Пособие Успешное решение стереометрической задачи

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Новомичуринская средняя общеобразовательная школа №1»

Пронского района Рязанской области

Пособие по решению

стереометрических задач

(№14 ЕГЭ по математике)

Автор:

Козлова Елена Александровна,

учитель математики

МОУ «Новомичуринская средняя

общеобразовательная школа № 1»

2015

Содержание

1. Введение …………………………………………………………………………

2. Угол между скрещивающимися прямыми …………………………………….

3. Площади сечений многогранников ……………………………………………

4. Расстояние от точки до плоскости …………………………………………….

5. Расстояние от точки до прямой ………………………………………………..

6. Угол между прямой и плоскостью ……………………………………………..

7. Угол между плоскостями ……………………………………………………….

8. Расстояние между скрещивающимися прямыми ……………………………..

9. Тела вращения …………………………………………………………………..

10. Объёмы многогранников ………………………………………………………

11. Ответы……………………………………………………………………………

Введение

«Вдохновение есть расположение души к живейшему принятию впечатлений и соображению понятий, следственно и объяснению оных. Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии».

А. С. Пушкин

Задание № 14 (С2) Единого государственного экзамена по математике представляет стереометрическую задачу. При решении такого вида задач используют поэтапно вычислительный или координатно-векторный методы.

В данном пособии даны рекомендации к решению и приведены решения некоторых задач именно поэтапно вычислительным методом (многие решения представлены учениками 10 - 11 классов 2012 - 2015 уч. г.). Этот метод является традиционным и требует от учащихся знание теории, практических умений и навыков, а также развитого пространственного воображения. В пособии много задач для самостоятельного решения, к которым даны ответы. Его можно использовать как на уроках геометрии, так и во внеурочное время для подготовки к ЕГЭ.

Желаю всем, кто увлечён геометрией, с вдохновением решать стереометрические задачи!

Елена Александровна

Угол между скрещивающимися прямыми

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые являются скрещивающимися.

Определение. Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.

Величина угла между двумя пересекающимися прямыми принадлежит промежутку (0⁰; 90⁰).

Определение. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

При решении задач на данную тему сначала производят параллельный перенос одной из скрещивающихся прямых до пересечения с другой прямой. Затем находят величину угла между двумя пересекающимися прямыми либо из прямоугольного треугольника, либо из произвольного треугольника, используя теорему косинусов по формуле , где a и b - длины сторон треугольника АВС, заключающих искомый угол.

Полезно помнить следующие утверждения:

• скрещивающиеся ребра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны;

• диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды и скрещивающееся с ней боковое ребро взаимно перпендикулярны;

• диагональ правильной четырехугольной призмы и скрещивающаяся с ней диагональ основания взаимно перпендикулярны.

Задачи для самостоятельного решения

1. В кубе АС₁ найдите угол между прямыми А₁D и D₁Е, где Е - середина ребра СС₁.

2. В кубе АС₁ найдите угол между прямыми АD₁ и DM, где М - середина ребра D₁C₁.

3. В кубе АС₁ точки Р и М - середины ребер А₁В₁ и В₁С₁ соответственно. Найдите косинус угла между прямыми АР и ВМ.

4. На ребре СС₁ куба АС₁ отмечена точка Е так, что СЕ : ЕС₁ = 1 : 2. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС₁.

5. Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равна 8. Высота призмы равна 6. Найдите угол между прямыми СА₁ и АВ₁.

6. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ и СА₁.

7. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ₁ и ВС₁.

8. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ сторона основания равна 4, высота равна 10. Точки К и М - середины ребер АС и А₁В₁ соответственно. Найдите косинус угла между прямыми АС₁ и КМ.

9. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 6, а косинус угла ASB при вершине боковой грани равен . Точка М - середина ребра SC. Найдите косинус угла между прямыми ВМ и SA.

10. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 4. Точка К - середина ребра SB. Тангенс угла между прямыми SD и СК равен 2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

11. Дана правильная четырехугольная пирамида МАВСD. Сторона основания пирамиды равна 5. Тангенс угла между прямыми DM и AL, где L - середина МВ, равен . Найдите высоту данной пирамиды.

