Конспект урока решения ключевых задач по теме Уравнение касательной к графику функции

Учитель математики Юлия Кузьмина

Конспект урока решения ключевых задач по теме «Уравнение касательной к графику функции»

Тип урока: урок решения ключевых задач

Цели урока:

- выявить ключевые задачи по теме: «Уравнение касательной к графику функции»;

- формировать умения распознавать, решать и составлять различные задачи на основе ключевых.

План урока

I. Мотивационно-ориентировочная часть

1. Актуализация опорных знаний.

2. Постановка цели урока.

II. Операционно-познавательная часть

1. Решение ключевых задач (№1-4) на составление уравнения касательной.

2. Обобщение ключевых задач

3. Обучающая самостоятельная работа: распознавание, решение и составление задач на основе ключевых.

III. Рефлексивно-оценочная часть

1. Подведение итогов урока.

2. Выдача домашнего задания.

Ключевые задачи

по теме «Уравнение касательной к графику функции».

№1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х = 2.

№2. Составьте уравнение той касательной к графику функции , которая параллельна прямой у =1 - 3х.

№3. К графику функции проведите касательную так, чтобы она составляла с осью Ох угол 45^о.

№4. Дан график функции .

а) Составьте уравнение касательной к этому графику, проведенной в некоторой точке а.

б) Проведите касательную к графику функции , проходящую через точку А(-2; -3).

Ход урока:

I. Мотивационно-ориентировочная часть

1. Актуализация опорных знаний.

- Как вы понимаете термин «касательная»?

- Что такое угловой коэффициент касательной?

- Как влияет угловой коэффициент прямых на взаимное расположение прямых?

- Расставьте этапы алгоритма составления уравнения касательной в правильном порядке.

2. Постановка цели урока.

II. Операционно-познавательная часть

1.Решение ключевых задач (№1-4) на составление уравнения касательной.

В ходе поиска способа решения каждой задачи составляется план ее решения. Он записывается учащимися в отдельную тетрадь «Основные виды задач, алгоритмы и методы их решения»

№1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х = 2.Аналитическое задание функции;

абсцисса точки касания.

Что требуется сделать?

Составить уравнение касательной

Поиск решения задачи

Как составить уравнение касательной, зная уравнение функции и точку касания?

По алгоритму

Каков план решения задачи?

План решения задачи:

1. Обозначить абсциссу точки касания буквой а.

2. Вычислить f(a).

3. Найти и вычислить .

4. Подставить найденные числа а, f(a), в формулу.

Какой первый шаг?

Для данной задачи

Обозначить абсциссу точки касания буквой а.

а = 2

Второй шаг

Вычислить f(a).

f(a) = 2² + 4*2 = 12.

Третий шаг

Найти и вычислить .

; = 2*2 + 4 = 8.

Четвертый шаг

Подставить найденные числа а, f(a), в формулу

у = 12 + 8 (х - 2); у = 8х - 4

Получили ответ?

Да. Искомое уравнение касательной у = 8х - 4

Решение:

1. а = 2.

2. f(a) = 2² + 4*2 = 12.

3. ; = 2*2 + 4 = 8.

4. у = 12 + 8 (х - 2); у = 8х - 4.

Ответ: у = 8х - 4.

№2. Составьте уравнение той касательной к графику функции , которая параллельна прямой у =1 - 3х.

Аналитическое задание функции;

прямая, параллельная касательной.

Что требуется сделать?

Составить уравнение касательной

Поиск решения

Как можно составить уравнение касательной?

По алгоритму

Что нужно знать, чтобы воспользоваться алгоритмом?

Аналитическое задание функции и точку касания.

Все ли нам известно?

Нет. Неизвестна точка касания

Какими данными задачи воспользуемся, чтобы найти точку касания?

Касательная параллельна прямой у =1 - 3х

Что означает, что прямые параллельны?

Их угловые коэффициенты равны

Сделайте вывод об угловом коэффициенте касательной.

k = - 3

Итак, угловой коэффициент касательной равен - 3. С другой стороны чему равен угловой коэффициент касательной?

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания.

Что мы обозначим за а?

Абсциссу точки касания

С одной стороны, угловой коэффициент касательной равен - 3, с другой стороны он равен значению производной функции в точке касания.

Какое уравнение можно составить?

f'(a) = - 3

f'(a) = - 3

= -3

a = ±1

Что означает, что мы получили два значения числа а?

Это означает, что условию задачи удовлетворяют две касательные с точками касания 1 и - 1

Можем ли мы составить уравнение касательной, проведенной в точке 1?

Да. По алгоритму.

Можем ли мы составить уравнение касательной, проведенной в точке -1?

Да. По алгоритму.

Какой план решения задачи?

План решения задачи:

1) Найти точку касания из уравнения k_кас = f'(a).

2) Составить уравнения касательных по алгоритму.

