Элективный курс по математике 'Математика и гармония' (8-11 классы)

Г. Саров Нижегородской области, МОУ СОШ №16, ул. Герцена, д.5.

телефон: 64448

Составил: учитель математики

МОУ СОШ №16

Синодская Светлана Васильевна

Программа по математике.

Математика

и

гармония

Программа утверждена государственным образовательным учреждением дополнительного профессионального образования

«Нижегородский институт развития образования»

(ГОУ ДПО НИРО)

Научно - методическим экспертным советом.

Экспертное заключение №179.

Дата выдачи 20 декабря 2006 года.

Программа рассчитана на учащихся 8 - 9 классов.

Оглавление.

1. Пояснительная записка……………………………………………………………………….... 2

2. Основное содержание курса…………………………………………………………………… 3

3. Состав учебного комплекта……………………………………………………………………. 3

4. Список литературы……………………………………………………………………………... 3

5. Тематическое планирование…………………………………………………………………… 4

6. Золотое сечение и гармония форм природы и искусства……………………………………. 5

7. Симметрия - основополагающий принцип устройства мира……………………………….. 12

8. Конструируя красоту орнамента………………………………………………………………. 19

9. Завоевание пространства………………………………………………………………………. 31

10. Геометрия архитектурной гармонии …………………………………………………………. 39

11. Приложение…………………………………………………………………………………….. 50

Пояснительная записка.

Предлагаемая программа рассчитана для учащихся 8 - 9 классов. Он помогает учащимся увидеть математику с неожиданной стороны. В ходе изучения предлагаемых тем, учащиеся убеждаются о тесной связи математики и искусства. В ней математика подаётся как элемент общей культуры человечества, который является теоретической основой искусства, а так же как элемент общей культуры отдельного человека, который хотел бы, например, понять внутренние законы гармонии и красоты.

Цель курса состоит в формировании представления о математике как основы красоты и гармонии, инструмента познания гармонии окружающего мира, теоретической базе создания произведений архитектурного искусства.

Задачи курса состоят в следующем:

• расширить представления учащихся о сферах применения математики (не только в естественных науках, но и в такой области гуманитарной сферы деятельности, как искусство);

• убедить в практической необходимости владения способами выполнения математических действий;

• расширить сферу математических знаний учащихся (пространственные фигуры, виды симметрий, аналитическое и геометрическое представление о золотой пропорции);

• показать учащимся универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и живых организмах, в произведениях искусства и научных открытиях;

• помочь учащимся осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы.

Форма учения - поисково - исследовательская деятельность. (Отбор информации, выделение в ней главного и второстепенного; соотнесение со сведениями, полученными на занятиях в рамках предложенного курса).

На изучение курса целесообразно отвести 34 часа. Учащимся предлагается изучить следующие темы:

1. Золотое сечение и гармония форм природы и искусства.

2. Симметрия - основополагающий принцип устройства мира.

3. Конструируя красоту орнамента.

4. Завоевание пространства.

5. Геометрия архитектурной гармонии.

6. Фракталы.

На изучение каждой тем отводится от 2 до 4 часов. Часть времени (1 - 2 часа) рассчитана на изучение теории и решение задач. Другая часть времени - на защиту проектов учащихся, где они представляют результаты исследования с использованием наглядной информации по темам, выбранным ими на первом организационном занятии (см. приложение).

Основное содержание курса.

В ходе изучение курса учащиеся узнают, что:

1. Золотое сечение - это иррациональное число, равное примерно 1,62. Именно в таком отношении целое относится к большей своей части, как большая часть к меньшей. Понимают, что значимость золотого сечения в красоте и гармонии окружающего нас мира очень велико и многообразно, что оно присутствует в таких сферах жизнедеятельности человека, как природа, архитектура, живопись, скульптура, музыка, поэзия, наука.

2. Симметрия встречается часто и повсеместно - как в природе, так и в человеческом творчестве. Весь наш мир, все существующие в нём объекты и происходящие явления должны рассматриваться как проявление единства симметрии и асимметрии. Симметрия многообразна. Симметрия многолика. Она связана с упорядоченностью, пропорциональностью и соразмерностью частей, красок и гармоний.

3. По характеру композиции и расположению на украшаемой поверхности орнамент может быть нескольких видов: ленточным (бордюром), сетчатым и розетчатым. Всего существует 17 типов симметрий плоских орнаментов. Бордюр - периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте. Всего существует семь типов симметрии бордюров. Любой бордюр обладает переносной симметрией вдоль своей оси. «Замостить плоскость можно композицией правильных шестиугольников, четырёхугольников, треугольников, восьмиугольников.

4. Под перспективой понимается изображение реального предметного мира на плоскости так, как это воспринимается глазом человека. Линейная перспектива имеет свои строгие геометрические правила, без знания которых построение картины «вглубь» невозможно. Все параллельные линии, перпендикулярные основанию картины, изображаются сходящимися в одной точке, расположенной на линии горизонта. Остаются параллельными в перспективе только те параллельные прямые, которые расположены параллельно плоскости картины.

5. Ещё в глубокой древности при строительстве храмов и пирамид пользовались точными геометрическими расчётами. Прочность, польза и красота - основные принципы архитекторов древности. Делосская задача, об удвоении ребра куба, привела к необходимости создания нового вида чисел (иррациональных). Отношение измерений отдельных элементов арок и куполов приводит к иррациональному результату. Вплоть до XII века математики Индии и востока использовали иррациональные величины для нужд математической науки, но не признавали их за числа.

6. Фракталы - то модное понятие взрывообразно шагает по планете, завораживая своей красотой и таинственностью новые батальоны любителей, и проявляясь в самых неожиданных областях: метеорологии, философии, географии, биологии, механике и даже истории. Есть, например, гипотеза о фрактальной структуре Тунгусского метеорита. Говорить о фракталах вообще - объять необъятное.

Состав учебного комплекта.

Учебное пособие включает предисловие, основной текст, список дополнительной литературы, список докладов и практических заданий для учащихся. Каждая тема сопровождается презентациями.

Список литературы, на основе которой разработан данный элективный курс:

1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии. М., 1998.

2. Тарасов Л. Этот удивительно симметричный мир. М., 1982.

3. Геометрия. Учебники для 7 - 9 классов общеобразовательных учреждений / А.Д. Александров, А.Л.Вернер, И.В.Рыжик. - М.. Просвещение, 2002.

4. Геометрия. Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений / А.Д. Александров, А.Л.Вернер, И.В.Рыжик. - М.. Просвещение, 2002.

5. Пидоу Д. Геометрия и искусство. М., 1979.

Тематическое планирование.

№

занятия

Тема занятия

Кол - во

часов

1

2-5

6-9

10-13

14-17

18-21

22-25

26-27

28-31

32 - 33

34

Вводное занятие.

Золотое сечение и гармония форм природы и искусства.

Изучение теории и решение задач - 2 часа.

Защита проектов учащихся - 2 часа.

Симметрия - основополагающий принцип устройства мира.

Изучение теории и решение задач - 2 часа.

Защита проектов учащихся - 2 часа.

Конструируя красоту орнамента.

Изучение теории и решение задач - 2 часа.

Защита проектов учащихся - 2 часа.

Завоевание пространства.

Изучение теории и решение задач - 2 часа.

Защита проектов учащихся - 2 часа.

Геометрия архитектурной гармонии.

Изучение теории и решение задач - 2 часа.

Защита проектов учащихся - 2 часа.

Геометрия горящей свечи.

Изучение теории и решение задач - 2 часа.

Защита проектов учащихся - 2 часа.

Математические вариации с насекомыми.

Изучение теории и решение задач - 1 часа.

Защита проектов учащихся - 1 часа.

Музыкальная гармония пропорций.

Изучение теории и решение задач - 2 часа.

Защита проектов учащихся - 2 часа.

Фракталы.

Изучение теории - 1 час.

Защита проектов учащихся - 1 час.

Итоговое занятие.

1

4

4

4

4

4

4

2

4

2

1

Организация и проведение аттестации учеников.

Так как результатом прослушанного курса является проект, поэтому во время защиты желательно привлечь широкую аудиторию, состоящую из преподавателей и учащихся разных классов. Во-первых, учащиеся учатся грамотно и красиво говорить, чтобы привлечь внимание к своему проекту, развивая, тем самым культуру речи, ораторское искусство. Во-вторых, познавательные выступления помогут заинтересовать других учащихся, прививая, тем самым интерес и любовь к математике.

При оценивании результатов работы нужно учитывать:

- какие цели ставила пред собой группа и решены ли они полностью или частично;

- каков был вклад каждого участника в работу группы;

- какого качества материалы, подготовленные группой или учеником.

Так как работа проведена всеми учениками, поэтому можно отметить проекты по номинациям (глубина и новизна полученных фактов; яркость и живость представления; слаженность группы в целом).

Среди основных показателей при оценивании проектов можно выделить:

- Корректность (с точки зрения математики и архитектуры) 7полученных фактов;

- обоснованность фактов логичность изложения;

- широта использования источников при проведении исследования;

• яркость изложения и удачное представление проекта.

Занятия 2 - 3.

Тема:

«Золотое сечение и гармония форм природы и искусства».

(Изучение теории и решение задач).

План: (слайд 3)

1. Понятие золотого сечения. Золотое сечение в математике.

а) деление отрезка в пропорции золотого сечения;

б) золотой прямоугольник;

в) ряд Фибоначчи;

г) понятие пентаграммы и её история;

д) построение правильного пятиугольника;

е) золотой треугольник.

2. История золотого сечения.

3. Золотое сечение в природе.

4. Золотое сечение в скульптуре.

5. Золотое сечение в архитектуре.

6. Золотое сечение в живописи.

7. Золотое сечение в музыке.

8. Золотое сечение в поэзии.

9. Золотое сечение в изобразительном искусстве.

10. Подведение итогов.

11. Домашнее задание.

(слайд 4)

«Геометрия владеет двумя сокровищами:

- теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое можно сравнить с мерой золота, то второе - с драгоценным камнем».

Иоганн Кеплер.

1. Золотое сечение в математике.

Ребята, сегодня мы отправимся в очень интересную математическую экскурсию в страну Гармонии и Красоты. Многие из вас будут гидами в этой экскурсии, ну а я - буду руководить всем процессом. Вы узнаете, что всё, что радует наш глаз, всё, что кажется нам прекрасным, неразрывно связано с математикой, её законами. Пифагор говорил: «Все вещи - суть числа» (слайд 2) и вы в этом убедитесь. Вы познакомитесь с удивительным числом - золотым сечением.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Что же такое ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ?(слайд 3)

В математике есть три самых известных иррациональных числа: число П, оно равно примерно 3,14, именно этому числу равно отношение длины окружности к её диаметру, число е, равное приблизительно 2,7 (с ним вы познакомитесь в старших классах) и золотое сечение, оно равно примерно 1,62. Это число обозначают буквой Ф в честь древнегреческого учёного Фидия , жившего в 5 веке до наше эры. Он впервые применил его при расчетах всемирно известного памятника старины храма Афины Парфенон. А название этому числу было дано итальянским архитектором, скульптором, художником, учёным Леонардо да Винчи, который в большинстве своих произведений применил это число.

Если вы садитесь на пустую скамейку, то вы сядете не на середине и, конечно не на край. Если измерить длины, на которые своим телом разделили скамейку, и найти отношение большей длины к меньшей, то полученное число будет близко к числу 1,62.

Отрезок можно разделить на две части бесконечным множеством способов. В частности можно разделить так, что отношение всего отрезка к большей его части равно отношению большей части к меньшей и это отношение опять же равно числу Ф. (слайд 4)

Разделим отрезок в отношении числа Ф. (слайд 5)

Геометрические фигуры, в которых есть элементы, связанные с друг другом золотой пропорцией большинству людей кажутся красивыми.

Нарисуйте произвольный прямоугольник, какой нравится, и найдите отношение длины большей стороны к меньшей. Назовите, пожалуйста, числа, которые получили (запись на доске). Как видите, большинство из них близки к числу 1,62, т.е. к золотому сечению. Такие прямоугольники называются золотыми. Они обладает интересным свойством: если от золотого прямоугольника со сторонами a и b отрезать квадрат со стороной b, то получим опять золотой прямоугольник. (слайд 6)

Ряд Фибоначчи.

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи. Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с арабскими цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр: (слайд 7)

Месяцы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Пары кроликов

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 3:2=1,5; 5:3=1, 66…; 8:5=1,6 и т.д.