12. В правильном тетраэдре АВСD найдите угол между высотой DH тетраэдра и медианой боковой грани BCD.

13. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды РАВСD равны между собой. Найдите угол между прямыми РН и ВМ, если отрезок РН - высота данной пирамиды, точка М - середина её бокового ребра АР.

Пример 1. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ₁ и ВС₁.

Решение Семячкиной Юлии (11 класс, 2012 -2013 уч. год).

Пример 2. В правильном тетраэдре АВСD найдите угол между высотой DH тетраэдра и медианой боковой грани BCD.

Решение Зуевой Марии (11 класс, 2012 -2013 уч. год).

Пример 3. Дана правильная четырехугольная пирамида МАВСD. Сторона основания пирамиды равна 5. Тангенс угла между прямыми DM и AL, где L - середина МВ, равен . Найдите высоту данной пирамиды.

Решение Казаченко Виктории (11 класс, 2013 - 2014 уч. год).

Пример 4. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ сторона основания равна 4, высота равна 10. Точки К и М - середины ребер АС и А₁В₁ соответственно. Найдите косинус угла между прямыми АС₁ и КМ.

Решение Каковкиной Юлии (10 класс, 2014 - 2015 уч. год).

Площади сечений многогранников

Задачи для самостоятельного решения

1. В прямоугольном параллелепипеде АС₁ известны ребра АВ = 5, АD = 4, АА₁ = 9. Точка О принадлежит ребру ВВ₁ и делит его в отношении 4 : 5, считая от вершины В. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А, О и С₁.

2. На ребре АВ прямоугольного параллелепипеда АС₁ взята точка Е так, что АЕ : ЕВ = 4 : 1. Найдите площадь сечения плоскостью ЕСА₁, если АВ = 5, АD = 4, АА₁ = 1.

3. В правильной четырехугольной призме АС₁ сторона основания равна 6, а боковое ребро АА₁ = 1. Точка F принадлежит ребру С₁D₁ и делит его в отношении 2 : 1, считая от вершины С₁. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки А, С и F.

4. В правильной четырехугольной призме АС₁ сторона основания равна 11, а боковое ребро АА₁ = 7. Точка К принадлежит ребру В₁С₁ и делит его в отношении 8 : 3, считая от вершины В₁. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки В, D и К.

5. Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равна 30. На ребрах АС, АВ и А₁В₁ выбрали точки К, Р и М соответственно так, что АК : КС = АР : РВ = В₁М : МА₁ = 2 : 1. Площадь сечения призмы плоскостью КРМ равна 210. Найдите площадь боковой грани данной призмы.

6. В правильной треугольной пирамиде SАВС с основанием АВС проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S. Найдите площадь сечения, если боковое ребро пирамиды равно 10, а сторона основания равна 12.

7. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 16. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ - точка L. Известно, что CD = BE = LM = 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D, L.

8. В правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М высота равна 3, а боковые ребра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины ребер АВ и АС параллельно прямой МА.

9. МАВС - правильная пирамида, основание АВС - правильный треугольник со стороной 3. Ребро МА перпендикулярно плоскости АВС, ребро МВ = 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АМ - точка L, на ребре АВ - точка Е. АD = 2, ВЕ = МL= 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

10. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС сторона основания равна 8, угол ASB равен 36⁰. На ребре SC взята точка М так, что АМ - биссектриса угла SAC. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки А. М, В.

11. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60⁰, сторона основания равна 1, SH - высота пирамиды. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку Н параллельно ребрам SA и ВС.

12. Высота правильной треугольной пирамиды равна стороне ее основания, длина которого равна а. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания перпендикулярно противоположному ребру.

13. В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA= 5, а сторона основания АВ = 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро АВ перпендикулярно ребру SC.

14. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S сторона основания равна 4. Через прямую АВ проведено сечение, перпендикулярное ребру SC, площадь которого равна 18. Найдите длину бокового ребра пирамиды.

