Аналитическое решение задач с параметрами

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 г.Алагир Алагирского района

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

урока

по алгебре и началам анализа 11 класс

Тема урока:

«Аналитическое решение задач с параметрами»

Разработала: учитель математики

Дзбоева Т.Б.

РСО-Алания г.Алагир

2013 г.

На любых испытаниях и во время учебного процесса наибольшую

сложность вызывают задачи с параметрами. Это объясняется двумя основными причинами. Во-первых, этой теме очень мало времени уделяется школьной программой. А вторая (основная) причина заключается в том, что это наиболее трудная тема как в логическом, так и техническом плане.

Трудность в работе с задачами, содержащими параметр, заключается в большом разнообразии применяемых методов, необходимости особой аккуратности при решении и записи ответа: надо исследовать все допустимые значения параметра и для каждого из значений параметра ответить на вопрос задачи. Решения задач как бы ветвятся в зависимости от значения параметра.

В задачах с параметром, кроме неизвестных величин, используются величины, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и удовлетворяющими каким-либо условиям. Например, значения параметра могут быть целыми, положительными и т.д.

1

Тема урока:

Аналитические решения основных типов задач с параметрами ( 2 урока).

Цели урока

1.систематизировать знания о параметрах;

2. развивать умение действовать самостоятельно;

3. учить строить графики функций с параметрами.

План урока

1.параметр в школьной математике;

2.решение основных типов задач;

3.параметр и поиск решений уравнений и неравенств.

Ход урока

1. С параметрами встречаются при введении некоторых понятий.

а) например y=kx, где х и у переменные, k - параметр, k0

б) линейная функция: y=kx+в, где х и у переменные к,в - параметры,

в) квадратное уравнение где х переменная ; а в и с параметры a0.

К задачам с параметрами можно отнести поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.

2. Решение основных типов задач.

Решить уравнение:

1. (а²-1)х=а+1

Решение.

1). а=1; тогда 0·х = 2, решений нет.

2). а=-1; 0·х=0х - любое.

3). имеем

Ответ: Если а = -1, то х- любое;

Если а =1, то нет решений;

Если а = ±1, то

2

II. |x²-1|+|а(х-1) |=0.

Решение.

Это уравнение равносильно системе

Имеем

I. При второе уравнение системы, а значит, и сама система, имеет единственное решение х=1.

II. Если а=0 то из второго уравнения получаем х - любое.

И в этом случае система имеет два решения х₁=1, х₂ = -1.

Ответ: Если то ;

Если то

Решить неравенство: |x+3|> -a²

I. При правая часть неравенства отрицательная, значит х - любое;

II. если а=0 то исходному неравенству удовлетворяют все действительные числа, кроме х=-3.

Ответ: если то х- любое;

если а=0 то х< -3 и х > -3.

III. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство.

Решение

Найдем ОДЗ параметра а:

Данное неравенство равносильно системе неравенств.

Если то решения исходного уравнения заполняют отрезок

Ответ: и

3

Графики построены с использованием НИТ - компьютера в электронных таблицах Ехсеl.

I. Решить уравнение

(1)

Решение

Поскольку x = 0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а:

или

График функции две " склеенных" гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у =а.

х

У

-2

-1

0

-1

3

1

2

2

1,5

3

1

х

У

-2

-3

0

-4

-

-5

-

а) б)

Если а то прямая у = а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений

и получаем

4

и .

Если а то прямая у = а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Ответ:

Если а , то

Если а то

Если а то решений нет.

II.Решить уравнение

параметр.

Решение.

1. При любом а :

2. Если то

Если , то

3. Строим график функции выделяем ту его часть, которая соответствует строим график функции и выделяем ту его часть которая соответствует

4. По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких - не имеет решения.

1. 2.

5

2

-1

2

-

3

-1,5

5

-1

-2,5

-7

1

0

-3

-4

2

-5

-2

3

-4

-2,5

6

1. 2.

Ответ:

Если то

Если то

Если то решений нет;

Если то ;

Если то

3. Решить уравнение

Решение.

Использовав равенство

заданное уравнение перепишем в виде

Это уравнение равносильно системе

7

Уравнение перепишем в виде

(*)

Последнее уравнение проще решить используя геометрические соображения. Построим графики функций и

Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если и при графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).

При то есть графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой

Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение

исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям

пусть а =3, тогда при система примет вид

Её решением будет промежуток

Учитывая, что можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка

Рассмотрим случай когда . Система неравенств примет вид

8

Решив эту систему найдем а Но поэтому при а исходное уравнение имеет единственное решение

Ответ:

Если а то решений нет;

Если а = 3, то

Если а то

Если а то решений нет

Домашнее задание

Решить уравнение

1.

2. При каких значениях параметра а имеет решение система