Золотое сечение можно увидеть и в пентаграмме - так называли греки звёздчатый пятиугольник. (слайд 8). Он служил символом пифагорейского союза - религиозной секты и научной школы во главе с Пифагором, которая проповедовала братскую любовь друг к другу, отречение от внешнего мира, общность имущества и т.д. Пифагорейцы считали возможным добиться очищения духа при помощи математики. Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Не имея средств заплатить за лечение и уход, больной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входа пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина дома о том, каким образом она появилась у входа. После рассказа хозяина, щедро вознаградил его. В средние века считалось, что пентаграмма служит охранным знаком от сатаны. В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма - первичное понятие, а золотое сечение - вторично. Пентаграмму никто не изобретал, её только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звёзды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций.

АВ:АС=АС:ВС. Интересно, что таким свойством обладают все вписанные в неё пятиугольники.

Построим пентаграмму:

(слайд 9):

1. Построим окружность произвольного радиуса.

2. Проведём один из её радиусов.

3. От этого радиуса отложим один за другим углы в 72^о с вершиной в центре окружности.

4. Точки пересечения сторон углов будут являться вершинами нашего пятиугольника.

5. Проведем в этом пятиугольнике все диагонали.

6. Пентаграмма построена.

Золотой треугольник (слайд 10) имеет вид равнобедренного. В нем угол при основании составляет 72^о, а при вершине - 36^о. Числу Ф = 1,618 равно отношение большей стороны в треугольнике, к длине основания .

Золотой треугольник положен в основу пирамид раннего Египта. Именно из этих треугольников состоит "ореол" 5-конечной звезды, которую общество пифагорейцев избрало своим символом. Такая звезда называется "звездчатым пятиугольником".

2. История золотого сечения.

Тайну золотого сечения пытались осмыслить Платон(слайд 11), Евклид (слайд 12), Пифагор (слайд 13), Леонардо да Винчи (слайд 14), Кеплер (слайд 15) и многие другие крупнейшие мыслители человечества. Они неразрывно связывали его с понятием всеобщей гармонии, пронизывающей вселенную от микромира до макрокосмоса.

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). (слайд 16)

Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, (слайд 17), храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона (слайд 18)свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Отношение суммарной внешней площади пирамиды к площади основания будет равно золотой пропорции! Это - главная геометрическая тайна пирамиды Хеопса!

В фасаде древнегреческого храма Парфенона (слайд 19) присутствуют золотые пропорции. Отношение длины здания к его высоте равно числу Ф. Сохранилась легенда о том, как старый осел каждый день возил на афинский акрополь камни для строительства Парфенона. Когда он окончательно одряхлел, его освободили от обязанностей. Но каждое утро осел шел со всеми к Парфенону. И греки сказали "Смотрите, даже осел понял значение того, что мы творим". И дали ему "пенсию", обязавшись кормить его за общественный счет до самой смерти.

При раскопках Парфенона обнаружены циркули, (слайд 20) которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. (слайд 21) Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. Его секреты ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

3. Золотое сечение в природе.

Поразительна связь природы с золотой пропорцией(слайд 22).

При измерении размеров отдельных элементов растений обнаруживается, что их части, также имеют зависимости от числа Ф. (слайд 23)

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Ящерица живородящая. В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.(слайд 24)

Очень гармонично с точки зрения золотой пропорции строение человеческого тела (слайды 25, 26)

4. Золотое сечение в скульптуре.

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния.

"Человеческое тело - лучшая красота на земле", - утверждал Н.Чернышевский. Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликлета, Мирона, Праксителя. В создании своих творений греческие мастера использовали принцип золотой пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагался точно на месте пупка. И не случайно величину золотой пропорции принято обозначать буквой Ф; это сделано в честь Фидия - творца бессмертных скульптурных произведений.

Известно, что ещё в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Примером творений древних скульпторов являются: статуя Апполона Бельведерского, Зевса Олимпийского (слайд 27), Афины Парфенос (5 век до н.э.).

5. Золотое сечение в архитектуре.

Анализ большинства шедевров мирового искусства показывает, что их основное построение основано на пропорциях золотого сечения.

Известный русский архитектор М. Казаков (слайд 28) в своем творчестве широко использовал золотое сечение. Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например, золотое сечение можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле (слайд 29). По проекту М. Казакова в Москве была построена Голицынская больница (слайд 30), которая в настоящее время называется Первой клинической больницей имени Н.И. Пирогова (Ленинский проспект, д. 5).

Русская красота. Русская духовность. Когда мы слышим эти слова, перед глазами возникают образы куполов православного храма, слышится колокольный звон, призывающий к вере, единству, добру, жертвенности и стойкости. Православный храм, символизирующий землю, с куполом - символом неба осмысливается как модель мироздания. Отношение диаметра основания купола к его высоте равно 1,6.

Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади Москвы (слайд 31). История создания этого храма такова. 2 октября 1552 года пала Казань, навсегда избавив Россию от татарского нашествия. Для прославления "казанского взятия", вошедшего в историю России наравне с Куликовской битвой, царь Иван Грозный (слайд 32)принял решение заложить на Красной площади Москвы собор Покрова; позже этот храм был прозван в народе "Василием Блаженным" в честь юродивого, который был погребен у стен храма в 16-м веке.

6. Золотое сечение в живописи.

Переходя к примерам золотого сечения в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды.»

Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма.

Портрет Монны Лизы (Джоконды) (слайд 33) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них.

Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы (слайд 34). Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

Сказка.

Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя. Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи.

Пришел первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел ее: как искусный мастер он сшил для нее красивую шелковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями - ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула.

Братья бросились к ней и каждый кричал одно и то же: Ты должна быть моей женой. Но женщина ответила: Ты меня создал - будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил - будьте мне братьями. А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь.

Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано - художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество.

Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель...

Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой.

7. Золотая пропорция в музыке.

Золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения.

Между математикой и музыкой существуют многообразные связи. Теория музыки начала формироваться в трудах одного из самых таинственных учёных античного мира - Пифагора. Именно в музыке некоторые исследователи усматривают причину, породившую интерес пифагорейцев к числам.

В произведениях выдающихся композиторов: Баха (слайд 35), Бетховена (слайд 36), Шопена (слайд 37), Вагнера (слайд 38) золотое сечение встречается очень часто. Fantasia-Impromtu Шопена, (слайд 39) была создана экспромтом и не подлежала никакой правке, а значит, и не было сознательного применения закона золотого сечения, которое присутствует в этом музыкальном произведении вплоть до мелких музыкальных образований. Наиболее детально были изучены все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. (Звучит Фантазия Шопена)

Характерно, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам. Может быть, частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценки гениальности музыкальных произведений и их авторов?

8. Золотая пропорция в поэзии.

Проведенный анализ стихотворений А.С. Пушкина (слайд 40), Лермонтова М.Ю (слайд 41), Шота Руставели (слайд 42), Шиллера (слайд 43), Брюсова (слайд 44) и других показал, что в них так же присутствует золотое сечение. Оказалось, что Пушкин (слайд 45) явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи). Рассмотрим, например, стихотворение А.С. Пушкина "Сапожник": (слайд 46)

Картину раз высматривал сапожник

И в обуви ошибку указал;

Взяв тотчас кисть, исправился художник,

Вот, подбочась, сапожник продолжал:

"Мне кажется, лицо немного криво ...

А эта грудь, не слишком ли нага?

Тут Апеллес прервал нетерпеливо:

"Суди, дружок, не выше сапога!"

Есть у меня приятель на примете:

Не ведаю, в каком бы он предмете

Был знатоком, хоть строг он на словах,

Но черт его несет судить о свете:

Попробуй он судить о сапогах!

Проведем анализ этой притчи. Стихотворение состоит из 13 строк. В нем выделяется две смысловые части: первая в 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк (13, 8, 5 - числа Фибоначчи).

Совершенством своих форм отличаются стихотворения В.Брюсова (слайд 47). И неудивительно, что в их размерности также проявляются числа Фибоначчи. Было проанализировано 360 стихотворений поэта из его двухтомника; эти стихи охватывали период от 1882 до 1912 года. Только в трех стихотворениях число строк составило 70, 85, 90 (что в среднем близко к числу Фибоначчи 89). Остальные стихотворения содержали значительно меньше строк - от 8 до 36 и крайне редко несколько больше.

Среди рассмотренных стихотворений В.Брюсова явно преобладают те, в которых число строчек равно или близко к числам Фибоначчи.

9. Золотое сечение в изобразительном искусстве.

Мотивы золотого сечения прослеживаются в творчестве известного русского художника Ивана Ивановича Шишкина (слайд 48). Посмотрим внимательно на его картину «Корабельная роща».(слайд 49). На переднем плане стоит освещённая солнцем сосна. Она делит по горизонтали картину в отношении золотого сечения. Слева от неё множество других сосен, которые также расположены в от ношении золотого сечения. Справа виден освещённый солнцем пригорок, который делит правую часть картины в отношении золотого сечения по горизонтали. Эти яркие горизонтальные и вертикальные линии придают картине характер умиротворённости. Они выражают те чувства, которые испытывал в тот момент художник.

Подведение итогов.

1. Значимость золотого сечения в красоте и гармонии окружающего нас мира очень велико и многообразно.

2. Золотое сечение - это иррациональное число, равное примерно 1,62. Именно в таком отношении целое относится к большей своей части, как большая часть к меньшей.

3. . Золотое сечение присутствует в таких сферах жизнедеятельности человека, как природа, архитектура, живопись, скульптура, музыка, поэзия, наука.

Домашнее задание.

1). Отрезок, длиной 10см разделите в отношении золотой пропорции.

2). Начертите окружность, диаметром 10см. Впишите в неё правильный десятиугольник.

3). Рассмотрите рисунок, на котором изображён кленовый лист. Выполнив необходимые измерения, найдите по данной геометрической схеме листа все золотые пропорции.

Занятия 5 - 6.

Тема:

«Симметрия - основополагающий принцип устройства мира».

(Изучение теории и решение задач).

План. (слайд 1)

1. Понятие симметрии.

2. Симметрия многолика.

3. «Корзины» для симметричных фигур.

4. Конструируем симметричные фигуры.

5. Симметрия вокруг нас.

6. Симметрия - страж покоя, асимметрия - двигатель жизни.

7. Итог.

8. Домашнее задание.

(слайд 2)

«Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое симметрия? Это врождённое чувство, отвечал я себе. На чём же оно основано?»

Л.Н.Толстой.

1. Понятие симметрии.

( слайд 1 )

Какая из фигур на рисунке (слайд 2) вам нравится больше всего? Многие из вас назовут или равносторонний треугольник, или квадрат. Человек инстинктивно стремится к удобству, устойчивости, красоте. Почему эти фигуры привлекли наше внимание? Сейчас мы постараемся ответить на этот вопрос.

Сегодня мы будем говорить о симметрии. Что же такое симметрия? Какой глубокий смысл заложен в этом понятии? Почему симметрия буквально пронизывает окружающий нас мир? Симметрия принадлежит к числу широко и повсеместно распространённых явлений. Симметрия в природе - следствие необходимости сохранить устойчивость. За видимой симметрией внешних форм лежит невидимая внутренняя симметрия построения. Можно сказать, что симметрия - это проявление стремления материи к надёжности и прочности.

Термин «симметрия» по-гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».

Будем называть симметрией фигуры любое преобразование, переводящее фигуру в себя, т.е. обеспечивающее её самосовмещение.

2. Симметрия многолика.

С симметрией мы встречаемся везде - в природе, технике, искусстве, науке. Отметим, например, симметрию, свойственную бабочке ( слайд 3 ) и кленовому листу, симметрию форм автомобиля самолёта, симметрию в ритмическом построении стихотворения и музыкальной фразы, симметрию орнаментов и бордюров, симметрию атомной структуры молекул и кристаллов. Симметрия присутствует даже в регулярности смены дня и ночи, времён года.

Перечислим знакомые виды симметрии: симметрия относительно точки (центральная симметрия) ( слайд 4 ), симметрия относительно прямой (осевая симметрия) ( слайд 5 ), симметрия относительно плоскости ( слайд 6). Понятия поворота ( слайд 7 ) и параллельного переноса (слайд 8) используются при определении так называемой переносной (трансляционной) симметрии. Один из видов такой симметрии называется скользящей. Это преобразование получается следующим образом: возьмём некоторую прямую a и параллельный ей вектор b (слайд 9).

Выполняя последовательную осевую симметрию относительно прямой a и параллельный перенос на вектор b, получаем преобразование которое и называется переносной симметрией.