Затем учащиеся самостоятельно составляют уравнения обеих касательных

Решение:

1) Найдем точку касания:

k_кас = - 3, т. к. касательная параллельна прямой у =1 - 3х

k_кас = f'(a)

;

; a = ±1.

2) Составим уравнения касательных:

а) 1. а = 1.

2. f(a) = = 3.

3. = - 3

4. у = 3 + (- 3)(х - 1); у = -3х + 6

б) 1. а = - 1.

2. f(a) = = - 3.

3. = - 3

4. у = - 3 + (- 3)(х + 1); у = -3х - 6

Ответ: у = -3х + 6; у = -3х - 6

№3. К графику функции проведите касательную так, чтобы она составляла с осью Ох угол 45^о.

Аналитическое задание функции;

угол наклона касательной.

Что требуется сделать?

Составить уравнение касательной

Поиск способа решения задачи

Как можно составить уравнение касательной?

По алгоритму

Что нужно знать, чтобы воспользоваться алгоритмом?

Аналитическое задание функции и точку касания.

Все ли нам известно?

Нет. Неизвестна точка касания

Какими данными задачи воспользуемся, чтобы найти точку касания?

Касательная составляет с осью Ох угол 45^о.

Что вы знаете об угле наклона касательной?

Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке касания

tgα = f'(a), а - точка касания

Что можем найти из этого уравнения?

Точку касания

Затем сможем составить уравнение касательной по алгоритму?

Да

Составьте план решения задачи.

План решения задачи:

1) Найти точку касания из уравнения tgα = f'(a), а - точка касания

2) Составить уравнение касательной по алгоритму.

Решение:

1) Найдем точку касания:

tgα = f'(a); tg45 = 1;

;

; a = 9;

2) Составим уравнение касательной:

1. а = 9.

2. f(a) = .

3. = .

4. у = 18 +1(х - 9); у = х + 9.

Ответ: у = х + 9.

1) Найти точку касания.

2) Составить уравнение касательной по алгоритму.

Чем отличаются решения этих задач?

Точка касания находится из разных уравнений.

№4. Дан график функции .

а) Составьте уравнение касательной к этому графику, проведенной в некоторой точке а.

б) Проведите касательную к графику функции , проходящую через точку А(-2; -3).

№4 (а)1) Аналитическое задание функции;

2) точка касания а.

Что требуется сделать?

Составить уравнение касательной

Поиск способа решения задачи

Как можно составить уравнение касательной?

По алгоритму

Что нужно знать, чтобы воспользоваться алгоритмом?

Аналитическое задание функции и точку касания.

На какую ключевую задачу похожа эта задача?

На задачу №1

В чем их отличие?

В задаче №1 известно число - абсцисса точки касания, а в задаче №4а) точка касания обозначена буквой а

Чем будет отличаться решение этой задачи от задачи №1?

Будем решать в общем виде, т.е. не вычислять значения, а выражать их через а.

План решения задачи

План:

1. Абсцисса точки касания: а.

2. Выразить через а f(a).

3. Найти и выразить через а .

4. Подставить найденные выражения а, f(a), в формулу.

Решение:

а) 1. а - точка касания.

2. f(a) = 3 - 2а².

3. = - 4х; = - 4а.

4. у = 3 - 2а² + (- 4а)(х - а); у = - 4ах + 2а² + 3.

Ответ: у = -4ах + 2а² + 3 - уравнение касательной, проведенной в точке х = а.

№4 (б)Аналитическое задание функции;

точка, через которую проходит касательная.

Что требуется сделать?

Составить уравнение касательной

Поиск способа решения задачи

Как можно составить уравнение касательной?

По алгоритму

Что нужно знать, чтобы воспользоваться алгоритмом?

Аналитическое задание функции и точку касания.

Является ли точка А точкой касания?

Нет. А(- 2; - 3) не принадлежит графику функции, значит это не точка касания.

Можем ли мы составить уравнение касательной по алгоритму?

Нет. Неизвестна точка касания

Как следует поступить в этом случае?

Сначала найти точку касания, а затем по алгоритму составить уравнение касательной

Какими данными задачи воспользуемся, чтобы найти точку касания?

Касательная проходит через точку А(- 2; - 3)

Достаточно ли этой информации, чтобы найти точку касания?

Нет.

Что означает, что прямая проходит через точку А(- 2; - 3)?

Это означает, что координаты точки А удовлетворяют уравнению прямой.

Знаем ли мы общий вид этого уравнения?

Да. у = -4ах + 2а² + 3

Как, зная общий вид уравнения и точку, через которую проходит прямая, найти точку касания а?

Подставить в общий вид уравнения координаты точки А, решить уравнение относительно переменной а.

Затем сможем составить уравнение касательной?

Да, по алгоритму

Обязательно ли использовать алгоритм? Что мы уже знаем о касательной?

