b cos x = с, то разделив обе части уравнения на выражение

и вводя дополнительный угол , получим уравнение cos sin x + sin cos x = .

Откуда sin (x + ) = .

(Или sin sin x + cos cos x = . Откуда cos (x + ) = ).

Для уравнения sin x + cos x = 1 имеем: a = 1, b = 1: = = .

sin x + cos x = ; sin x + cos x = .

cossinx + sincosx = , sin(x + ) = ; x + = (- 1)ⁿ arcsin + π n, n Z;

x + = (- 1)ⁿ + π n, n Z; x = - + (- 1)ⁿ + π n, n Z.

Эта серия корней распадается на две серии:

при четном n: n = 2m x = - + + 2πm = 2πm, m Z;

при нечетном n: n= 2k + 1 x = - - + π (2k + 1) = - + π + 2πk= = + 2πk, k Z.

Ответ. x = 2πn, n Z; x = + 2πk, k Z.

Или 2) sinsinx + coscosx = ; cos(x - ) = ; x - = ± arccos + 2π n, n Z;

x - = ± + 2π n, n Z; x = ± + 2π n, n Z.

Эта серия корней распадается на две серии: x = 2πn, n Z; x = + 2πk, k Z.

Ответ. x = 2πn, n Z; x = + 2πk, k Z.

2. Решение второй группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 с помощью универсальной тригонометрической подстановки: sin x = , cos x =.

Перепишем данное уравнение с учетом приведенных формул:

+ = 1. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель ( ≠0).

+ = ; - = 0; ( - 1) = 0.

= 0 или - 1 = 0.

1) = 0, = πn, n Z; x = 2πn, n Z.

2) = 1, = + πk, k Z; x = + 2πk, k Z.

Ответ. x = 2πn, n Z; x = + 2πk, k Z.

3. Решение третьей группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 приведением к однородному уравнению относительно синуса и косинуса.

Используя формулы двойного аргумента sin x = 2sincos, cosx = cos² - sin² и записывая

правую часть уравнения в виде 1= cos² + sin², получаем:

2sincos + cos² - sin² = cos² + sin²; 2 sin² - 2sincos = 0.

Вынося 2sinза скобки, получим равносильное уравнение

2 sin (sin - cos = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен

нулю, другие при этом имеют смысл. Следовательно, 2sin = 0 или sin - cos

1) sin = 0. = n, n Z; x = 2πn, n Z.

2) sin - cos = 0 - однородное уравнение первой степени. Делим обе части уравнения на cos

(cos ≠ 0, в противном случае, если cos = 0, то и sin = 0, что противоречит основному

тригонометрическому тождеству cos² + sin² = 1).

tg - 1= 0; tg = 1.

= + х = + 2πk, k Z .

Ответ. x = 2πn, n Z; x = + 2πk, k Z.

4. Решение четвертой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 с применением формул сложения тригонометрических

функций sin + sin= 2 sin cos .

Выразим cos x через sin x, используя формулы приведения: cos x = sin( - x).

sin x + sin ( - x) = 1; 2 sincos = 1; 2 sin cos (x - ) = 1;

2∙ ∙ cos (x - ) = 1; cos (x - ) = .

x - = ± arccos +2n, n Z; x = ± +2n, n Z.

x = 2n, n Z; х = + 2k, k Z.

Ответ. x = 2πn, n Z; x = + 2πk, k Z.

5. Решение пятой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 способом возведения обеих частей уравнения в квадрат.

(sin x + cos x )² = 1; sin² x + 2sin x cos x + cos x² = 1.

Используя формулу синуса двойного аргумента sin 2x = 2sin x cos x и основное

тригонометрическое тождество cos²х + sin²х = 1, имеем:

sin 2x + 1 = 1; sin 2x = 0; 2x = πn, n Z; x = , n Z.

При возведении уравнения в квадрат получаем уравнение - следствие, поэтому проведем

проверку.

Проверка.

1) При х = 2πn, n Z, 0 + 1 = 1 верно, х = 2πn, n Z - корни уравнения.

2) При х = + 2πn, n Z; 1+ 0 = 1 верно, х = + 2πn, n Z - корни уравнения.

3) При х = π + 2πn, n Z, 0 - 1 = 1 неверно, х = π + 2πn, n Z - не являются корнями

уравнения.

4) При х = + 2πn, n Z, -1+ 0 = 1 неверно, х = + 2πn, n Z - не являются корнями

уравнения.