В стереометрии вводится ещё один вид симметрии - симметрия относительно плоскости (слайд 10). Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости, а данная плоскость - плоскостью симметрии данной фигуры. Такую симметрию называют ещё зеркальной. Примерами фигур (слайд 11) зеркальных отражений одна другой - могут служить правая и левая руки человека, правый и левый винты, части архитектурных форм, некоторые природные кристаллы и орнаменты. Исторически сложилось, что именно зеркальная симметрия (её ещё называют геральдической) использовалась разными народами для изготовления предметов быта. Так появление двуглавого орла на гербе России имеет свою предысторию. Она уходит в глубь веков к 2700г. до н.э. во времена правления царя шумеров , правившего в городе Лагаше. Его серебряная ваза Энтемены прославилась рисунком, на котором был изображён орёл с львиной головой и распростёртыми крыльями. В когтях у него с каждой стороны по оленю, а на оленей, в свою очередь, нападают львы. Позже орла стали изображать с двумя головами, смотрящими в разные стороны. Так требование симметрии полностью восторжествовало над принципом подражания природе. Затем этот геральдический мотив был обнаружен в Персии, в Сирии, а потом стал гербом Византии, символизируя устремлённость государства как на запад, так и на восток. После падения Византии племянница его последнего императора Софья Палеолог бежала в Рим, а оттуда была выдана замуж за великого князя московского Ивана III. Самым ценным приданным своей невесты жених считал её родство с византийским императором, что давало ему повод объявить Москву третьим Римом (вторым Римом считался город Константинополь - столица Византийского государства), завладеть государственным гербом - двуглавым орлом - и объявить себя уже не великим князем, а государем (царём) всея Руси. Двуглавый орёл хорошо послужил государству Российскому как символ объединения русских земель.

Кроме зеркальной в природе можно наблюдать и так называемую винтовую симметрию (слайд 12). Например, рассматривая расположение листьев на ветке дерева, видим, что один лист не только отстоит от другого, но и повёрнут вокруг оси ствола. Листья располагаются на стволе по винтовой линии, чтобы не заслонять друг от друга солнечный свет.

3. Корзины для симметричных фигур.

Даже человек, мало знакомый с геометрией, легко выбирает из предложенных ему фигур наиболее симметричные. Например, из всех треугольников наиболее симметричный равносторонний, а из всех четырёхугольников - квадрат. Рассмотрим сначала треугольники. Разносторонний треугольник можно перевести в себя только единственным образом: повернув всю плоскость на 360^о (в любом направлении) вокруг какой - нибудь точки (слайд 13). Такое отображение называется тождественным и обозначается буквой Е. Равнобедренный треугольник может быть отражён сам в себя с помощью такого же тождественного преобразования и осевой симметрии относительно прямой, содержащей высоту, проведённую к основанию (слайд 14). А вот у равностороннего треугольника можно насчитать уже шесть симметрий ( слайд 15):

1 - тождественное преобразование Е;

2, 3, 4 - осевые симметрии относительно высот;

5,6 - два поворота относительно центра на +120^о (т.е. против часовой стрелки) и поворот на -120^о (по часовой стрелке).

Сходное положение и с четырёхугольниками. Большинство четырёхугольников могут быть отражены на себя только одним тождественным преобразованием. Например: (слайд 16)

Но вот, например, ромб (слайд17) можно совместить с самим собой уже четырьмя способами: тождественным преобразованием, двумя осевыми симметриями относительно его диагоналей, Симметрией относительно центра О.

Среди четырёхугольников самый богатый симметриями квадрат, у него их восемь (слайд 18):

1 - тождественное преобразование Е;

2 - центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей;

3, 4 - осевые симметрии относительно серединных перпендикуляров к сторонам квадрата;

5, 6 - осевые симметрии относительно диагоналей квадрата;

7, 8 - повороты вокруг центра на 90^о и на 270^о.

Поэтому фигуры, у которых больше симметрий, тем у других, кажутся более привлекательными. Работать с такими фигурами легче. Вот простой пример. Какие фигуры используются для измерения площадей? - Квадраты, ведь они без пропусков и наложений могут заполнить всю плоскость. И точно так же могут заполнить всю плоскость равносторонние треугольники.

Самыми совершенными из фигур считаются круг и его пространственное порождение - шар (слайд 19). Легко понять причину такого предпочтения: ведь круг и шар переходят сами в себя при любом повороте вокруг своего центра, при симметрии вокруг любого своего диаметра, т.е. эти фигуры обладают бесконечным множеством симметрий. Недаром детали машин, предназначенных для обработки особо прочных материалов, например металлов, имеют в своей основной части форму круга. Обработка происходит путём вращения, а при вращении круга соблюдается уравновешенность возникающих сил.

По тому, сколько симметрий имеют фигуры, можно проводить их классификацию. Раньше мы видели только их хаотическое множество. Теперь же мы можем попытаться навести в этом множестве порядок. Представим каждый класс симметрии в виде корзины. В одну корзину мы положим только те фигуры, которые совмещаются только единственным способом - тождественным преобразованием (слайд 20). В другую - имеющие два вида симметрий: Е и S_l, т.е. тождественное преобразование и осевую симметрию (слайд 21).

В третью - все равносторонние треугольники и ещё такие их собратья по преобразованию, которые мы видим на рисунке (слайд 22).

Фигур любого класса можно придумать сколько угодно много. Но, чтобы попасть в один и тот же класс с равносторонним треугольником, все они должны обладать теми же преобразованиями, что и этот треугольник.

В следующую корзину положим фигуры, которые обладают бесконечным множеством симметрий: круги, кольца и т.д. (слайд 23)

Итак, мы навели порядок в множестве фигур. Но порядок - это и есть ГАРМОНИЯ, во всяком случае - одно из её проявлений. Теперь мы можем набрать сколько угодно фигур с заданными свойствами, достаточно только обратиться к нужной корзине, т.е. классу симметрий.

3. Конструирование фигур.

Рассмотрим подробнее осевую симметрию (S _l) поворот ()вокруг данной точки О на угол .

Рассмотрим одну из простейших фигур - отрезок А₁А₂(слайд 24). Повернём его вокруг произвольной точки О на угол 60^о, потом ещё на 60^о. Через шесть поворотов мы возвратим отрезок на прежнее место, а в фигуре, которую он опишет, узнаем правильный шестиугольник. Значит, он отображается сам на себя при шести поворотах. Осью симметрии правильного шестиугольника является каждая из прямых, содержащих его диагонали и серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам.

В математике доказано, что множество симметрий правильного п-угольника состоит из 2п преобразований: п поворотов и п осевых симметрий. Класс симметрии такой фигуры обозначается через D_n, где п - порядок оси. Вообще порядком оси называется число самосовмещений фигуры при повороте вокруг данной оси на 360^о. Легко заметить, что порядок оси симметрии правильного шестиугольника равен 6 , а о нём говорят, что он имеет класс симметрии D₆.

Класс симметрии звёздчатых правильных п-угольников такой же, как и у правильных п-угольников. Поясним это на примере звёздчатого правильного шестиугольника (слайд 25). Для того, чтобы построить эту фигуру, разделим окружность на шесть равных частей, а потом соединим точки деления через одну. Рассматривая рисунок, убеждаемся, что данная фигура 6 раз переходит сама в себя при симметриях относительно прямых ОА₁, ОА₂, ОА₃, ОВ₁, ОВ₂, ОВ₃. Значит, каждая из этих прямых является осью симметрии 6 - го порядка.

В природе шестиугольная форма чаще всего встречается у снежинок. Об этом факте много размышлял известный астроном Иоганн Кеплер (1571 - 1630). Он объяснял это тем, что вода, сгущаясь под воздействием холода, скапливается вокруг центра и вокруг радиусов, расставленных в шестиугольном порядке. «Я считаю, что теплоту, охранявшую до сих пор вещество, одолел холод, и она как действовала, соблюдая порядок, и как сражалась, не нарушая его, так и в бегство обратилась, сохраняя известный порядок, и отступила».

Вернёмся снова к правильным п-угольникам - выпуклым и звёздчатым. Для построения тех и других можно воспользоваться окружностью, разделив её на п равных частей. Если последовательно соединить точки деления с друг другом, то получим выпуклый правильный

п-угольник. Если же соединять точки деления через одну, то получим правильный звездчатый п-угольник.

По только что описанному правилу построим два правильных пятиугольника - выпуклый и звёздчатый (слайд 26).

А₁

А₁

А₅

А₂

А₂

А₅

О

О

А₃

А₃

А₄

А₄

Легко убедиться, что они относятся к классу симметрии D₅, поскольку каждый из них переходит в себя при любом из пяти поворотов на угол 72^о и при осевых симметрий относительно прямых ОА₁, …ОА₅, т.е. у каждого из них любую из этих пяти прямых можно назвать осью симметрии 5 - го прядка.

А как практически можно получить геометрическую фигуру Фп, имеющую ось симметрии заданного порядка п? Для этого выбирают какую - нибудь фигуру и точку О - центр поворота. Фигуру Ф называют фундаментальной областью фигуры Фп относительно Dn. При повороте вокруг точки О на угол где k=0,1,2,…,n-1, получается фигура Фп с заданной симметрией Dn.

Построим таким образом, например, фигуру с симметрией D₈. Её внешний вид будет зависеть от той фигуры, которую мы выберем в качестве фундаментальной. Пусть это будет отрезок ОА₁ с четырьмя дугами на нём. (слайд 27) Центром поворота пусть служит один из концов данного отрезка - точка О. Теперь определим углы, на которые будем поворачивать фигуру Ф:

Произведя указанные повороты, получим новую фигуру, которая, как явствует из построения, самосовмещается при восьми поворотах и восьми осевых симметрий.

3. Симметрия вокруг нас.

Искусству конструирования можно научиться и у природы - создательницы организмов, геометрическому изяществу которых позавидует любой математик.

Вот, например, груда камней у подножия горы весьма беспорядочна; однако каждый камень является огромной колонией кристаллов, представляющих собой в высшей степени симметричные постройки из атомов и молекул (слайд 28).

Характерная для растений симметрия конуса хорошо видна на примере любого дерева. Ярко выраженной симметрией обладают листья, витки, цветы, плоды, насекомые, животные…

Приведём пример использования различных симметрий в декоративно - прикладном искусстве. Чаще всего мы видим разные виды симметрий в розетках. Розетки - это орнаменты, встречающиеся в резьбе по дереву, в настенной лепке, в вышивках, ковровых изделиях. Как правило, основополагающей формой розетки служит круг. Для исполнения своего замысла художник разбивает круг на части, в одной части рисует геометрическую фигуру, а потом с помощью симметрии повторяет её в других частях круга (слайд 29).

Симметрия часто используется и в других видах искусства. В том числе - в музыке. Ряд музыкальных форм строятся симметрично. В этом отношении особенно характерно рондо. В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трёх раз в основной тональности, а эпизоды - в других тональностях. Это напоминает зеркальную симметрию, где основная тема служит плоскостью, от которой как бы отражаются эпизоды.

В литературных произведениях существует симметрия образов, положений, мышления. В «Евгении Онегине» А.С.Пушкина мы наблюдаем симметрию положений: Онегин, отвергнувший когда - то любовь Татьяны, сам через несколько лет вынужден испытать горечь отвергнутой любви. В трагедии А.С.Пушкина «Борис Годунов» прекрасно выписана симметрия образов. Убийцу царственного наследника, занявшего престол, сменяет на троне такой же умный, такой же наглый и беспощадный убийца юноши - царевича.

Нагляднее всего видна симметрия в архитектуре. Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Выбирая симметричные формы, художник тем самым выражал своё понимание природной гармонии, устойчивости, спокойствия и равновесия. Храмы, посвящённые богам (слайд 30,) и должны быть такими: боги вечны, их не волнуют людские заботы. Эти храмы пережили века и тысячелетия.

Симметрия прослеживается и в балете. В знаменитом фуэте балерина вращается на одной ножке 6 раз, 12,…, 32 раза. Эти движения однотипны, и именно их повторяемость порождает эстетический эффект, служащий достойным завершением танца.

Итак, симметрия, обнаруживаемая и в жизни, и в искусстве, и в технике, является одним из принципов гармоничного построения мира.

6. Симметрия - страж покоя, асимметрия - двигатель жизни.

Гармоничным может быть и асимметричное построение. Если симметрия порождает чувство покоя и скованности, то асимметрия вызывает ощущение движе6ния и свободы.