15. Через сторону основания правильной треугольной пирамиды проведена плоскость перпендикулярно противоположному ребру. Сторона основания пирамиды равна а, секущая плоскость делит боковое ребро в отношении 3 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите боковое ребро и площадь боковой поверхности пирамиды.

16. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABСD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ ее основания.

17. В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD боковое ребро равно 8, высота пирамиды равна 2. Найдите площадь сечения, проходящего через прямую BD и середину F ребра МС.

18. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 80, сторона основания равна 120. Вычислить площадь сечения, проходящего через центр основания параллельно боковой грани.

19. В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD с вершиной М стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку В и середину ребра MD параллельно прямой АС.

20. В правильной пирамиде МАВСD АМ = 4, АD = 3. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ ВD основания параллельно ребру МА и найдите его площадь.

21. В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Точка Е - середина ребра АС. Найдите площадь сечения призмы плоскостью А₁В₁Е.

Пример 1. Высота правильной треугольной пирамиды равна стороне ее основания, длина которого равна а. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания перпендикулярно противоположному ребру.

Пример 2. На ребре АВ прямоугольного параллелепипеда АС₁ взята точка Е так, что АЕ : ЕВ = 4 : 1. Найдите площадь сечения плоскостью ЕСА₁, если АВ = 5, АD = 4, АА₁ = 1.

Решение Перемыщевой Анны (10 класс, 2014 - 2015 уч. год).

Пример 3. Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равна 30. На ребрах АС, АВ и А₁В₁ выбрали точки К, Р и М соответственно так, что АК : КС = АР : РВ = В₁М : МА₁ = 2 : 1. Площадь сечения призмы плоскостью КРМ равна 210. Найдите площадь боковой грани данной призмы.

Решение Лутхова Андрея (10 класс, 2014 - 2015 уч. год).

Пример 4. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 80, сторона основания равна 120. Вычислить площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания параллельно боковой грани.

Решение Рыковой Елены (11 класс, 2013 - 2014 уч. г.).

Расстояние от точки до плоскости

Определение. Расстоянием от точки А до плоскости , не содержащей эту точку, называется длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости .

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Признак параллельности двух плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

При решении задач по данной теме, применяют метод площадей, подобие треугольников, метод объемов.

Метод площадей. Если площадь треугольника со сторонами a, b и с равна S и к стороне b этого треугольника проведена высота h, то h = .

Можно воспользоваться формулой: h_b = .

Метод объемов. Если объем пирамиды АВСМ равен V, то расстояние от точки М до плоскости АВС находят по формуле: . При данном методе нет необходимости в обоснованном построении перпендикуляра из точки к плоскости.

Правила, которые помогут решить некоторые задачи.

Правило 1. Чтобы найти расстояние от данной точки до данной плоскости, достаточно найти расстояние от произвольной точки прямой, содержащей данную точку, до параллельной ей данной плоскости.

Правило 2. Чтобы найти расстояние от данной точки до данной плоскости, достаточно найти расстояние от произвольной точки плоскости, содержащей данную точку, до параллельной ей данной плоскости.

Необходимо знать, что:

• в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны;

• плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды (треугольной, четырехугольной, шестиугольной) и высоту её боковой грани (апофему), перпендикулярна этой боковой грани;

• диагональ куба перпендикулярна плоскости, проведенной через концы трех ребер куба, выходящих из той же вершины, что и диагональ.

Задачи для самостоятельного решения

1. В кубе AC₁ плоскость проходит через прямую А₁В₁ и середину ребра DD₁. Найдите расстояние от середины ребра CD до этой плоскости, если ребро куба равно 4.

2. В кубе AC₁ все ребра равны 1. Найдите расстояние от середины отрезка ВС₁ до плоскости АВ₁D₁.

3. Ребро куба AC₁ равно . Найдите расстояние от вершины С до плоскости BDC₁.

4. В единичном кубе AC₁ найдите расстояние от точки А до плоскости BDC₁.

5. В основании прямого параллелепипеда АС₁ лежит квадрат ABCD площади 36. Найдите расстояние от точки А₁ до плоскости ВС₁D, если высота параллелепипеда равна 12.

6. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости СА₁В₁.

7. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите расстояния от точки В до плоскостей FB₁C₁ и DEA₁.

8. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. Найдите расстояние от вершины А до плоскости SBC.

9. В правильной шестиугольной пирамиде МABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 4, найти расстояние

1. от центра основания пирамиды до грани EMD;

2. от середины ребра ВС до плоскости грани ЕМD.

10. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD c основанием ABCD точка М - середина ребра РА, точка К - середина ребра РВ. Найдите расстояние от вершины А до плоскости СМК, если РС = 6, АВ = 4.

11. SABCD - правильная четырехугольная пирамида. Боковое ребро SA = , сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки В до плоскости ADM, где М - середина ребра SC.

12. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна 6. Точка К - середина ребра SC. Через прямую АК проведено сечение параллельное одной из диагоналей основания, площадь которого равна 60. Найдите расстояние от точки В до плоскости сечения.

13. В правильной четырехугольной пирамиде МABCD АР = 4, АD = 3. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ ВD основания параллельно ребру МА и найдите расстояние от точки М до плоскости сечения.

14. Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания АВС.

1. Постройте прямую пересечения плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС, SА, и плоскости, проходящей через середину ребра ВС и перпендикулярной ему.

2. Найдите расстояние от вершины А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и SA, если SA = , AB = AC = 5, BC = 2.

Пример 1. В правильной четырехугольной пирамиде МABCD АР = 4, АD = 3. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ ВD основания параллельно ребру МА и найдите расстояние от точки М до плоскости сечения.

Пример 2. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости СА₁В₁.

Решение Лобастовой Анны (11 класс, 2012 - 2013 уч. год).

Пример 3. Ребро куба AC₁ равно . Найдите расстояние от вершины С до плоскости BDC₁.

Расстояние от точки до прямой

Определение. Пусть точка А не лежит на прямой а. Расстоянием от точки А до прямой а называется длина перпендикуляра, проведенного из данной точки на данную прямую.

Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Расстояние от точки до прямой можно вычислить, как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот.

Полезно помнить, что

• расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра;

• расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой;

• скрещивающиеся ребра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны.

При решении задач на данную тему, можно воспользоваться следующим правилом:

чтобы найти расстояние от точки до прямой, достаточно найти расстояние от прямой, параллельной данной и содержащей данную точку, до данной прямой.

Задачи для самостоятельного решения

1. В единичном кубе АС₁ найдите расстояние от точки D до прямой А₁С.

2. В единичном кубе АС₁ на диагоналях АD₁ и D₁В₁ граней взяты точки Е и F так, что D₁Е = АD₁, D₁F = D₁B₁. Найдите расстояние от точки D₁ до прямой EF.

3. В единичном кубе АС₁ найдите расстояние от точки D₁ до прямой PQ, где Р и Q - середины ребер А₁В₁ и ВС соответственно.

4. Длины ребер АВ, АА₁ и АD прямоугольного параллелепипеда АС₁ равны соответственно 12, 16 и 15. Найдите расстояние от вершины А₁ до прямой ВD₁.

5. Основанием прямого параллелепипеда является ромб ABCD, сторона которого равна 4, а угол ВАD равен 60⁰. Найдите расстояние от точки А до прямой С₁ D₁, если известно, что боковое ребро параллелепипеда равно 8.

6. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник АВС, боковая сторона которого равна 6, а угол АСВ равен 120⁰. Найдите расстояние от точки А до прямой В₁С₁, если боковое ребро данной призмы равно 12.

7. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой D₁E₁.

8. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой B₁C₁.

9. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой BC₁.

10. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой АD₁.

11. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой E₁F₁.

12. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ стороны основания которой равны 3, а боковые ребра равны 4, найдите расстояние от точки С до прямой D₁E₁.

13. В тетраэдре АВСD, все ребра которого равны 1, найдите расстояние от точки а до прямой, проходящей через точку В и середину ребра СD.

