Доклад 'Нестандартные способы решения квадратных уравнений'

Школьная научная математическая конференция

ДОКЛАД

на тему

«Нестандартные способы решения

квадратных уравнений»

Подготовила: Колмычек Анастасия,

учащаяся 8-А класса

МТЛ

Руководитель: Крыжова Ольга Петровна,

учитель математики

г. Керчь - 2013 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В курсе алгебры 8 класса начинается знакомство с квадратными уравнениями вида aх²+bx+c=0 , где a≠0. Для решения таких уравнений используются формулы дискриминанта D=b² - 4ac и формулы корней квадратного уравнения , или теорема Виета (при а=1) х₁ + х₂ = - b, x_{1 *} x₂ = c.

I способ

Давайте рассмотрим уравнение ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Если, а + с = b, то х₁ = - 1, х₂ = - с/а.

Например, 3х² + 2х - 1 = 0. 3+(-1)=2, то

х₁ = - 1, х₂ = - c/a = -(-1/3)= 1/3.

II способ

Если, а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

то х₁ = 1, х₂ = с/а.

Например, 345х² - 137х - 208 = 0. (345 - 137 - 208 = 0), то

х₁ = 1, х₂ = c/a = -208/345.

Рассмотрим еще один способ - «переброски» старшего коэффициента.

III способ

Умножим обе части уравнения на a ≠ 0, получим , а²х² + аbх +ас = 0.

Пусть ах = t, то получим t² + bt + ас = 0,

t₁, t₂ найдем по теореме обратной теореме Виета.

Имеем ах₁ = t и ах₂ = t,

тогда х₁ = t₁/а и х₂ = t₂/а.

Рассмотрим уравнение 2х² - 11х + 15 = 0.

Умножим обе части уравнения на а=2, получим 2² х²- 2*11х+ 2*15=0

Пусть 2х = t, получим t² - 11t +30 = 0, по теореме Виета найдем корни:

t₁ + t₂ = 11, t_{1 *} t₂ = 15 значит t₁ = 5, t₂ = 6.

Затем найдем корни исходного уравнения, следующим образом:

2х₁ = 5 и 2х₂ = 6

х₁ = 2,5 х₂ = 3

Ответ: 2,5; 3

Дополнительно: 5х² + 3х - 2 = 0.