Симметрия может вызывать так же отрицательные эмоции. Так многие жилые кварталы, застроенные одинаковыми симметричными домами (слайд 31), создают впечатление скучного однообразия. С другой стороны, широко используемые ,например, в живописи и скульптуре отступления от симметрии придают произведению искусства неповторимую индивидуальность (слайд 32).. Никто не решится назвать некрасивым цветущий весенний луг с буйным и совсем не симметричным рисунком красок. Рассмотрим фарфоровую статуэтку работы художника С.С.Пименова «Водоноска» На сарафане девушки вышивка изогнулась, фигура потеряла симметрию, но приобрела движение. Не будь этой «погрешности», девушка казалась бы неподвижной.

Противопоставление симметричного и асимметричного мы встречаем и в науке . Известный микробиолог Луи Пастер считал, например, что именно асимметрия отличает живое от искусственного, неживого. Ему казалось, что стоит «узнать способ, которым природа ввела асимметрию в органические соединения, - и до разгадки жизни один шаг».

Симметрия и асимметрия должны рассматриваться совокупно, в едином подходе. В основе конкретного объекта мы обнаруживаем элементы симметрии, роднящие его с другими подобными объектами. Однако собственное «лицо» данного объекта проявляется неизбежно через наличие той или иной асимметрии. У всех елок есть много общего: вертикальный ствол, характерные ветви, располагающиеся с определённой поворотной симметрией вокруг ствола, определённое чередование ветвей в направлении вдоль ствола, наконец, структуры игл. И тем не менее, каждая из них индивидуальна.

Мир существует благодаря единству симметрии и асимметрии.

Подведение итогов.

1. Симметрия встречается часто и повсеместно - как в природе, так и в человеческом творчестве.

2. Весь наш мир, все существующие в нём объекты и происходящие явления должны рассматриваться как проявление единства симметрии и асимметрии.

3. Симметрия многообразна.

4. Симметрия многолика. Она связана с упорядоченностью, пропорциональностью и соразмерностью частей, красок и гармоний.

Домашнее задание.

1. Найдите в окружающей вас обстановке предметы, которые содержат различные виды симметрии. Соберите их в корзины по классам симметрий.

2. Придумайте фигуры, которые могут быть переведены в себя одним, двумя, тремя или четырьмя видами симметрий.

3. Нарисуйте розетки с порядком симметрий D₃, D₄, D₆.

4. Изобразите на плоскости произвольную точку О и произвольную фигуру. Выполните последовательные преобразования , где

5. На сторонах равностороннего треугольника АВС построены квадраты. Определите класс симметрий построенной фигуры. Чем для этой фигуры являются биссектрисы углов треугольника, стороны которого соединяют центры квадратов?

Занятия 8 - 9.

Тема:

«Конструируя красоту орнамента».

(Изучение теории, решение задач)

План. (слайд 1)

1. Понятие орнамента.

2. Орнамент как отпечаток души народа.

3. Роль орнамента в жизни славянского народа.

4. Как создают орнаменты.

5. Этот хитрый герих.

6. Паркет как вид орнамента и математическая задача о «замощении» плоскости.

7. Итог занятия.

8. Домашнее задание.

(слайд 2)

Искусство орнамента содержит в неявном виде

наиболее древнюю часть известной нам высшей математики.

Г. Вейль.

1. Понятие орнамента.

Восхищаясь рукотворной красотой орнаментов, воплощённых в предметах декоративно - прикладного искусства (слайд 3) - коврах, гобеленах, вышивке, - мы не задумывались о роли геометрии в создании этих произведений. Между тем сочетание таланта мастера и его геометрических умений занимает важное место в орнаментальном искусстве.

Орнамент (от латинского ornamentum - украшение) - это узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. Он предназначен для украшения (слайд 4) одежды, различных предметов (посуды, мебели, текстильных изделий, оружия) и архитектурных сооружений. Орнамент подчёркивает своим построением, формой и цветом архитектурные и конструктивные особенности предмета, природную красоту материала.

В построении орнамента используют главным образом принцип симметрии. Рассматривая разные композиции, легко увидеть, что орнамент можно продолжить в разные стороны, даже если его первоначальная композиция ограничена и замкнута.

2. Орнамент как отпечаток души народа.

Каждая эпоха, каждая национальная культура выработала свою систему орнамента - мотивы, формы, расположения на украшенной поверхности. Поэтому часто по орнаменту можно определить, к какому времени и к какой стране относится то или иное произведение искусства.

Так, в орнаментах Древнего Египта (слад 5) наибольшее распространение нашли растительные мотивы, и среди них особенно часто встречались листья и цветы лотоса.

Классическими стали наиболее распространённые (слайд 6) греческие орнаменты - меандр и акант.

- меандр.

Слова «меандр» происходит от названия очень извилистой реки в Малой Азии. Меандр как бы повторяет извилины этой реки. Акант - это род травянистого растения, распространённого в Средиземноморье.

Не будет преувеличением сказать, что нигде орнаментальное искусство не достигло такого расцвета и совершенного воплощения, как на мусульманском Востоке. Для него характерны сочетание геометрических и растительных мотивов, так как Кораном было запрещено изображение людей и животных.

Высокого развития орнамент достиг в средневековой Руси. Для русского орнамента характерны как геометрические и растительные формы, так и изображения птиц, зверей, фантастических животных, человеческих фигур. Наиболее ярко русский орнамент выражен в резьбе по дереву и вышивке (слайды 6 и 7). Русский орнамент противоречив, как русская душа. В нём вроде бы всё просто, много свободного пространства, как будто на бескрайнем белоснежном поле распустились невидимые цветы. Сначала они кажутся незатейливыми, но если всмотреться, то не хочется отводить глаз.

3. Роль орнамента в жизни славянского народа.

1. Заклинательная роль орнамента.

И в архитектуре, и в одежде последовательно применялся один и тот же принцип размещения заклинательного орнамента: им украшали все проемы, отверстия, через которые злыдни могли проникнуть и навредить человеку.

Орнаменты со "священными" изображениями такими как конь, оленья голова с рогами, богиня и птицы, солнце увенчивали самую высокую точку дома - щипец крыши, вкупе они делали дом недоступным для "злых духов" и убежищем для членов семьи.

2.Дом

(слайд 9) Дом славянина был весь пронизан магической заклинательной символикой. Если мы присмотримся повнимательней, то, как и я во время исследования, без труда заметим наличие большого количества украшений на любой части здания, взгляните на рисунок - это изображение типичной небогатой избы - зажиточные купцы, воины украшали свои дома куда более богато, однако и это жилище содержит в себе множество резных украшений и символов, с помощью которых люди стремились обеспечить себе сытость и тепло, безопасность и здоровье. Боясь "нашествия злых духов" - упырей, вампиров, ведьм, навий (душ умерших), которыми славянин населял окружающую природу, от них он защищался.

Защитой служили прежде всего доброжелательные языческие символы, размещенные на самых уязвимых участках двора и жилища, какими считались стены, окна кровли жилища. Это была архитектурная резьба - конек на крыше, резные причины с "громовыми знаками", изображения Солнца, птиц, фигурки богини на вершине строения, конские головы и т.п.

Орнаменты архитектуры близки к орнаментам вышивки (слайд 10) что и не удивительно, т.к. оберегающая символика, полагаем, употреблялась единая, т.е. обращение к божествам, к примеру, было единым. В пример этому можно привести самую устойчивую тему : женская фигура с воздетыми к небу руками и птицами и конями по сторонам. Этот элемент орнамента обнаружили как в вышивке ( на узорах полотенец, украинских "рушников", варежек, так и на узорах, украшавших дома, в пример этому можно привести как оконные узоры, так и фигурки коней на крыше и домике ( это - только отчасти, т.к. изображение коней по одной из версий символизирует обращение к Дождь богу). Это изображение также встречается на женских украшениях, предполагаем, что в этом случае цель несколько иная - кроме защиты женщины, еще и увеличение ее "женской силы".

А еще стены жилищ покрывали орнаментами, в которых преобладала тема ужа (змеи) - покровителя домашнего очага.

3. Украшения.

Когда мы читаем литературу, посвященную украшениям славян, нам часто встречается упоминание о, так называемых, "шейных гривнах" - обручах, надеваемых на шею (слайд 11). Они украшались большим количеством изображений треугольников и кругов.

В чем смысл этого орнамента? Для разгадки этого вопроса обратимся к словарям и этнографической литературе. В словарях мы видим, что слово "гривна" однокоренное со словом "грива", а еще есть сведения о том, что шейные обручи преимущественно носились, в зависимости от области, или мужчинами или женщинами. Ну, с женщинами все понятно, а вот почему мужчины носили их?

Ответ следует искать в защитой роли обруча, а также в обрядах воинов - обруч (слайд 12) со знаками солнца являлся сильным оберегом от злых духов, гарантировал сохранение неприкосновенности души.

Для воинов это было очень актуально... К этому следует добавить, что каждый воин считался в какой-то степени колдуном, а колдуны в свою очередь часто одевались в женские одежды, надевали женские украшения, подражали женщинам для совершения таинств. Все это свидетельствует о том, что защитный орнамент, предназначенный для сохранения женщины, использовался мужчинами-воинами.

Еще одним важным украшением являлись височные кольца (слайды 13 и 14). Наиболее распространенным орнаментом таких колец являлись завитки и спирали. В разных источниках встречали сходные толкования спирали как элемента орнамента - это символ вечности, времени, зацикленного хода истории... И действительно, девочки и пожилые женщины носили простые кольца с одной завитушкой, но невесты и молодые девушки нуждались в особой защите, они носили кольца-спирали порой вокруг всей головы.

Однако наряду со спиральным орнаментом часто использовался и другой способ защитить молодых девушек.

Вот пример височных колец:

Они напоминают капли воды и лучи Солнца. На основании этого, а также того факта, что использование в орнаменте природных стихий является еще одним способом защиты, можно сделать вывод, что эти кольца были призваны защитить их обладательниц силой природных стихий.

Подобно тому, как женщины нагими засевали поля, стремясь передать земле часть своей живородящей силы, так и орнамент с изображением виноградной грозди или колосков зерен выполнял обратную функцию и был призван сохранить достаток у его обладательницы.

Кроме того, в украшении височных колец иногда использовались знаки связанные с бесконечностью времени: фигурка змея, пожирающего свой хвост - ее неоднократно можно встретить у народов, далеких от славян.

Мало кто сейчас знает о том, что браслеты со временем утратили свое историческое значение вместе с изобретением пуговиц (слайд 15). И тем не менее исследования ученых установили, что браслеты или правильнее говорить "обручи" - так называли их славяне, служили зажимами для рукавов, однако рассматривая орнаменты на браслетах можно заметить одну интересную особенность. Браслет, украшенный скрещивающимися полосами и фигурками на концах, судя по всему это изображения Чура, духа предка. Он был призван беречь обладателя браслета силой Рода.

Браслеты служили своеобразной защитой от вторжения Зла. В подтверждение этому можно привести тот факт, что металл, из которого изготавливали обручи, считался непреступным для негативных сил.

Обереги (слайд 16) занимали особое место в жизни каждого славянина.

Исследование орнамента на оберегах явилось логическим завершением исследования орнамента домашней утвари. Узоры на предметах, выполняющих защитную функцию, помогают найти правильное объяснение значений узоров на большинстве других домашних вещей.

Мы видим изображение лошадей, птиц, миниатюрной домашней утвари и оружия, а также изображение ... особой свастики - змеевика, это знак Велеса, бога ни доброго, ни хорошего - он переходил от одних сил к другим, согласно легенде, однако почитался за то, был покровителем скота...

4. Роль орнамента и его, значение в повседневной жизни

Узоры на предметах быта и одежде выполняли защитную функцию.

Гуси. Считалось, что гуси везли повозку Дождь бога ночью по подземному морю. Еще одно значение - также как и куры, считались символом достатка.

Куры. Символ богатства и достатка семьи.

Кони. Славяне считали, кони везут повозку Дождь бога и Перуна по небу днем.

Оружие. Оружие наделялось особым свойством, оно было живым, поэтому его уменьшенная копия должна была оберегать владельца.

4.Как создают орнаменты.

По характеру композиции и расположению на украшаемой поверхности орнамент может быть нескольких видов: ленточным (слайд 17) (бордюром), сетчатым и розетчатым.

Рассмотрим ленточные орнаменты - бордюры (слайды 18 и 19). Бордюром называют плоскую геометрическую фигуру, характеризующуюся векторами (где п - целое число), при которых эта фигура переходит в себя. Вектор называют направляющим для бордюра.