14. DАВС - правильная треугольная пирамида с вершиной D. Сторона основания пирамиды равна , высота равна . Найдите расстояние от середины бокового ребра ВD до прямой МТ. Где точки М и Т - середины ребер АС и АВ соответственно.

15. В правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М, все ребра которой равны 2, точка Р - середина ребра АВ, точка О - центр основания пирамиды. Точка К делит МО в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды. Найдите расстояние от точки С до прямой РК.

16. SABCD - правильная четырехугольная пирамида с вершиной S. Ребро основания пирамиды равно , высота равна . Найдите расстояние от середины ребра АD до прямой МТ, где точки М и Т - середины ребер СS и ВС соответственно.

17. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки С до прямой SA.

18. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ стороны основания равны 5, а боковые ребра равны 11.

1. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки С, А₁ и Е₁.

2. Найдите расстояние от точки С до прямой А₁F₁.

Пример 1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой BC₁.

Решение Соловьёвой Валерии (11 класс, 2013 - 2014 уч. год).

Пример 2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до прямой B₁C₁.

Решение Таракановой Елены (10 класс, 2012 - 2013 уч. год).

Пример 3. DАВС - правильная треугольная пирамида с вершиной D. Сторона основания пирамиды равна , высота равна . Найдите расстояние от середины бокового ребра ВD до прямой МТ. Где точки М и Т - середины ребер АС и АВ соответственно.

Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Угол между прямой и плоскостью можно вычислить, если этот угол удается включить в прямоугольный треугольник в качестве одного из его острых углов.

Помните, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Необходимо знать, что:

• в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны;

• плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды (треугольной, четырехугольной, шестиугольной) и высоту её боковой грани (апофему), перпендикулярна этой боковой грани;

• диагональ куба перпендикулярна плоскости, проведенной через концы трех ребер куба, выходящих из той же вершины, что и диагональ;

• если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Правила, которые помогут решить некоторые задачи

1. Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, достаточно найти угол между прямой, параллельной данной прямой, и данной плоскостью.

2. Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, достаточно найти угол между прямой и плоскостью, параллельной данной плоскости.

3. Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, достаточно найти угол между прямой и плоскостью, параллельным данным прямой и плоскости.

В случае если прямая и плоскость имеют общую точку вне многогранника, необходимо предварительно выполнить параллельный перенос прямой до пересечения с плоскостью либо параллельный перенос плоскости до пересечения с прямой, чтобы общая точка стала «видимой» на данном многограннике.

Задачи для самостоятельного решения

1. В кубе АС₁ найдите угол между прямой АС₁ и плоскостью ВСС₁.

2. В кубе найдите тангенс угла между прямой АС₁ и плоскостью BDD₁.

3. В прямоугольном параллелепипеде АС₁ известны ребра АА₁ = 4, А₁D₁ = 6, С₁D₁ = 6. Найдите тангенс угла между плоскостью ADD₁ и прямой EF, проходящей через середины ребер АВ и В₁С₁.

4. В прямоугольном параллелепипеде АС₁ найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁, если АВ = 2, AD = AA₁ = 1.

5. В кубе АС₁ найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁.

6. В единичном кубе АС₁ найдите угол между прямой А₁В₁ и плоскостью ВDС₁.

7. В единичном кубе АС₁ найдите угол между прямой CD₁ и плоскостью АВ₁D₁.

8. Основанием прямой призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ = 5 и катетом ВС = . Высота призмы равна . Найдите угол между прямой С₁В и плоскостью АВВ₁.

9. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой АВ₁ и и плоскостью и АА₁С₁.

10. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Точка Р - середина ребра А₁В₁. Найдите угол между прямой АР и плоскостью BDD₁.

11. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите угол между прямой AF и плоскостью ВСС₁.

12. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите угол между прямой АС₁ и плоскостью ACD₁.

13. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сторона основания равна 1, а высота равна 6. Найдите угол между прямой F₁B₁ и плоскостью AF₁C₁.

14. В правильном тетраэдре АВСD найдите угол между медианой ВМ грани АВD и плоскостью ВСD.

