Обучающие и проверочные задания по геометрии

10-12-ые классы

Обучающие и проверочные задания

Габитова З.Ф.

Г. Нижневартовск

В данной разработке представлены обучающие и проверочные задания по геометрии для учащихся 10-12 классов, способствующие дальнейшему развитию пространственного воображения учащихся. В последней группе предусмотрен анализ решения выборочных задач, заполнение пропусков в частично решенных задачах, а также задачи для самостоятельного решения, позволяющие учащимся осуществлять самоконтроль за качеством своего обучения. Данные задания помогут более глубокому осмыслению пройденного материала, сформировать умения проводить математические умозаключения, решать типовые задачи курса.

10 класс

Параллельность прямых и плоскостей

I.Закончите предложения

1. Прямая и плоскость называются параллельными, если ……….

2. Признак параллельности прямой и плоскости: ……..

Сделайте рисунок:

II. Ответьте на вопросы:

1. Сколько случаев взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве?

Сделайте соответствующие пояснения.

2. Сколько можно провести через данную точку прямых, параллельных данной плоскости?

Ответ поясните.

3. Сколько можно провести через данную точку плоскостей, параллельных данной прямой?

4. Известно, что прямая параллельна плоскости.

А) Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости?

Ответ поясните

Б) Может ли данная прямая пересечь хотя бы одну из прямых этой плоскости?

Ответ обоснуйте

В) какие могут быть случаи расположения данной прямой с другими прямыми этой плоскости?

5. Каким может быть взаимное расположение двух

прямых, из которых одна параллельна некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость?

Ответ обоснуйте

6. Сторона АВ параллелограмма ABCD принадлежит плоскости. Как расположены по отношению к плоскости остальные стороны?

7. Какая ошибка в утверждении:

«Прямая параллельна плоско­сти, если она параллельна пря­мой, лежащей в этой плоско­сти»? Приведите контрпример и сделайте соответствующие пояс­нения»

Сделайте рисунок

8. Как формулируется утверждение, обратное призна­ку параллельности прямой и плоскости?

Сделайте рисунок

3. ABCDA₁B₁C_lD_l - параллелепипед.

В

С

Выпишите

а) ребра, параллельные гра­ни АВВ₁А₁

б) грани, параллельные реб­ру DC:

в) ребра, пересекающие грань ABCD:

г) ребра, скрещивающиеся с ребром ВВ₁:

4. Верны ли утверждения?

1. Если прямая а параллельна плоскости и прямая b параллельна прямой а, то прямая b параллельна плоско­сти .

Ответ обоснуйте

Сделайте рисунок

2. Если прямые а и b параллельны плоскости , то прямая b параллельна прямой а.

Ответ обоснуйте. Приведите контрпример

3.Если прямая а параллельна плоскости , то в плос­кости существует прямая b, параллельная а.

Как связана эта теорема с признаком параллельности прямой и плоскости?

5. Заполните пропуски, чтобы получилось верное ут­верждение

1.Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересе­чения плоскостей ……………………………. данной прямой.

Утверждение поясните ри­сунком и соответствующими

записями

2. Если прямая а, не принад­лежащая плоскостям и параллельна их линии пересече­ния, то она ……………………и

Утверждение поясните ри­сунком и соответствующими записями

3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая пря­мая…………………………………………эту плоскость.

Утверждение поясните ри­сунком и соответствующими записями

4. Если основание пирамиды (см. рисунок) - прямоугольник, то стороны основания пирами­ды ……………………………….. противолежащим граням.

6. Проанализируйте решение следующей задачи

6

.1. Из точки А к плоскости проведены два отрезка АС и АB=9см, точка D принадлежит АВ, точка E принадлежит АС, DE параллельна и . Найдите отрезки AD и DB.

РЕШЕНИЕ:

1. Проведем отрезок ВС, пересекающиеся прямые АВ и АС определяют плоскость, назовем ее .

2. = ВС, DE, DE, следовательно, DEBC.

3. по теореме Фалеса, пусть AD = х и DB=9-х, тогда , 9-х=2х, х=3см, т.е. AD=3 см.

Ответ: AD= 3 см, DB= 6 см.

6. 2. Решите аналогичную задачу со следующими данными: АВ = 10 см;

Решение:

7. Решите задачи, заполняя пропуски

7.1. Из точки А проведены к плоскости а до пересечения с ней в точках С и D два отрезка. Точки К и М- середины отрезков АС и AD. Найдите АК и AM, если АС = 8 см, АD = 6 см.

Решение:

А

1) AC, AD, KM, CD лежат в одной плоскости,

(ACD) = CD.

2) KM - средняя линия ΔACD, следовательно,

KM || CD

и ΔАКМ ΔАСD, тогда . Подставляем данные: .