Простейший бордюр построить очень просто: достаточно нарисовать какую - нибудь геометрическую фигуру и выполнить параллельный перенос на заданный вектор вправо или влево вдоль полосы. Такая «первоначальная фигура» называется фундаментальной областью бордюра. Бордюры встречаются в разных местах: в настенных росписях, на лестничных переходах. Их можно увидеть в чугунном литье, которое используется в оградах парков, решётках мостов и набережных.

Доказано, что существует семь классов симметрий бордюров:

1. - бордюры, которые не имеют других симметрий, кроме параллельных переносов (рис1);

2- бордюры, у которых фундаментальная область обладает центром симметрии (рис 2);

3. и 4 - бордюры, у которых фундамен6тальная область имеет ось симметрии, параллельную вектору или перпендикулярную этому вектору (рис 3, 4);

5 - бордюры, у которых фундамен6тальная область имеет одну ось симметрии перпендикулярную вектору , а другую - параллельную вектору (рис 5);

6 - бордюры, имеющие такие оси симметрии, которых нет у фундаментальных областей (рис 6).Например, фундаментальная область на рисунке 6 имеет кроме тождественного преобразования ещё одну симметрию - центральную. Но если бесконечное число раз последовательно переносить эту фигуру на вектор а , то получим бордюр с бесконечным числом осей симметрий, перпендикулярных этому вектору.

Помимо бордюров художникам - орнаменталистам известен ещё один вид орнамента - сетчатый. Он заполняет всю плоскую поверхность сплошным узором. Для построения такого орнамента выделяют плоскую решётку, в которой одинаковые части повторяются в определённой геометрической последовательности. Различают пять типов плоских решёток, каждая из которых определяется двумя векторами и углом между ними. На рисунке 7 показаны разные виды решёток:

а) квадратная (); (слайд 20)

б) прямоугольная ();

(слайд 21)

в) гексанальная ();

(слайд 22)

г) ромбическая ();

(слайд 23)

д) косая ()

(слайд 24)

Итак, чтобы изготовить какой - нибудь орнамент, выбирают одну из решёток, в её фундаментальной ячейке выполняют рисунок, а потом с помощью параллельных переносов на векторы заполняют всю плоскость.

Вид орнамента определяется не только структурой его решётки, но и числом элементов его симметрии. Зная геометрические закономерности, можно и самим сконструировать интересный орнамент или определить те геометрические преобразования, которые положены в его основу.

Русский учёный - кристоллограф Евграф Степанович Фёдоров (1853 - 1919) доказал, что существует всего 17 типов плоских орнаментов с различными видами симметрий.

На рисунке (слайд 25) 8 показан прямоугольник ABCD, который может служить ячейкой орнамента. Тогда каждую сторону прямоугольника и одну из его средних линий - MN - будем использовать как ось симметрии. Выполним осевую симметрию относительно оси СВ: Таким образом орнамент, построение которого начато на рисунке 8 будет содержать 5 осей симметрии.

Чем больше осей симметрии содержит элементарная ячейка, тем интереснее и красивее орнамент.

Возьмём, например, квадратную ячейку орнамента на рисунке 9. Ясно, что каждая прямая, проходящая через сторону квадрата, а также прямая MN в ячейке ABCD может стать осью симметрии орнамента. Кроме того укажем 9 точек (A, B, C, D, M, O, N, L, K) вокруг которых можно повернуть ячейку, чтобы образовать новую ячейку или совместить старую ячейку с самой собой.

Помимо описанных видов орнамента в произведениях искусства можно выделить ещё один. Такой орнамент замкнут и ограничен определённой геометрической фигурой (квадратом, ромбом, треугольником, кругом и т.д.). Орнамент, вписанный в круг или правильный многоугольник, называется розеткой. О розетках мы уже говорили раньше. За примером орнамента не надо далеко ходить - взгляните на рисунок обоев, которыми оклеены стены вашей комнаты.

Обратимся теперь к замкнутым орнаментам, характерным для искусства Средней Азии XII-XVIIвв. Они имеют свои особенности в композиции, в технологии исполнения и особое название - герих. (слайд 26).

4. Этот хитрый герих.

Все герихи (слайд 27) составлялись из правильных и звёздчатых многоугольников, а так же отдельных частей этих фигур. В построении гериха использовалась окружность и её части. Самый простой геометрический анализ позволяет сделать вывод о том, что художники - орнаменталисты при построении орнамента пользовались стороной и диагональю квадрата и их «производными». При построении орнамента они выполняли последовательное деление отрезка пополам, использовали египетский треугольник, делили окружность на 4, 8, 16, 32 части.

Геометрические приёмы (слайды 28 и 29) - основа архитектурного проектирования - распространяются и в архитектурный орнамент. Например афрасиабские панели. Это высокохудожественные произведения орнаментального искусства Средней Азии тысячелетней давности. Одну из таких панелей можно увидеть на дворце Саманидов в Самарканде. Рассматривая её можно увидеть не одну математическую закономерность между отдельными элементами частей панели.

Например, очень интересно проследить за тем, сколько же видов симметрии у этого гериха, кроме тождественного преобразования Е (слайд 30)

1. Центральная симметрия относительно точки О пересечения диагоналей А₁С₁и B₁D₁ (поворот на 180^о относительно точки О).

2. Четыре осевые симметрии относительно взаимно перпендикулярных осей АC и BD, а также B₁D₁ и А₁С₁(или повороты на 90^о вокруг центра О).

Последовательное выполнение нескольких преобразований в математике называется композицией преобразований.

6. Паркет как вид орнамента и математическая задача

о «замощении» плоскости.

В строительном деле паркет - это настил пола из твёрдых пород дерева, образованного в виде тонких дощечек разных форм. Наличие паркета в жилище обеспечивает его гигиену, малую теплопроводность и хорошую звукоизоляцию. Паркет - это не только удобство, но и красота помещения, поскольку он - своеобразный орнамент. Над созданием всё новых и новых паркетов - орнаментов трудились многие поколения мастеров.

В математике паркетом называют «замощение» плоскости повторяющимися фигурами без пропусков и перекрытий.

Ещё пифагорейцы установили, что вокруг одной точки могут лежать либо 6 правильных треугольников, либо 4 квадрата, либо 3 правильных шестиугольника (слайды 31и 32).

.

Поскольку это утверждение касается каждой точки плоскости, процесс «замощения» плоскости, начатый из точки О, может быть продолжен от точки О₁ и т.д. Таким образом, получается, что простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад.

Более сложный паркет - орнамент можно сконструировать, если построить на сторонах квадрата правильные треугольники, а на сторонах этих треугольников, не примыкающих к исходному квадрату, - опять те же самые квадраты. Такая конструкция, содержащая только квадраты и равносторонние треугольники, способна заполнить всю плоскость.

В восточных орнаментах встречаются правильные восьмиугольники и квадраты. Заметим, что заполнение плоскости паркетом, составленным из правильных восьмиугольников возможно только так, как показано на рисунке:

Решение задач, связанных с архитектурными орнаментами Средней Азии, убеждает в том, что геометрия занимала важное место в практической деятельности древних зодчих и мастеров орнаменталистов. Они хорошо владели построениями, измерениями и геометрическими доказательствами. В средние века на мусульманском Востоке было распространено мнение, что геометрия очищает и совершенствует человеческий ум. Не может совершить ошибку человек, постоянно занимающийся геометрией. Эта мысль прививалась с самого детства. Перекидывая мост к греческой античности, восточные мыслители твердили слова приписываемые Платону: «Тот, кто не знает геометрии, не может входить в наш дом».

7. Подведение итогов.

1. По характеру композиции и расположению на украшаемой поверхности орнамент может быть нескольких видов: ленточным (бордюром), сетчатым и розетчатым.

2. Всего существует 17 типов симметрий плоских орнаментов.

3. Бордюр - периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте. Всего существует семь типов симметрии бордюров. Любой бордюр обладает переносной симметрией вдоль своей оси.

4. «Замостить плоскость можно композицией правильных шестиугольников, четырёхугольников, треугольников, восьмиугольников.

8. Домашнее задание.

1. Используя определения постройте 6 различных видов бордюров.

2. Постройте орнамент на каждом из 5 видов плоских решёток.

3. Разделите окружность на 4 части, на 8 частей, на 10 частей и постройте розетки в соответствии со способом деления окружности.

Занятия 11 - 12.

Тема:

«Завоевание пространства».

(Изучение теории и решение задач)

План. (слайд 2)

1. Перспектива - «ясно вижу».

2. Основные законы перспективы.

3. Простейшие задачи перспективы.

4. Законы перспективы в картинах великих мастеров.

5. Итог занятия.

6. Домашнее задание.

(слайд3)

Наибольшую радость телу даёт свет солнца,

наибольшую радость духу - ясность матема-

тической истины. Вот почему науки о перспек-

тиве, в которой созерцание светлой линии - ве-

личайшая отрада глаз - соединяется с ясностью

математики - величайшей отрадой ума, -

должно предпочитать всем остальным челове-

ческим исследованиям и наукам.

Леонардо до Винчи.

1. Перспектива - «ясно вижу».

В течение тысячелетий в изобразительном искусстве длилась борьба Плоскости с Пространством. Госпожа Плоскость выступала в разных обличиях: (слайд 4) ошлифованной поверхности камня, дерева, натянутом шёлке, холсте, ровном листе бумаги. Но с каким бы материалом не работал художник, перед ним всегда вставала одна и та же проблема: как показать на части плоскости простран6ственные объекты так, чтобы они казались неискажёнными?

Но непостижимое Пространство не собиралось подчиняться Плоскости. Это ясно всякому, кто хоть раз в жизни видел древнеегипетские, вавилонские или ассирийские рисунки и рельефы (слайды 5-8). Древние художники изображали предметы в один ряд друг за другом. В древнем Египте, например, сформировался канон условного изображения человека: голова и ноги - в профиль, плечи и глаз - в фас.

Подобные метаморфозы восприятия и изображения пространства можно наблюдать у детей и подростков в процессе развития. Все характерные черты древних изображений присутствуют в их рисунках. Для детей часто не существенно, что находится ближе к зрителю, а что - дальше, как соотносятся между собой высоты фигур и т.д. На детском рисунке фигура папы соседствует рядом со зданием, где живёт ребёнок, причём папа и дом одинакового «роста». Если ребёнок рисует лес - то каждое дерево в отдельности и с начала до конца - от основания до кроны, причём те растения, что находятся дальше, произрастают прямо из ветвей своих собратьев, которые находятся ближе к художнику. Не имея достаточного визуального опыта, дети, естественно, не могут владеть всей сложной системой методов и приёмов трансформации пространства и объёма в плоское изображение, существенной частью которых являются законы перспективы.

Законы перспективы (слайд 9): фигуры и предметы кажутся тем меньшими, чем дальше они находятся; параллельные линии, уходящие вдаль, обнаруживают стремление сойтись в одной точке; грани предметов, направленные по лучу зрения глаза наблюдателя, кажутся короче, чем в действительности.

Восприятие человеком пространства связано с этими реальными проявлениями линейной перспективы. Ее создают оптические характеристики глаза, она является привычной пространственной категорией.

«Перспектива» - от латинского percpicio ясно вижу. Так называется способ изображения пространственных тел на плоскости, учитывающий их пространственную структуру, основанный на применении центрального проектирования.

(слайд 10) Центральная проекция точки А (точки В или С) из центра S на плоскость определяется как точка А^I(B^Iили C^I) пересечения прямой SA (прямой SB или SC) с плоскостью. Рис1.

Когда смотришь на рисунок 1, становится совершенно ясно, почему слово «проекция» в переводе с латинского означает «выбрасывание». Человеческий глаз (представим себе, что он находится в точке S) как бы выбрасывает лучи зрения, которые охватывают предмет, в данном случае треугольник АВС, с разных сторон и, проходя далее, пронизывают плоскость , оставляя на ней следы - точки А^I, B^I, C^I.

Примерно так объясняли природу зрения греческие учёные. Эти представления далеки от полноты и в чём - то наивны, но разобрать основные закономерности изобразительного искусства они нам помогут.