15. SАВС - правильная треугольная пирамида с основанием АВС. АВ = 7; SС = 25. Найдите угол образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер АS и ВС.

16. В правильной треугольной пирамиде SАВС с основанием АВС известны ребра: АВ = 12, SС = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М - точка пересечения медиан грани SВС.

17. Высота SО правильной треугольной пирамиды SАВС составляет от высоты SМ боковой грани SАВ. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и ее боковым ребром.

18. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды РАВСD с вершиной Р равны между собой. Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью ВDР, если точка М - середина бокового ребра АР пирамиды.

19. В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой АВ и плоскостью SАD.

20. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а стороны основания равны 1, найдите косинус угла между прямой АС и плоскостью SAF.

Пример 1. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды РАВСD с вершиной Р равны между собой. Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью ВDР, если точка М - середина бокового ребра АР пирамиды.

Пример 2. В прямоугольном параллелепипеде АС₁ найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁, если АВ = 2, AD = AA₁ = 1.

Угол между плоскостями

Чтобы найти угол между плоскостями и , надо проделать следующие шаги:

1. Определить линию пересечения данных плоскостей.

2. Построить линейный угол двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями и .

3. Заключить этот угол в некоторый треугольник (либо в прямоугольный либо в произвольный) и найти его величину.

Утверждения, которые помогут решить некоторые задачи:

1. угол между данными плоскостями равен углу между плоскостями, параллельными данным (или между одной из данных плоскостей и плоскостью, параллельной другой из них);

2. угол между плоскостями и равен углу между прямыми m и n, соответственно перпендикулярными данным плоскостям;

3. угол между плоскостями и можно вычислить, используя формулу

cos,

где S - площадь многоугольника, лежащего в плоскости , S_пр - площадь его ортогональной проекции на плоскость .

Необходимо знать, что:

• двугранный угол измеряется величиной его линейного угла;

• величина двугранного угла принадлежит промежутку (0⁰; 180⁰);

• величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0⁰; 90⁰];

• для построения линейного угла двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями и , нужно выбрать на линии пересечения плоскостей фиксированную точку так, что к ней можно было восстановить два перпендикуляра m и n соответственно, «сходящихся» в выбранной точке.

При решении задач часто используются теоремы:

Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Задачи для самостоятельного решения

1. В кубе АС₁ найдите косинус угла между плоскостями ВА₁С₁ и ВА₁D₁.

2. В единичном кубе АС₁ найдите тангенс угла между плоскостями ADD₁ и ВDC₁.

3. В прямоугольном параллелепипеде АС₁ известны ребра АВ = 6, ВС = 6, СС₁ = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями АСD₁ и А₁В₁С₁.

4. В прямоугольном параллелепипеде АС₁ известны ребра АВ = 6, АD = 8, СС₁ = 16. Найдите угол между плоскостями АВС и А₁DВ.

5. В прямоугольном параллелепипеде АС₁ известны ребра АВ = 4, ВС = 6, СС₁ = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями СDD₁ и ВDA₁.

6. Сторона основания правильной треугольной призмы АВС A₁B₁C₁ равна 2, а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью А₁ВС и плоскостью основания призмы.

7. В правильной треугольной призме АВС A₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями АВС и СА₁В₁.

8. Основание прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ - ромб ABCD с углом А = 60⁰ и стороной, равной 2. Найдите высоту призмы, если угол между плоскостями А₁ВС и АВС равен 30⁰.

9. В основании прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит квадрат ABCD со стороной 2, высота призмы равна 1. Точка Е лежит на диагонали ВD₁, причем ВЕ = 1. Постройте сечение призмы плоскостью А₁С₁Е и найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью АВС.

10. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями АВС и DB₁F₁.

11. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольник ABCD, где АВ = 5, AD = . Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой В₁D, если расстояние между прямыми А₁С₁ и ВD равно .

12. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольник ABCD, где АВ = 12, AD =5. Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD₁, если расстояние между прямыми АС и В₁D₁ равно 13.