Ответ: АК=…см, АМ = … см.

7.2. Из точки S проведены к плоскости до пересечения с ней в точках А и В два отрезка. Точки D и Е взяты на отрезках AS и SB так, что DE параллельна и . Найдите SD и DA, если SA = 15 см.

Решение:

1. Проведем отрезок АВ, пе­ресекающиеся прямые SA и SB пересекают плоскость, назовем ее .

2. = AB, DE, DE||, следовательно, DE || АВ.

3. , пусть SD = х, тогда DA= … и , 15-х=4х, 15=…, х=…, 15-х=… .

Ответ: CD=… см, DA= … см.

7.3. Докажите, что через любую из двух скрещивающих­ся прямых можно провести плоскость, параллельную дру­гой прямой.

8. Выберите ответ из числа предложенных

1. ABCDA ₁B₁C₁D₁ - куб. Как расположены:

1) ребра D₁C₁ и DC к грани ABB₁A₁?

а) пересекаются; б) парал­лельны.

2) ребра AA₁ и D₁С₁?

а) параллельны; 6} пересека­ются; в) скрещиваются.

2. Прямые а и b параллельны. Прямая а не лежит в плоскости , прямая b принадлежит . Какое взаимное расположение прямой а и плоскости ? а) пересекаются; б) парал­лельны

Ответ обоснуйте:

Сделайте рисунок.

3. Основание пирамиды - квадрат (см. рисунок). Как расположены стороны основания пирамиды к противопо­ложным граням?

а) пересекаются; б) парал­лельны

Ответ обоснуйте

4. Если прямая а параллельна диагонали BD паралле­лограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограм­ма, то как расположены прямые а и АС?

а) параллельны; б) пересекаются; в) скрещиваются.

Ответ обоснуйте:

Сделайте рисунок:

5. Из точки М проведены к плоскости до пересече­ния в точках N и К два отрезка. Точки D и Е - середины отрезков MN и МК. Найдите длину отрезка NK, если DE = 4 см.

а) 9 см; б) 6 см; в) 8 см.

Ответ

Сделайте рисунок.

6. Из точки А проведены два луча, пересекающие плос­кость в точках

В и Е. Точки С и D взяты на лучах так, что , CD|| и

CD = 12 см. Найдите BE.

a) 10 см; 6) 20 см; в) 15 см.

Ответ обоснуйте. Сделайте рисунок

11-12 классы

Многогранники.

Многогранник. Призма. Поверхность и сечение призмы. Параллелепипед.

1. Сделайте рисунок выпуклого многогранника и за­кончите предложения.

1. Многогранник - это тело, поверхность которого состоит

2. Многогранник называется выпуклым, если он расположен

2. Сделайте рисунок наклонной четырехугольной при­змы, обозначьте ее и запишите:

Вершины……….

Основания…………..

боковые ребра…………..

боковые грани……………..

противоположные грани…………….

3. Закончите предложения.

1. Высотой призмы называется ……..

2. Диагональю призмы называется …………

3. Диагональным сечением призмы называется сече­ние плоскостью, проходящей через……..

4. Призма называется прямой, если…………

5. Призма называется правильной, если…………

6. Боковой поверхностью призмы называется…………..

7. Параллелепипедом называется……………

8. Прямоугольным параллелепипедом называется…………..

9. Кубом называется прямоугольный параллелепипед, у которого……………

10. Примеры моделей призмы и параллелепипеда из реальной жизни:

Помните: сечением пространственного тела плоскостью называют фигуру, образуемую при пересечении секущей плоскости с телом.

4. Выполните задания.

1.Среди изображенных тел выберите номера тех, которые являются призмами.

Ответ:

2.Среди изображенных тел выберите номера тех, ко­торые являются параллелепипедами.

Ответ: №

3.В прямой четырехугольной призме проведите:

а) две диагонали граней………

б) две диагонали призмы…….

Постройте два диагональных сечения

4. В прямоугольном параллелепипеде ABCD A₁B₁C₁D₁ постройте сечение, проходящее через вершины A, В₁, С. Поясните свои рассуждения:

5. ABCD A₁B₁C₁D₁ - куб; РD₁D; КB₁C₁. Постройте точки пересечения прямых:

а) А₁Р с плоскостью АВС

б) СК с плоскостью АВВ₁.

6. Проведите сечение треугольной наклонной призмы, проходящее через середины боковых ребер. Как расположено это сечение по отношению к плоскости основания? Какая фигура получена в сечении? Поясните свои рассуждения

5. Ответьте на вопросы:

1. Какие многоугольники лежат в основании призмы?

2. В каких плоскостях лежат основания призмы?

3. Какими отрезками являются боковые ребра призмы?