Где - то около 1425 г. Брунеллески, вероятно экспериментируя с зеркалом, заметил, что феномен пространственного сокращения по мере удаления, который все мы знаем по опыту, глядя на ряд комнат или дорогу, объясняется тем, что удаляющиеся рёбра плоскостей как бы сходятся в точке или точках на уровне глаз зрителя. Этот уровень мы называем теперь «линией горизонта». На картине эта линия горизонта указывает, где должны располагаться изображаемые предметы и откуда должен смотреть зритель, чтобы видеть в точности так, как видел художник. Таким образом, линия горизонта устанавливает оптическую свзь из реального пространства, в котором находится зритель, «через» поверхность картины, служащей как бы окном, с изобразительным пространством самой картины.

Хотя представление о совокупности лучей зрения как о конусе или пирамиде было изложено ещё Евклидом в III веке до н.э., лишь через полторы тысячи лет итальянский архитектор Филиппо Брунеллеске (1377 - 1446) предложил рассматривать картину как сечение пирамиды плоскостью, причём вершиной пирамиды является человеческий глаз V. Рис 2. (слад 11)

Рис 2.

Итак, дана картинная плоскость и предметная плоскость , которую следует изобразить на картине, причём . Пересечение плоскостей и называется остью проекции или основанием картины. Ясно, что все точки оси проекции при проектировании переходят сами в себя; например, точка R на плоскости изображается в плоскости той же точкой R.

Пусть надо изобразить на картине прямую l, проходящую через R перпендикулярно предметной плоскости ^I. Можно установить экспериментально, что луч зрения VP пересекает картинную плоскость в точке P. Вообразим теперь, что точка Р^Iудаляется от точки R, двигаясь по прямой l^I. Тогда изображающая её точка Р всё ближе приближается к точке Q, которая лежит в плоскости на прямой NQ, параллельной плоскости ^I, причём QR. Прямая QN называется линией горизонта картины или горизонтом.

Рассмотрим теперь в предметной плоскости прямую т^I, параллельную прямой l^I. Точка S^I этой прямой проектируется в точку S картинной плоскости, а сама прямая т^I проектируется в прямую т, которая пересекает прямую l в точке Q, лежащей на линии горизонта картины.

Построения на этом рисунке помогают нам осознать, что должны существовать какие - то законы «переложения» Пространства на Плоскость. Причём, намеренно искажая предметы в соответствии с этими законами, мы добиваемся чёткого и ясного видения пространства.

2. Основные законы перспективы.

1. Закон главной точки.

Все параллельные линии, перпендикулярные основанию картины, изображаются сходящимися в одной точке, расположенной на линии горизонта.

Рис3.

На рисунке 3а (слайд 12) эта точка обозначена через Р. Обычно линия горизонта берётся на уровне глаз художника.

2. Закон точки схода.

Если параллельные линии наклонены к плоскости основания картины, то на картине они должны изображаться прямыми, которые сходятся в одной точке. Она смещена вправо или влево от основной точки картины. Эта точка называется точкой схода. На рисунке 3б (слайд 13) она обозначена буквой F.

3. Закон точки дальности. (слайд 14)

Параллельные прямые, наклонённые к основанию картины под углом в 45^о, сходятся в одну точку, которая называется точкой дальности и откладывается от главной точки Р влево или вправо по линии горизонта на расстояние, которое выбирается художником произвольно в пределах от 1,5 до 2 - 2,6 диагонали картины.

Рис4.

На рисунке 4 точка дальности обозначена буквой D. (Точка D на поле картины не всегда умещается, тогда картину временно наращивают дополнительными листами влево или вправо).

4. Закон линий, параллельных плоскости картины.

Все горизонтальные линии предмета, параллельные плоскости картины, изображаются без искажений.

5. Способ заполнения пространства в глубину.

Р

Е₄ис5. (слайд 15)

Е

А

Разделим основание АВ картины на равные отрезки точками,2,3,4,5,6,7,8,9. Проведём через эти точки прямые, сходящиеся к главной точке Р, которая помещается так, чтобы делить примерно на равные отрезки «линию горизонта» картины. Отрезки РА,Р2,…РВ -проекции параллельных прямых, которые перпендикулярны плоскости картины. Выберем теперь произвольную на линии горизонта точку дальности и соединим её с точками А,2,3,4,5,6,7,8,9 . Отрезки DA, D2, D3,…D9 - это проекции прямых, наклоненных к основанию картины под углом 45^о.

В реальности прямые АР и DA, P2 и D2, P3 и D3…при пересечении образуют равные отрезки. Значит, и те отрезки, которые получились при пересечении прямых DA,D2, D3,… c прямыми PA, P2, P3…, тоже следует считать равными, но изображёнными в перспективе. Проведя через концы этих отрезков прямые, параллельные осн6ованию картины, получаем изображение в перспективе рассечённой на квадраты горизонтальной плоскости. Если заштриховать полученные квадраты, в шахматном порядке, то заполнение пространства в глубину станет ещё более наглядным.

Разбив плоскость картины на пропорциональные, т.е. на перспективные отрезки, можно построить и ряд вертикальных отрезков ЕВ, Е₁В₁ и т.д.., расположенных в пространстве на равных расстояниях друг от друга. Причём в реальности все отрезки ЕВ, Е₁В₁ и т.д… должны быть равными, поскольку являются отрезками параллельных прямых, заключённых между параллельными прямыми. Но их перспективные изображения уменьшаются по мере удаления от основания АВ картины.

3. Простейшие задачи перспективы.

Каждому художнику приходится решать геометрическую задачу построения проекции предмета на картинную плоскость. Попробуем себя и мы в роли художников - геометров, выполняющих на картинной плоскости изображения различных фигур. Для этого рассмотрим несколько простых задач.

Но сначала определим предметную плоскость , плоскость картины , причём , положение нашего глаза (точка О), основание О₁ перпендикуляра, опущенного из точки О на предметную плоскость, и прямую a пересечения предметной и картинной плоскостей, т.е. границу картины.

Задача 1. (слайд 16)

Изобразите в картинной плоскости точку А, лежащую в плоскости .

П о с т р о е н и е.

1. Проведём прямую О₁А, которая пересечёт прямую a в точке А₁.

2. В плоскости через точку А₁ проведём прямую А₁Х параллельную прямой ОО₁.

3. Затем в плоскости ОО₁А через точки О и А проведём прямую, которая пересечёт прямую А₁Х в точке А^I. Точка А^I и есть изображение точки а в картинной плоскости. Рис 6.

Рис 6.

Задача 2. (слайд 17)

Постройте в картинной плоскости изображение прямой АВ, лежащей в предметной плоскости .

П о с т р о е н и е.

Строим изображения точек А и В в картинной плоскости так, как в задаче 1. Прямая А^I В^I и есть искомое изображение прямой АВ.

Рис7.

Задача 3. (слайд 18)

Постройте изображение угла ВАС, если его вершина А лежит в предметной плоскости , а лучи АВ и АС не лежат в этой плоскости.

П о с т р о е н и е.

1. Построим в картинной плоскости изображение точки А - это точка А^I.

2. Опустим из точек В и С перпендикуляры на предметную плоскость. Точки В₁ и С₁ - основания этих перпендикуляров.

3. Проведём прямые О₁В₁ и О₁С₁, которые пересекают прямую a в точках В₂ и С₂ соответственно.

4. В плоскости через В₂ и С₂ проведём прямые В₂X и C₂Y_, параллельные прямой ОО₁.

5. Проводим прямые ОВ, ОС, которые пересекают прямые В₂Х и С₂Y в точках B^I и C^I соответственно.

6. В картинной плоскости из точки А^I проводим лучи A^IB^I и A^IC^I .Угол B^IA^IC^I - изображение в плоскости угла ВАС.

Рис8.

4. Законы перспективы в картинах великих мастеров.

Вспомним слова, которые стоят в эпиграфе этой к теме. (слайд 19). Их написал со слов учителя один из учеников Леонардо да Винчи. Надо отметить, что у великого живописца, механика и изобретателя было много учеников. Уже после его смерти они воплощали его идеи как в великолепных произведениях искусства, так и в оригинальных технических решениях.

Именно Леонардо да Винчи был одним из первых художников, кто не только теоретически развил учение о перспективе, но и практически показал её значимость в своих гениальных художественных творениях.

Одной из самых известных фресок этого мастера является «Тайная вечеря» (слайд 20). Она посвящена сюжету из Евангелия, в котором рассказывается, как преследуемый Христос тайно встречается за ужином - вечерей со своими ближайшими учениками. Тут он говорит им: «Сегодня один из вас предаст меня». Ученики поражены. Мы видим целую палитру чувств: негодование, сомнение, грустное смирение, тревогу, готовность к мщению и мужественную стойкость. Рис9.

Пространство в картине организовано строго симметрично. Симметрично расположены и фигуры за столом: 3+3+1+3+3. Главная точка картины расположена в самом центре, прямо над головой Христа. В этом легко убедиться, если мысленно продолжить ортогонали (т.е. прямые, которые мыслятся перпендикулярными плоскости картины) потолка - все они пересекутся в одной точке. К ней же сходятся линии, проходящие по верхним краям ковров, развешенных комнате. Горизонт проходит через главную точку параллельно столу и краю скатерти. Точек дальности две, они находятся вне картины на линии горизонта справа и слева и отстоят от фигуры Христа примерно на удвоенное расстояние, какое занимают шесть фигур справа и слева. Фигура Христа, видимая над столом, вписывается в равносторонний треугольник, тем самым зрителю внушается ощущение полного покоя, которым проникнут единственный из собравшихся. Ковры создают иллюзию глубины. Представим, что нет хотя бы одной пары ковров справа и слева от окна. Тогда окно казалось бы намного ближе, а человеческие фигуры виделись бы «прилипшими» к нему.

Наглядное представление о перспективных элементах картины даёт гравюра Альбрехта Дюрера «Святой Иероним» (слайд 21). Здесь ортогоналями служат горизонтальные части оконной рамы, полосы дощатого потолка, ведь они в реальности перпендикулярны плоскости картины. А на изображении эти линии, будучи продолжены, сходятся в главной точке, которая помещается в правом краю картины, чуть выше спинки отодвинутой скамьи.

Рис10.

В «Обручении Марии» (1504 г.), (слайд 22) картине Рафаэля, не менее знаменитого современника Леонардо, точка схода находится в открытом дверном проеме круглого храма на заднем плане . На первый взгляд это место лишено особого значения, но для зрителя эпохи Возрождения оно несло в себе глубокий религиозный смысл. И действительно, это здание символизирует мистический храм, открытая дверь которого, со всеми очевидными сопутствующими символами, связывает центральный луч с глазом зрителя. Через открытый дверной проем видно небо по другую сторону храма. Так Рафаэль искусно связал геометрическое понятие точки схода с мистической идеей Божией бесконечности на небесах.

Рис 11.

Думается, что ту первоначальную радость, с какой представители Ренессанса смотрели на картины, написанные по законам линейной перспективы, можно по силе переживания уподобить ощущению человека, который привык ходить пешком и вдруг впервые взлетел на самолете.

Закон пространственной перспективы становится действенным инструментом во всех областях, куда направляет свой жадный до новизны взор человеческий разум. В 1543 году Андреас Везалий издает свой уникальный трактат «О строении человеческого тела», рисунки к которому были выполнены по законам линейной перспективы, что явилось революцией в образовательной практике медицинских учебных заведений.

5. Итог занятия (слайд 23.)

1. Под перспективой понимается изображение реального предметного мира на плоскости

так, как это воспринимается глазом человека.

2. Линейная перспектива имеет свои строгие геометрические правила, без знания которых построение картины "вглубь" невозможно.

3. Все параллельные линии, перпендикулярные основанию картины, изображаются сходящимися в одной точке, расположенной на линии горизонта.

4. Остаются параллельными в перспективе только те параллельные прямые, которые расположены параллельно плоскости картины.

5. Домашнее задание.

1. Возьмите одну из репродукций, на которой изображён архитектурный памятник или интерьер квартиры. Определите главную точку картины, точку схода и линию горизонта.

2. Постройте изображение треугольника АВС в плоскости картины, если:

   1. плоскость треугольника параллельна картинной плоскости;

   2. плоскость треугольника образует некоторый угол с предметной плоскостью.

3. Постройте перспективное изображение:

   1. квадрата;

   2. параллелограмма;

   3. правильного треугольника;

   4. трапеции.

Занятия 14 - 15.

Тема:

«Геометрия архитектурной гармонии». (слайд 1)

План. (слайд 2)

1. Символ бессмертия и золотая пропорция.

2. Прочность, польза, красота - формула архитектурного целого по Витрувию.

3. Об одном несложном строительном задании и величайшей математической задаче.

4. Арки, купола, фасады и … иррациональности.

5. Итог занятия.

6. Домашнее задание.