Ответ. x = 2πn, x = + 2πn, n Z.

6. Решение шестой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 с применение формул двойного и половинного

аргумента.

Запишем уравнение в виде: sin x = 1 - cos x .

Сделаем замену: sin x = 2sincos, 1 - cos x = 2sin².

2sincos = 2sin²; 2sincos - 2sin² = 0. Вынося 2sinза скобки, получим равносильное

уравнение 2sin (sin - cos = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей

равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.

2sin = 0 или cos - sin = 0.

1) 2sin = 0; = πn, n Z; x = 2πn, n Z.

2) cos = sin ; = 1; = + πk; x = + 2πk, k Z.

Ответ. x = 2πn, n Z; x = + 2πk, k Z.

7. Решение седьмой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 с применение основного тригонометрического

тождества.

Из тождества sin² x + cos² x = 1 имеем cos² x = 1 - sin² x, откуда cos x = ±.

sin x ± = 1; ± = 1 - sin x; 1 - sin² x = (1 - sin x)²;

(1- sin x) (1 + sin x) - (1 - sin x)² = 0; (1- sin x) (1 + sin x - 1 + sin x) = 0; (1 - sin x) ∙ 2sin x = 0.

1 - sin x = 0 или 2 sin x = 0.

1) sin x = 1; x = + 2πk, k Z.

2) sin x = 0; x = πn, n Z.

В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло

привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка.

Выполним ее.

При х = + 2πk, k Z, 1+ 0 = 1 верно, х = + 2πk, k Z.- корни уравнения.

При х = 2πn, n Z, 0 + 1 = 1 верно, х = 2πn, n Z - корни уравнения.

При х = π + 2πn, n Z, 0 - 1 = 1 неверно, х = π + 2πn, n Z - не являются корнями уравнения.

Ответ. x = 2πn, n Z; x = + 2πk, kZ.

8. Решение восьмой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 способом приведения к квадратному уравнению

относительно одной из функций.

Рассмотрим основное тригонометрическое тождество sin² x + cos² x = 1, откуда следует sin x =

±, подставим полученное выражение в данное уравнение.

± + cos x = 1; ± = 1 - cos x.

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат: 1 - cos²x = 1 - 2cos x + cos²x;

2cos²x - 2cos x = 0; cos x (cos x - 1) = 0.

cos x = 0 или cos x - 1 = 0.

1) cos x = 0. x = + πk, k Z.

2) cos x - 1 = 0; cos x =1. х = 2πn, n Z.

Корни необходимо проверить.

При х = + 2πk, k Z, 1+ 0 = 1 верно, х = + 2πk, k Z - корни уравнения.

При х = - + 2πk, k Z, - 1 + 0 = 1 неверно, х = - + 2πk, k Z - не являются корнями

уравнения.

При х = 2πn, n Z, 0 + 1 = 1 верно, х = 2πn, n Z - корни уравнения.

Ответ. x = 2πn, n Z; x = + 2πk, kZ.

9. Решение девятой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 графическим способом

Перепишем уравнение в виде: sin x = 1 - cos x.

Построим в одной системе координат графики функций: у = sin x , y =1 - cos x.

Абсциссы точек пересечения являются решениями данного уравнения.

Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: x = 2πn, n Z; x = + 2πk, k Z. (Необходимо обязательно проверять это вычислениями).

Ответ. x = 2πn, n Z; x = + 2πk, k Z.

Итог урока.

Учащиеся научились решать тригонометрические уравнения вида a sin x + b cos x = c, освоили новый материал.

На примере одного уравнения рассмотрели несколько способов решения.

Учащиеся были непосредственными участниками урока, была задействована обратная связь в системе ученик-учитель.

Учащиеся получили навыки самостоятельной работы с дополнительной литературой.

Литература.

1. Материалы курса «Тригонометрия в школе». /Н.Н. Решетников, М. Педагогический университет «Первое сентября», 2010 г.

2. Математика. Большой справочник школьников и поступающих в вузы. М.»дрофа»,1999 г.

3. Математика. Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов. Новочеркасск, НГМА,2003 г.

4.Алгебра и начала анализа. 10 -11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый уровень/ Ш.А. Алимов и др./ - М, Просвещение, 2010 г.

Интернет- ресурсы

1.›

2.festival.1september.ru/articles/515874/