13. Сторона основания правильной треугольной призмы АВСA₁B₁C₁ равна 2, а высота равна 3. Через вершины А, В₁ и середину ребра СС₁ проведена плоскость. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и основанием АВС призмы.

14. В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА₁ отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА₁ = 2 : 1. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD₁.

15. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60⁰. Найдите величину двугранного угла между смежными боковыми гранями.

16. В правильной шестиугольной пирамиде стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2. Найдите косинус двугранного угла при основании и косинус двугранного угла при боковом ребре.

17. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все ребра которой равны 2, точка М - середина АВ. Точка О - центр основания пирамиды; точка F делит SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды. Найдите угол между плоскостями MBF и АВС.

18. В правильной треугольной пирамиде МАВС с вершиной М сторона основания равна 6. На ребре АВ отмечена точка К. Сечение МКС является равнобедренным треугольником с основанием МС. Найдите угол между плоскостями МРС и МВС, где точка Р - середина ребра АВ.

19. Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен . Найдите угол между смежными боковыми гранями этой пирамиды.

20. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно прямой BD.

21. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка S - вершина, точка М - середина ребра SА, точка К - середина ребра SC. Найдите угол между плоскостями ВМК и АВС, если АВ = 8 и SC = 10.

22. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точка М - середина ребра SA, точка К - середина ребра SB. Найдите угол между плоскостями СМК и АВС, если SC = 6, ВС = 4.

23. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S все ребра равны между собой. Точка М - середина ребра SC. Найдите угол между плоскостью АDM и плоскостью основания.

24. Изобразите сечение единичного куба, проходящее через вершину D₁ и середины ребер АВ и ВС. Найдите его площадь.

25. В основании прямой призмы АВСDА₁В₁С₁D₁ лежит ромб АВСD со стороной и углом равным 60⁰. На ребрах АВ, В₁С₁ и DС взяты соответственно точки E, F и G так, что АЕ = ЕВ, В₁F = FC₁ и DG = 3GC. Найдите косинус угла между плоскостями EFG и АВС, если высота призмы равна 4,5.

26. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между плоскостями ВА₁D₁ и АА₁Е₁.

27. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1.

1. Постройте прямую пересечения плоскости АА₁DD₁ с плоскостью, проходящей через точки D, B₁ и F₁.

2. Найдите тангенс угла между плоскостями. АВС и D B₁F₁.

Пример 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку А перпендикулярно прямой BD.

Пример 2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точка М - середина ребра SA, точка К - середина ребра SB. Найдите угол между плоскостями СМК и АВС, если SC = 6, ВС = 4.

Решение Кряжовой Анастасии (10 класс, 2013 - 2014 уч. год).

Пример 3. В прямоугольном параллелепипеде АС₁ известны ребра АВ = 4, ВС = 6, СС₁ = 4. Найдите тангенс угла между плоскостями СDD₁ и ВDA₁.

Решение Козловой Анастасии (10 класс, 2013 - 2014 уч. год).

Пример 4. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60⁰. Найдите величину двугранного угла между смежными боковыми гранями.

Решение Золотухиной Екатерины (10 класс, 2013 - 2014 уч. год).

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые являются скрещивающимися.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Определение. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, концы которого лежат на этих прямых, и он перпендикулярен каждой из этих прямых.

Определение. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Правило 1. Чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, достаточно найти расстояние от какой-либо точки одной из этих прямых до параллельной ей плоскости, содержащей другую прямую.

Правило 2. Чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, достаточно найти расстояние между параллельными плоскостями (от какой-либо точки одной плоскости до другой плоскости), содержащими эти скрещивающиеся прямые.

Задачи для самостоятельного решения

1. В кубе АС₁ найдите расстояние между прямыми АА₁ и D₁B₁.

2. В кубе найдите расстояние между прямыми АВ и А₁С.

3. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 6, боковое ребро равно 8. Найдите расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы.

4. В единично кубе найдите расстояние между прямыми АВ₁ и ВС₁ (между непересекающимися диагоналями двух смежных граней).