Точку касания, точку А, через которую проходит касательная, общий вид уравнения касательной

Как можно составить уравнение без помощи алгоритма?

Подставить значение а в общий вид уравнения

Составьте план решения задачи.

План решения задачи:

1) Найти точку касания из уравнения у = -4ах + 2а² + 3, подставив вместо х и у координаты точки А

2) Составить уравнение касательной, подставив значение а в общий вид уравнения.

Решение:

б) 1) у = -4ах + 2а² + 3 - общий вид уравнения касательной (из №4(а))

Так как А(- 2; - 3) принадлежит графику касательной, то ее координаты удовлетворяют уравнению.

- 3 = -4а(- 2) + 2а² + 3

2а² + 8а + 6 = 0

а₁ = -3; а₂ = - 1.

2) Составим уравнения касательных:

у = - 4(-3)х + 2 (- 3)² + 3; у = 12х + 21;

у = - 4(-1)х + 2 (- 1)² + 3; у = 4х + 5.

Ответ: у = 12х + 21; у = 4х + 5.

Каким станет план решения ключевой задачи №4(б)?

План решения задачи:

1. Составить общий вид уравнения касательной по алгоритму.

2. Найти точку касания.

3. Составить уравнение искомой касательной.

2. Итак, вспомним все ключевые задачи (они записаны в отдельную тетрадь)План:

1.Обозначить абсциссу точки касания буквой а.

2.Вычислить f(a).

3.Найти и вычислить .

4.Подставить найденные числа а, f(a), в формулу.

План:

1)Найти точку касания из уравнения k_кас = f'(a).

2) Составить уравнения касательных по алгоритму.

План:

1) Найти точку касания из уравнения tgα = f'(a), а - точка касания

2) Составить уравнение касательной по алгоритму.

План:

1. Составить общий вид уравнения касательной по алгоритму.

2. Найти точку касания.

3. Составить уравнение искомой касательной.

- Что общего в этих ключевых задачах? (это задачи на составление углового коэффициента касательной)

- Чем они отличаются? (известны разные данные)

- Задачи с какими известными данными мы будем решать по алгоритму задачи №1? (функция и точка касания)

- задачи №2 (функция и прямая, параллельная касательной)

- задачи №3 (функция и угол наклона касательной)

- задачи №4 (функция и точка касательной, отличная от точки касания)

3.Обучающая самостоятельная работа:

№1. Выберите, какие из предложенных задач можно решить с помощью:

а) ключевой задачи №1;

б) ключевой задачи №2;

в) ключевой задачи №3;

г) ключевой задачи №4.

№2. Решите по одной из каждой группы

№3. Составьте по одной своей задаче для каждой ключевой.

Слайд 1.

а) Составьте уравнение той касательной к графику функции , которая параллельна прямой y = 5 - 2x.

б) Составьте уравнение касательной к графику функции проходящей через точку В (2; -3).

в) Проведите касательную к графику функции у = sin x в точке с абсциссой .

г) Какая прямая касается графика функции в точке 0?

д) Проведите касательную к графику функции , параллельную прямой у = 6

е) Какая из касательных к графику функции наклонена к оси Ох под углом 60^о?

ж) Прямая проходит через точку А (0, -3) и касается параболы у = х² + 1. Составьте уравнение этой прямой.

з) Составьте уравнение касательной к графику функции , образующей с осью Ох угол 135^о.

III. Рефлексивно-оценочная часть

1. Подведение итогов урока

- Какой вид задач сегодня решали?

- Что нужно знать, чтобы составить уравнение касательной?

- По какому плану составляем уравнение касательной, если известна функция и точка касания (функция и угол наклона касательной; функция и прямая, параллельная касательной; функция и точка касательной, отличная от точки касания)?

2. Домашнее задание:

а) распределить задачи №823 - 837, 840 - 846 учебника по ключевым;

б) решить из каждой группы по две задачи;

в) составить по одной задаче на каждую группу.

3. Выставление отметок

Методические замечания по работе с системой задач

по теме: «Уравнение касательной»

На тему «Уравнение касательной к графику функции» отводится всего два часа. На следующем уроке (отработки решения ключевых задач) предлагаются задачи, решение которых включает в себя несколько ключевых, требуют привлечения изученного ранее материала, а также задачи, обратные ключевым. Частью домашнего задания к этому уроку будет поиск разнообразных задач по данной теме в дополнительных источниках (журналы, материалы для подготовки к ЕГЭ, другие учебники). Все найденные задачи также заносятся в папку «Применение производной для составления касательной». Сильные ученики решают их в процессе изучения темы. Они могут консультироваться друг с другом, а также индивидуально с учителем. В конце темы на уроке обобщения наиболее интересные задачи можно рассмотреть в классе. Также задачи могут использоваться при проведении недели математики, олимпиад.

5