(слайд 3)

«Гармония является господствующей частью архитектуры»

В. Шеллинг.

В архитектуре тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника, искусство. Гармоническое единство этих начал помогает создавать памятники, совершенство которых не подвластно времени. Египетские пирамиды (слайд 4), греческий Акрополь (слайд 5), римские акведуки (слайд 6), таинственные средневековые замки (слайды 7,8) , восточные мечети (слайд 9) и минареты (слайд 10), кружево готических соборов (слайд 11)- яркие свидетельства мастерства ремесленника, вдохновения художника, логики учёного.

1. Символ бессмертия и золотая пропорция.

Начнём с египетских пирамид. Египетские пирамиды (слайды 12,13)- усыпальницы египетских фараонов. Крупнейшие из них - пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе в древности считались одним из Семи чудес света. Возведение пирамиды, в котором уже греки и римляне видели памятник невиданной гордыни царей и жестокости, обрекшей весь народ Египта на бессмысленное строительство, было важнейшим культовым деянием и должно было выражать, по всей видимости, мистическое тождество страны и ее правителя. Население страны работало на строительстве гробницы в свободную от сельскохозяйственных работ часть года. Ряд текстов свидетельствует о том внимании и заботе, которые сами цари (правда, более позднего времени) уделяли возведению своей гробницы и ее строителям. Известно также об особых культовых почестях, которые оказывались самой пирамиде.

Пирамиды выстроены на левом - западном берегу Нила (Запад - царство мертвых) и возвышались над всем городом мертвых - бесчисленными гробницами, пирамидами, храмами.

Самая большая из трех - пирамида Хеопса (зодчий Хемиун, 27 в. до н. э.). Ее высота была изначально 147 м, а длина стороны основания - 232 м. Для ее сооружения потребовалось 2 млн. 300 тыс. огромных каменных блоков, средний вес которых 2,5 т. Плиты не скреплялись строительным раствором, лишь чрезвычайно точная подгонка удерживает их. В древности пирамиды были облицованы отполированными плитами белого известняка, вершины их были покрыты медными плитами, сверкавшими на солнце (известняковую обшивку сохранила только пирамида Хеопса, покрытие других пирамид арабы использовали при строительстве Белой мечети в Каире).

Близ пирамиды Хефрена возвышается одна из крупнейших статуй древности и нашего времени - высеченная из скалы фигура лежащего сфинкса с портретными чертами самого фараона Хефрена.

Великие пирамиды были окружены рядом небольших усыпальниц жен фараонов и их приближенных. В такие комплексы обязательно входили святилища Верхнего и Нижнего Египта, большие дворы для проведения праздника хеб-су, заупокойные храмы, служители которых должны были поддерживать культ умершего царя. Пространство вокруг пирамиды, окруженное стелами, посредством длинного крытого перехода соединялось с храмом на берегу Нила, где встречали тело фараона и начинались погребальные церемонии.

Все пирамиды точно сориентированы по странам света, что свидетельствует о высоком уровне астрономических знаний древних египтян, расчет углов наклона граней совершенно безукоризнен. В пирамиде Хеопса угол наклона таков, что высота пирамиды равна радиусу воображаемой окружности, в которую вписано основание пирамиды.

Замечательной инженерной находкой древних зодчих и строителей было сооружение в толще каменной кладки над погребальной камерой пяти разгрузочных камер, с помощью которых удалось снять и равномерно распределить колоссальную нагрузку на ее перекрытия. Помимо камер в пирамиде есть и другие пустоты - коридоры, проходы и галереи, входы в которые были тщательно замурованы и замаскированы. Тем не менее захоронения в пирамидах были разграблены, видимо, довольно скоро после погребения фараонов. Воры хорошо знали все ловушки, так что они, скорее всего, были связаны либо со строителями, либо со жрецами, осуществлявшими захоронения.

Сооружения в Эль-Гизе своей грандиозностью и видимой бесполезностью поражали воображение уже в древности, что лучше всего передает арабская пословица: «Все на свете боится времени, но время боится пирамид».

Рис 1.

Не исключено, что основным, исходным элементом, определяющим главные пропорции пирамиды, является треугольник SMN в её осевом сечении (рис 1) (слайд 14).. Установлено, что отношение катетов SM и MN равно отношению гипотенузы SN к катету SM. Причём SN : MN = Ф.

Если мы примем меньший катет MN за х, то из отношения SN : x = Ф получим, что SN = Фх. Тогда пропорция SM : MN = SN : SM даёт: SN : x = (Фх) : SM, или SM² = Фх², т.е. SM = . Тогда: SN =

Итак, стороны треугольника SMN составляют геометрическую прогрессию: знаменатель которой равен .

2. Прочность, польза, красота - формула архитектурного целого по Витрувию.

Наследниками древнеегипетских математических знаний оказались греки. Но они более увлеклись «чистой» наукой, а на её приложения смотрели свысока. Другое дело - римляне, унаследовавшие, в свою очередь, у египтян и греков их сведения по математике. Их интересовала, прежде всего, практическая польза приложения математики к разным областям практической деятельности человека, и в частности к архитектуре.

Может быть, в силу указанных причин большинство древнегреческих трактатов, содержащих расчёты скульпторов, архитекторов, художников не сохранились. Но хорошо известен более поздний источник, относящийся к 1 в. до н.э., - книга древнеримского зодчего Марка Витрувия Поллиона «Десять книг об архитектуре». Эта единственная сохранившаяся в целостности античная работа об архитектуре представляет собой всестороннее энциклопедическое исследование, в котором можно найти исторические, технические и эстетические рассуждения.

В древности архитектура включала в себя строительство, конструирование часов (слайд 15), создание машин, изготовление кораблей (слайд 16).. О том, какая ответственность лежала на представителях этой профессии, даёт представление один древнеримский закон. Он гласил, что если новый дом развалился, но никто при этом не пострадал, то архитектор, ответственный за строительство этого сооружения, должен быть казнён. Если же были пострадавшие, то архитектора полагалось казнить вместе с его семьёй. Архитектору следовало разбираться в специальных строительных вопросах, а также в арифметике, оптике, истории (необходимой для понимания архитектурных форм), медицине (в целях гигиеничности зданий), праве, музыке (для обеспечения хорошей акустики), астрономии, географии (чтобы расположить здание в соответствии с розой ветров и подведением к нему воды).

В своих работах Витрувий руководствовался тремя принципами: прочность, польза, красота. Он усматривал их прежде всего в конструкции человеческого тела, призывая учиться у природы при создании архитектурной гармонии. Например, зодчий рассказывает, что при определении размеров колонн так называемого дорического ордера древнегреческие строители измерили след мужской ступни и нашли, что она составляет 1/6 часть роста человека. Тогда и колонны храма они построили так, чтобы их высота вместе с капителью (самая верхняя часть колонны) была в 6 раз больше ширины колонны у основания. Колонны дорического ордера Парфенона (слайд 17) сужаются кверху. Тем самым создаётся иллюзия их большей высоты. Глядя на это сооружение, устоявшее под воздействием всеразрушающего времени, как не вспомнить о союзе прочности и красоты!

Витрувий сообщает, что, когда грекам захотелось построить в новом стиле храм богини Артемиды, они повторили в его колоннах пропорции, свойственные стройной женщине. В колоннах нового типа, так называемого ионийского ордера толщина у основания составляет 1/8 часть их высоты. Из - за этого всё сооружение кажется более высоким и изящным.

Много внимания Витрувий уделял пользе, целесообразности, особенно когда речь шла о планировании городов. Он рекомендовал выбирать направления улиц так, чтобы вдоль них не могли дуть ветры, господствующие в данной местности.

Теперь представим себя архитекторами и сформулируем сами себе градостроительную проблему. В какой - то местности (на рисунке она показана в виде круга) регулярно в разные времена года и часы суток дуют ветры по десяти строго определённым направлениям. (слайд 18)

Рис 2.

Эти направления показаны стрелками и обозначим их буквами A,B,C,D,E,F,G,K,L,M. Следует загородить домами эти направления. Но, прежде чем строить дома, надо иметь план строительства, который естественно начать с проведения равных хорд, перпендикулярных направлениям ветров. Итак, архитектурная проблема привела нас к чисто геометрической задаче, которую мы будем решать с помощью древних инструментов: циркуля и линейки.

Задача.

Вписать в данный круг правильный десятиугольник.

Р е ш е н и е.

1. Докажем сначала одно важное свойство правильного десятиугольника: его сторона равна большей части радиуса описанной окружности, разделённого в среднем и крайнем отношении, т.е. в отношении золотого сечения.

Доказательство.

Пусть хорда АВ на рисунке 3 (слайд 19) есть сторона правильного вписанного десятиугольника. Тогда Проведём АС - биссектрису треугольника ОАВ. Поскольку то треугольники АСО и АСВ равнобедренные. Следовательно, АВ=СА=ОС.

Известно, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е. имеет место пропорция: АО:АВ=ОС:СВ, или ВО:ОС=ОС:ВС, что и требовалось доказать.

Рис 3.

2. Разделим отрезок в среднем и крайнем отношении (слайд 20) . Разделим радиус ОР пополам. Проведём отрезок НО_1. Проведём окружность с центром в точке О₁ радиуса О₁О. Она пересечёт отрезок ОН в точке Н_1. Проведём окружность с центром в точке Н₁ радиуса Н₁Н. Она пересечёт отрезок НО в точке S, которая делит этот отрезок в крайнем и среднем отношении. Следовательно, длина стороны правильного десятиугольника равна длине отрезка НS.

3. Построим правильный десятиугольник. Для этого в данной окружности проведём одну за другой хорды длиной НS.

Рис 4 Рис5

Задача решена.

Теперь предложим один из архитектурных проектов города (слайд 21). В нём с запада на восток проходит большой проспект, пересекающий круглую площадь, и к ней же сходятся четыре улицы, обозначенные на рисунке 6 штриховыми линиями. Разумеется, это не единственное решение, могут быть и другие архитектурные варианты.

Рис 6.

Придуманную нами градостроительную проблему можно усложнить или упростить, выбрав иное число ветров. Но если их направления будут рассекать окружность на равные дуги, то мы столкнёмся с более общей математической задачей, чем та, которая была разобрана выше. Сформулируем её:

«Какой правильный многоугольник можно вписать в окружность, т. е. на какое число равных дуг можно поделить окружность с помощью циркуля и линейки?» (слайд 22)

3. Об одном несложном строительном задании и величайшей математической задаче.

Витрувий рассказывал легенду о возникновении одного строительного задания: «Во время страшной эпидемии чумы дельфийского оракула спросили, как умилостивить богов, чтобы они умерили свою ярость. Ответ гласил, что недовольство богов вызвано размерами алтаря, на котором приносят жертвы, боги требуют возвести новый алтарь, вдвое большего объёма».

Старый алтарь имел форму куба. Один невежественный стихотворец решил, что достаточно увеличить все его размеры в два раза, чтобы воля богов оказалась выполненной. Он даже воспел в своей поэме новый алтарь, утверждая, что его уже воздвигли. Над невежеством стихоплёта смеялись все, поскольку древним грекам было хорошо известно, что если сторону куба увеличить в 2 раза, то его объём при этом увеличится в 8 раз.

Если обозначить сторону куба через 1, а нового через х, то их объёмы равны соответственно 1³ и х³. «Воля богов состояла в том, чтобы найти такое х, при котором , т.е.

Надо отметить, что установить приближённо, длине какого отрезка соответствует , не составляло особого труда. Любой архитектор мог прикинуть, что искомая длина лежит в промежутке от до , поскольку куб первого числа немного меньше 2, а куб второго - несколько меньше 2. Для строительных целей такая точность была бы вполне достаточной. Но тут речь шла об алтаре, «боги требовали» точного решения, а между тем ни один геометр не мог его дать, т.е. циркулем или линейкой начертить отрезок, длина которого равнялась бы .

Задача об удвоении куба принадлежит к числу трёх знаменитых задач древности. Её иногда называют делосской, поскольку история с жертвенником происходила якобы на острове Делос.

Точное решение этой задачи оказалось возможным только после открытия конических сечений, т.е. кривых, которые получаются после пересечения конуса плоскостью. Будем рассматривать конусы вращения трёх типов в зависимости от величины угла при вершине конуса: тупого, прямого и острого, а секущую плоскость станем направлять перпендикулярно образующей. Тогда в первом случае мы получим кривую - гиперболу (рисунок 7а) (слайд 23),, во втором - параболу (рисунок 7б) (слайд 24), в третьем - эллипс. .(слайд 25)

Рис 7бРис 7а.