5. В кубе с ребром а найдите расстояние между прямыми АС и В₁D.

6. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА₁ и ВС₁.

7. Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁, все ребра основания которой равны 2. Сечение, проходящее через боковое ребро АА₁ и середину м ребра В₁С₁ является квадратом. Найдите расстояние между прямыми А₁ В и АМ.

8. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АА₁ и СF₁.

9. В пирамиде DABC известны длины ребер АВ = АС = DB = DC = 13, DA = 6, BC = 24. Найдите расстояние между прямыми DA и ВС.

10. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и ВС.

11. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 3, а высота равна 6. Найдите расстояние между медианой АМ боковой грани ASB и ребром SD.

Пример 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми BD и SA.

Пример 2. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 6, боковое ребро равно 8. Найдите расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы.

Пример 3. Дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁, все ребра основания которой равны 2. Сечение, проходящее через боковое ребро АА₁ и середину м ребра В₁С₁ является квадратом. Найдите расстояние между прямыми АВ и АМ.

Тела вращения

Задачи

1. Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 3. Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.

2. Радиус основания конуса равен 8, а его высота равна 15. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 14. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

3. Отрезок АС - диаметр основания конуса, отрезок АР - образующая этого конуса и АР = АС. Хорда основания ВС составляет с прямой АС угол 60⁰. Через АР проведено сечение конуса плоскостью, параллельной прямой ВС. Найдите расстояние от центра основания конуса О до плоскости сечения, если радиус основания конуса равен 1.

4. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

5. Высота цилиндра равна 3. Равнобедренный треугольник АВС с боковой стороной 10 и углом А, равным 120⁰, расположен так, что его вершина А лежит на окружности нижнего основания цилиндра, а вершины В и С - на окружности верхнего основания цилиндра. Найдите угол между плоскостью АВС и плоскостью основания цилиндра.

Объемы многогранников

Задачи

1. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ боковое ребро равно 8, а ребро основания равно 1. Точка D - середина ребра ВВ₁. Найдите объем пятигранника АВСА₁D.

2. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ боковое ребро равно , а ребро основания равно 4. Точка D - середина ребра ВВ₁. Найдите объем пятигранника А₁В₁С₁СD.

3. Правильные треугольники АВС и ВСМ лежат в перпендикулярных плоскостях, ВС = 8. Точка Р - середина СМ, а точка Т делит отрезок ВМ так, что ВТ : ТМ = 1 : 3. Найдите объем пирамиды МРТА.

4. Правильные треугольники АВС и АВМ лежат в перпендикулярных плоскостях, АВ = 10. Точка Р - середина АМ, а точка Т делит отрезок ВМ так, что ВТ : ТМ = 3 : 1. Найдите объем пирамиды МРТС.

Ответы.

Угол между скрещивающимися прямыми

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. 64; 11. 5; 12. ; 13. .

Площади сечений многогранников

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 330; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. 84; 15. и ; 16. 36; 17. ; 18. 4500; 19. ; 20. ; 21. .

Расстояние от точки до плоскости

1.; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 8; 6. ; 7. и ; 8. ; 9. и 10. ; 11. 1; 12. ; 13. . 14. 1.

Расстояние от точки до прямой

1.; 2. ; 3. ; 4. 12; 5. 10; 6. 15; 7. 2; 8. ; 9. ; 10. ; 11. 2; 12. ; 13. ; 14. ; 15. 1; 16. ; 17. . 18. 14.

Угол между прямой и плоскостью

1.; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 30⁰; 6. ; 7. ; 8. 45⁰; 9. ; 10. ; 11. 60⁰; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. .

Угол между плоскостями

1.; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. 30⁰; 7. ; 8. 1; 9. ; 10. ; 11. ; 12. 45⁰; 13. ; 14. ; 15. ; 16. и ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. . 27. .

Расстояние между скрещивающимися прямыми

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. 4; 10. ; 11. 2.

Тела вращения

1. ; 2. ; 3. ; 4. . 5. ;

Объемы многогранников

1. 3; 2. 6; 3. 24; 4. .