4. Какими фигурами являются боковые грани призмы?

5. Что представляет собой диагональное сечение призмы?

6. Из чего состоит полная поверхность призмы?

7. Какими фигурами являются грани параллелепипеда?

Какими фигурами являются все грани прямоуголь­ного параллелепипеда?

8. Какой параллелепипед называется кубом?

9.Сколько измерений у прямоугольного параллеле­пипеда?

10. Почему все высоты призмы равны между собой?

11.Какие многоугольники являются основанием и боковой гранью пятиугольной призмы?

12.Призма имеет 30 граней. Какой многоугольник ле­жит в ее основании? Сколько вершин и ребер имеет эта призма?

13.Будет ли сечение, перпендикулярное боковому ребру призмы, перпендикулярно к ее боковой грани? Ответ обо­снуйте

14. В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте?

15. Если все ребра призмы равны, то будет ли она правильной? Ответ поясните.

16.Существует ли призма, у которой только одна боковая грань

перпендикулярна основании.? Ответ поясните. Дан наклонный

параллелепипед. Известно, что угол основания равен 150⁰. какое из

диагональных сечений параллелепипеда больше? Ответ поясните

рисунком и объясните.

6. Докажите.

1. ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ - куб. Докажите, что сечение D₁АС - равносторонний треугольник.

Доказательство:

2. Докажите, что площадь полной поверхности правильной призмы вычисляется по формуле S=P(h+r), где Р - периметр основания, h- высота, r- радиус вписанной в основание окружности.

Доказательство:

7. Заполните пропуски, чтобы утверждение было верным.

1. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине……….

2. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению 3. У параллелепипеда противолежащие грани…………..

4.Диагонали параллелепипеда пересекаются………….

5. Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его………. симметрии.

6. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен…….

7.У прямоугольного параллелепипеда есть………(количество) плоскости симметрии, если все линейные размеры разные.

Утверждение поясните рисунком и соответствующими записями.

8. Если у прямоугольного параллелепипеда два линейных размера равны, то у него…….. (количество) плоскости симметрии.

Утверждение поясните рисунком и соответствующими записями.

9.У куба….(количество) плоскостей симметрии.

10. Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения (перпендикулярного боковым ребрам и пересекающего их) на………ребро.

8. Выберите верный ответ из числа предложенных.

1. Чему равна площадь боковой поверхности куба с ребром 10 см²?

а) 40 см², б) 400 см², в) 100 см², г) 40 см.

2. Чему равна площадь полной поверхности куба с ребром 6 см?

а) 36 см², б) 144 см², в) 216 см², г) 144см.

3. Чему равна площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, если ее высота h, сторона основания a?

а) ha, б) 4ah, в) 4²h, г) 4(a+h)

4. Чему равна площадь полной поверхности куба, если его диагональ равна d?

а) 2 d², б) 6 d², в) 3 d², г) 4 d²

5. Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения, равные а=5 см, b+8 см, h= 10 см. Какова площадь его полной поверхности?

а) 400 см², б) 160 см², в) 280 см², г) 340 см²,

6. По стороне основания а и боковому ребру b найдите полную поверхность правильной треугольной призмы.

а) ; б) ; в) a²+3ab; г) 3a(+2)

7. Сколько всего диагоналей можно провести в четырехугольной призме?

а) 2; б) 4; в) 6

9. Решите задачи:

1. Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания а и высотой, равной h. Определите угол между диагональю призмы и плоскостью основания.

Сделайте рисунок.

2. В основании наклонного параллелепипеда лежит прямоугольник. Боковая грань также является прямоугольником и наклонена в плоскости основания под углом 45^о. Чему равен угол наклона бокового ребра к основанию?

Сделайте рисунок.

3. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 25 см, а диагональ ее боковой грани - 20 см. Найдите высоту призмы.

Сделайте рисунок

.

4. Боковое ребро наклонной призмы равно 8 см и наклонено к плоскости основания под углом 45^о. Найдите высоту призмы.

Сделайте рисунок.

5. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3см и 5 см, угол между ними равен 60⁰. Большая диагональ параллелепипеда равна 10 см. Найдите его боковое ребро.

Сделайте рисунок.

6. В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, их общее ребро равно 24 см.

Сделайте рисунок.

7. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 10 см и 15 см, площадь диагонального сечения 90 см². Найдите высоту параллелепипеда?

Сделайте рисунок.

8. В наклонной четырехугольной призме боковое ребро 8см, а расстояния между последовательными боковыми ребрами 3см, 6 см, 2 см и 7 см. определите его боковую поверхность.

Сделайте рисунок.

9. По стороне основания d= 6см и боковому ребру b= 12 см правильной треугольной призмы определите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и ось призмы (с точностью до целых).

Сделайте рисунок.