Система задач по теме «Арифметическая прогрессия» (9 класс)

Система задач по теме «Арифметическая прогрессия».

Подобранная система задач, опирается на формулу n-го члена арифметической прогрессии. Эту систему можно использовать на уроках в 9 классе, при изучении темы, а также при подготовке к письменному экзамену за курс основного общего образования и экзамену в форме ЕГЭ в 11 классе.

Пусть и соответственно первый и n-й члены арифметической прогрессии, n- число ее членов, d- разность прогрессии.

I. В первом разделе представлены типовые задачи, основанные на применении исходной формулы.

1. В арифметической прогрессии найдите:.

2. В арифметической прогрессии найдите: , если .

3. В арифметической прогрессии найдите: , если

4. Между числами 23 и 47 вставьте пять таких чисел, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию.

5. В арифметической прогрессии . Найдите номер члена, который равен 128.

6. В арифметической прогрессии . Сколько положительных членов содержит эта арифметическая прогрессия?

7. Найдите седьмой член арифметической прогрессии, если

II. Следующие задачи, сконструированы на основе типовой задачи, но при этом в них необходимо использовать различные знания из других разделов математики.

1. Найдите и арифметической прогрессии, если

2. Напишите формулу n-го члена арифметической прогрессии, если .

3. Напишите формулу n-го члена арифметической прогрессии, если .

4. В арифметической прогрессии вычислите .

5. Найдите квадрат разности девятого и седьмого членов арифметической прогрессии, если произведение восьмого и четвертого ее членов на 27 меньше произведения седьмого и пятого ее членов.

6. Градусные меры углов составляют арифметическую прогрессию, у которой . Найдите .

7. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите синус меньшего угла этого треугольника.

8. Второй член арифметической прогрессии составляет 88% от первого. Сколько процентов от первого члена составляет пятый член этой прогрессии?

9. В арифметической прогрессии Найдите

10. Первый член арифметической прогрессии равен 2. Какой должна быть разность этой прогрессии, чтобы произведение пятого и седьмого членов имело наименьшее значение?

11. В арифметической прогрессии - ее первый отрицательный член. Какие целые значения может принимать разность прогрессии?

12. Могут ли стороны прямоугольного треугольника образовывать арифметическую прогрессию?

III. Здесь представлены задачи, в которых слово «прогрессия» не употребляется, но, тем не менее, используется. Такие задачи встречаются в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ (в некоторых задачах допускается использование формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии).

1. Курс воздушных ванн начинают с 15 мин в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 ч 45 мин?

2. За установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 2600 руб., а за каждое следующее кольцо платили на 200 руб. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы было уплачено еще 4000 руб. Средняя стоимость установки одного кольца оказалась равной руб. Сколько колец было установлено?

3. Длины оснований трапеции 26 см и 11 см. Боковая сторона трапеции разделена на 10 равных отрезков, и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Найдите длину пятого отрезка, считая от нижнего основания. Найдите сумму длин всех параллельных отрезков, заключенных между боковыми сторонами трапеции?

4. Ежемесячно семья Комаровых платит за электроэнергию 60 руб. За каждый просроченный день взимается пеня в размере 0,5% с оплачиваемой суммы. Через сколько дней им придется заплатить за электроэнергию ее двойную стоимость?

5. Из пункта А выехал велосипедист, который в первый час проехал 16 км, а в каждый следующий час проезжал на 2 км меньше. Из пункта В, который находится от пункта А на расстоянии 7 км, в этом же направлении одновременно выехал второй велосипедист вслед за первым. Причем второй велосипедист в первый час проехал 11 км, а в каждый следующий час увеличивал скорость на 2,5 км. Через сколько часов второй велосипедист догонит первого?

6. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м, а в каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты в 5700 м?

7. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах - одно штрафное очко, а за каждый последующий - на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 45 штрафных очков?

8. В соревнованиях по волейболу участвовало n команд. Каждая команда играла со всеми остальными по одному разу. За каждую игру выигравшей команде засчитывалось одно очко, за проигрыш очки не начислялись; ничьих в волейболе нет. По окончании соревнований выяснилось, что набранные командами очки образуют арифметическую прогрессию. Сколько очков набрала команда, занявшая последнее место?

9. Два тела падают на землю, причем начало падения второго тела наступило на 3с. Раньше начала падения первого тела. За первую секунду падающее тело проходит 4,9 м, за каждую следующую секунду его скорость увеличивается на 9,8 м. Когда расстояние между телами будет равно одному километру?