Рис 7в.

Рассмотрим решение делосской задачи с помощью параболы и гиперболы. Примем сторону удваиваемого куба за 1. В таком случае мы можем выбрать простейшее уравнение параболы

у = х², а гиперболу задать уравнением (слайд 26) Приравняв правые части указанных равенств, получим:

или 2 = х³, т.е.

Графически это означает, что абсцисса точки пересечения данных кривых является длиной искомого отрезка , т.е. стороной удвоенного куба.

Рис 8.

Надо отметить, что эллинские математики координатного метода не знали и не могли записать уравнения кривых алгебраически. Но они пользовались методом геометрических мест, т.е. описывали условия, при которых множество точек описывает нужную кривую. Эти условия были фактически словесным описанием уравнений, задающих данные кривые. Такие решения были чисто теоретическими, воспринимались с восхищением, поскольку требовали огромного умственного труда.

Существовали, однако, практические решения. Одно из них приписывается Платону и основано на применении двух плотницких угольников. Приведём его.

Пусть две перпендикулярные прямые пересекаются в точке О (рис 9) (слайд 27). На прямой т вправо от точки о отложим отрезок ОС, равный а, где а - сторона меньшего куба. На прямой п вниз от точки О отложим отрезок OD = 2а. Теперь берём угольники и располагаем их так, как показано на рисунке 9, при этом вершина одного угольника лежит на прямой п, а катет проходит через точку С; вершина другого угольника лежит на прямой т, а катет проходит через точку D. Тогда вершину одного угольника отмечаем точкой А, а вершину другого - точкой В.

Что же такого особенного в точках А и В?

Для ответа на этот вопрос соединим точки А, В, С и D. Получим прямоугольную трапецию со взаимно перпендикулярными диагоналями. Треугольники АВС и BAD прямоугольные , а по свойству высоты, проведённой из вершины прямого угла, имеем: В нашем случае OD = 2а, ОС = а, т.е. пропорции можно переписать в следующем виде:

и отсюда прийти к равенствам: ОВ²=ОА ^.а и ОА²=ОВ ^.2а.

Рис 9.

Из последнего равенства следует: Значит, или

ОВ⁴=2а ^.ОВ ^.а². Таким образом, ОВ³=2а³ и тогда Итак, отрезок ОВ есть ребро искомого куба.

В делосской задаче эллинские математики столкнулись с новым видом чисел, геометрическиё эквивалент которых нельзя было построить циркулем или линейкой. В этом месте наука фактически подталкивала их к совсем другому пути развития, к осознанию того, что можно создать новый вид чисел.

3. Арки, купола, фасады и … иррациональности.

Шло время, постепенно усложнялись практические задачи архитектуры. Уже в Древнем Риме были широко распространены арки, придающие сооружениям особую привлекательность. Типичен в этом отношении римский Колизей (слайд 28), высота которого составляет 48,5 м. В то время поднять сооружение на такую высоту, можно было использовав несколько ярусов. Поэтому внешняя сторона Колизея представляет собой четыре яруса арок.

Рис 10.

Сооружение предназначалось для цирковых представлений. О том, какое впечатление оно производило на современников, говорит его название, закрепившееся в истории, - Колизей, или Колоссей (от лат. Громадный, колоссальный).

На одном фасаде старинного здания можно увидеть следующий рисунок. В полуциркулярную арку вписаны две окружности - маленькая и большая (рис 11)(слайд 29) . Измерения показали, что диаметр большей окружности равен12м. Возникают вопросы: какие геометрические зависимости положены в основу этой композиции? Как, например, связаны между собой радиусы этих вписанных окружностей? Попробуем разгадать замысел средневековых архитекторов.

Из точек Р и Q - концов диаметра малой окружности - проведём перпендикуляры до пересечения их с большей полуокружностью в точках М и N. Соединим полученные точки отрезком .

Рис 11.

Дальнейшие измерения показывают, что отношение сторон получившегося прямоугольника MNPQ равно 2:1. Тогда OP = NP. А так как радиус ON большей полуокружности равен 6, то из треугольника ONP по теореме Пифагора имеем: Следовательно, радиус малой окружности равен Отсюда отношение радиусов O₁D:O₂C окружностей равно:

Мы пришли к иррациональному результату.

Полуциркулярная арка была характерна для классической архитектуры Древней Греции и Древнего Рима. Её можно увидеть и в постройках более позднего времени, в частности в средневековых романских соборах. (слайды 30-33)

Красивые арки разнообразных форм были распространены не только в Европе, но и в странах Среднего и ближнего Востока.

Не возможно описать всё многообразие геометрических приёмов, которыми владели среднеазиатские зодчие. Они открывают новые формы арок, среди которых особый интерес представляет подковообразная (рис 12) (слайд 34).

Рис 12.

Для построения такой арки соединяют верхние концы проёма - точки А и В. Далее делят полученный отрезок точками О₁, О₂, О₃ на четыре равные части.

Из точек О₁ и О₃ как из центров проводят окружности радиуса О₁А. Их общая касательная MN перпендикулярна отрезку АВ.

От луча О₃В откладывается угол ВО₃С, равный 60^о, и продолжают прямую О₃С до пересечения с прямой MN в точке О₄.

Из точки О₄ проводят окружность радиуса О₄D, которая пересекает малые окружности в точках D и D^I.

Линия AD^IDB составляет подковообразную арку, которая завершает проём.

И в этой арке скрывается иррациональность. Если принять радиус О₁А за 1, то длины дуг AD^I и BD равны

Треугольник О₁О₃О₄ - равносторонний, в котором сторона равна 2. Тогда радиус О₄D большей окружности равен 3, и поэтому длина дуги D^ID равна Длина всей линии AD^IDB выражается иррациональным числом

В качестве ещё оного примера рассмотрим рис 13 (слайд 35), на котором изображён вид сверху одной из среднеазиатских мечетей. Её главная часть имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Он перекрыт шестигранным сводом, который помещается на шести арках.

Правильное и устойчивое положение купола над вытянутым прямоугольным помещением стала возможным благодаря верно выбранному отношению сторон прямоугольника: Тем самым обеспечивается равенство сторон двух треугольников, пересечение которых образует шестигранную основу купола. Сторона каждого треугольника равна

Рис 13.

5. Подведение итогов. (слайд 36)

1. Ещё в глубокой древности при строительстве храмов и пирамид пользовались точными геометрическими расчётами.

2. Прочность, польза и красота - основные принципы архитекторов древности.

3. Делосская задача, об удвоении ребра куба, привела к необходимости создания нового вида чисел (иррациональных).

4. Отношение измерений отдельных элементов арок и куполов приводит к иррациональному результату. Вплоть до XII века математики Индии и востока использовали иррациональные величины для нужд математической науки, но не признавали их за числа.

5. Домашнее задание.

1. В папирусе Ахмеса приводится следующее указание для построения квадрата, равновеликого кругу: «Отбрось от диаметра его девятую часть и построй квадрат со стороной, равной остальной части, будет он равновелик кругу». С помощью такого построения найдите, чему равно число . Найдите разность полученного значения числа и его приближённого значения 3, 1415926.

2. Постройте некоторую окружность. Разделите её радиус в отношении золотого сечения. Впишите данную окружность правильные пятиугольник и десятиугольник.

3. На рисунке показан древний способ построения отрезков, длины которых выражаются иррациональными числами. Найдите длины отрезков АВ, MN, PQ, RS.

4. Постройте с помощью циркуля и линейки отрезки, длины которых равны

1. Понятие "фрактал"

Что привнес компьютер в нашу жизнь нового, неведомого до него?

Он позволил нам увидеть фракталы. Это модное понятие взрывообразно шагает по планете, завораживая своей красотой и таинственностью новые батальоны любителей, и проявляясь в самых неожиданных областях: метеорологии, философии, географии, биологии, механике и даже истории. Есть, например, гипотеза о фрактальной структуре Тунгусского метеорита. Говорить о фракталах вообще - объять необъятное.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".

2. Классификация фракталов

2.1 Геометрические фракталы

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную - генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох . Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рис.1 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом .

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рис.2 представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Предельная фрактальная кривая (при n стремящемся к бесконечности) называется драконом Хартера-Хейтуэя [3].

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности объекта).

2.2 Алгебраические фракталы

Рассмотрим комплексные числа. Математика вся пронизана красотой и гармонией, но одно дело математика предметная, имеющая дело с реальными вычислениями и измерениями, и совсем другое дело комплексные числа. Ведь они выдуманы человеком, искусственно назначившим правила их существования и действия над ними. Комплексное число состоит из реальной (обычного числа) и мнимой части. Мнимая часть содержит квадратный корень из -1. Разработаны правила действий с комплексными числами, основанные на том, что i в квадрате равно минус 1 (i²= -1). Комплексные числа имеют прикладное значение во многих областях науки, являются основным аппаратом для расчетов в электротехнике и связи. Если на плоскости по горизонтальной оси откладывать реальные числа, а по вертикальной - мнимые, то каждому комплексному числу будет соответствовать точка на этой плоскости. Например, известно, что корни третьей степени из единицы (один реальный и два комплексных) расположены в вершинах равностороннего треугольника, а корни кубические из -1 тоже лежат на вершинах равностороннего треугольника, но отраженного относительно первоначального вокруг вертикальной оси. А корни седьмой степени из любого числа лежат на вершинах правильного семиугольника. Каждому комплексному числу соответствует точка на плоскости. Возведем число в квадрат - появляется другая точка, еще раз возведем в квадрат (или любую другую степень), появляется новая точка на плоскости. Потом эту простейшую операцию повторим многократно с получающимся каждый раз новым комплексным числом. В зависимости от начального числа могут быть три варианта: процесс пошел вразнос, число резко растет, уходит «из поля зрения», это не интересно; число быстро уменьшается и исчезает, еще менее интересно; да, да, теперь самое потрясающее. При некоторых начальных значениях новые числа группируются внутри некоторой области, а при отображении их на плоскости появляются невероятные изображения. Это группирование возводимых в квадрат комплексных чисел впервые подметил и описал Жюлиа в 1916 году. И это, так называемое множество Жюлиа, послужило отправной точкой для Бенуа Р. Мандельброта, математика из Исследовательского центра им. Томаса Уотстона при IBM, впервые предложившего термин «фрактал» для описания объектов, структура которых повторяется при переходе к все более мелким масштабам. Так как появляющиеся картинки обладают всеми признаками фракталов. вернемся к множеству. Суть технологии его получения состоит в следующем. Берется комплексное число. Выбранное число возводится в квадрат и прибавляется какое-то фиксированное постоянное число. Это число тоже комплексное, то есть имеет действительную и мнимую части, подбирая их мы можем регулировать процесс, получая самые причудливые картины. Простейшая итерационная формула Zнов=Z2стар + С, соответствующая множеству Жюлиа, нарисует подобие куклы-неваляшки. Края ее размыты, как бы лохматые. В них то и происходит самое таинство.

2.3 Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Фракталы в литературе: в поисках утраченного оригинала

Пытаясь определить литературные фракталы, мы встречаемся с некоторыми принципиальными трудностями: во-первых, литературный текст, по сравнению с произведением визуального искусства, линеен, существует направление его прочтения от начала до конца.

Еще одной особенностью текста является его конечность. Как же можно создать бесконечный текст?

Самыми простым бесконечным текстом будет текст из бесконечного количества дублирующихся элементов, или куплетов, повторяющейся частью которого является его «хвост» - тот же текст с любым количеством отброшенных начальных куплетов. Схематически такой текст можно изобразить в виде неразветвляющегося дерева или периодической последовательности повторяющихся куплетов. Единица текста - фраза, строфа или рассказ - начинается, развивается и заканчивается, возвращаясь в исходную точку, точку перехода к следующей единице текста, повторяющей исходную. Видно, что отсечение «головы» - любого количества начальных единиц, ничего не изменит, и «хвост» будет в точности совпадать с целым текстом.

Среди таких бесконечных произведений - стихи для детей или народные песенки, как, например, стишок о попе и его собаке из русской народной поэзии, или стихотворение М.Яснова «Чучело-мяучело», повествующее о котенке, который поет о котенке, который поет о котенке:

Чучело-мяучело

На трубе сидело.

Чучело-мяучело

Песенку запело.

Чучело-мяучело

С пастью красной-красной -

Всех оно замучило

Песенкой ужасной.

Всем кругом от чучела

Горестно и тошно,

Потому что песенка

У него про то, что:

Чучело-мяучело

На трубе сидело: