Конспект урока 'Решение показательных уравнений' 11 класс.

Открытый урок

по алгебре и началам анализа

Тема: « Решение показательных

уравнений»

Тип: повторительно- обобщающий в форме рейтинга.

Класс: 11 «А»

Школа: МОУ «Новопокровская сош»

Учитель: Ерохина Н.Е.

Цели: обобщение изученного материала при решении показательных уравнений.; проверить уровень самоконтроля и самооценки учащихся, продолжить формирование навыков самостоятельной работы; воспитание у учащихся самоанализа при выборе индивидуальных заданий; воспитать самостоятельность и ответственность, продолжить развитие у учащихся интереса к изучению предмета.

Оборудование: индивидуальные карточки - задания; карточки «Рейтинговая таблица учащегося»; карточки с буквами для устного счета, переносная доска с готовыми ответами.

План урока

1. Устный счет в форме тестирования.

2. Блиц - опрос по теме «Свойства показательной функции» + индивидуальная работа по карточкам.

3. Сообщение учителя о применении показательной функции.

4. решение задачи с использованием частично-поискового метода.

5. дифференцированная самостоятельная работа в форме рейтингового зачета.

6. Задание на дом.

7. Подведение итогов урока

Ход урока.

1. Устный счет (фронтально)

Тесты написаны на доске . На каждый вопрос предлагается три варианта ответа , учащиеся выбирают номер ответа и показывают соответствующую карточку. Если ученик не знает ответа , он карточку не поднимает . Каждый правильный ответ оценивается одним баллом , который учащиеся вносят в индивидуальные карточки рейтинга.

Рейтинговая таблица учащегося.

Фамилия, имя учащегося.

Устный счет.

Фронтальный опрос.

Работа по карточкам

Рейтинговый зачет

Итого баллов

оценка

«5»- 20 баллов и более;

«4» от 15 до 20 баллов;

«3» от 10 до 15 баллов;

«2» -менее 10 баллов.

Найдите значения х :

1. 3^х-1 = 27.

А)3 б) 2 в) 4

2. 4^х = 2.

А)-2 б)1/2 в)2

3. (1/125)^х = 5.

А)-1/2 б)-1/3 в)3

4. 2^х *3^х = 36

А)2 б)1 в) √2.

5. 5^2х-1 = 1/5

А)1 б) -1 в)0

6. 3 : 3^х+2 = 1

А)-3 б)-1 в) -2

7. (2/3)^х * (3/2)^х = 1.

А)0 б)1 в)R

8. 5^IxI = 25

А) 1 б)-2 в) нет решения .

9. Установите область определения функции :

F(x) = √(1812^x - 1945^x)

А)R б) (0; ∞) в) (-∞; 0).

2. Блиц - опрос по теме «Свойства показательной функции».

Четверо желающих вызываются к доске , им предлагаются карточки с формулами или определениями , которые нужно дополнить . За каждый правильный ответ начисляется один балл.

Когда учащиеся, работавшие у доски , выполняют задание , вызываются четверо желающих для проверки ответов . ( знаками «+» или «-« ) , за каждый верно оцененный ответ начисляется по 0,5 балла.

Карточка №1.

Вместо точек напишите свой ответ.

Каждый верный ответ оценивается в 1 балл.

Функция

У=а^х.

Область определения

Функция

У=а^х возрас-

тает при

График функции у=а^х при

0‹а‹1 имеет вид

а^х *а^у =

(а/в)^х =

(а^х)^у =

…

…

…

…

…

Если Вы согласны с написанным ответом, поставьте знак (+) , если нет - знак (-).

Каждый верно оцененный ответ оценивается в 0,5 балла.

Карточка №2.

Вместо точек напишите свой ответ.

Каждый верный ответ оценивается в 1 балл.

Функция

У=а^х.

Область значений

Функция у=а^х убывает при

График функции у=а^х при

а›1 имеет вид

а^х/а^у =

(ав)^х =

^х√а^у =

…

…

…

…

…

Если Вы согласны с написанным ответом, поставьте знак (+) , если нет - знак (-).

Каждый верно оцененный ответ оценивается в 0,5 балла.

Карточка №3.

Вместо точек напишите свой ответ.

Каждый верный ответ оценивается в 1 балл.

Функция

У=а^х возрас-

тает при

Функция

У=а^х.

Область значений

График функции у=а^х при

а›1 имеет вид

а^х/у =

а^х /в^х =

а^х+у=

…

…

…

…

…

Если Вы согласны с написанным ответом, поставьте знак (+) , если нет - знак (-).

Каждый верно оцененный ответ оценивается в 0,5 балла.

Карточка №4.

Вместо точек напишите свой ответ.

Каждый верный ответ оценивается в 1 балл.

Функция

У=а^х.

Область определения

Функция у=а^х убывает при

График функции у=а^х при

0‹а‹1 имеет вид

а^ху =

а^х *в^х =

а^х-у =

…

…

…

…

…

Если Вы согласны с написанным ответом, поставьте знак (+) , если нет - знак (-).

Каждый верно оцененный ответ оценивается в 0,5 балла.

Одновременно вопросы к классу ( правильный ответ - 1 балл).

Спрашивают того ученика , который первый поднял руку.

Верно ли , что функция у=а^х :

1. имеет экстремумы ? ( нет, она монотонная )

2. принимает наибольшее значение в точке х₀ ? (нет)

3. является четной ? ( нет)

4. принимает в некоторой точке значение . равное нулю ? (нет)

5. функция у=а^х является четной или нечетной ? (четная)

6. имеет ли функция у= (1/2)^sinx наибольшее и наименьшее значения ? (да). Найдите их ( 2 и ½ ) .

7. Найдите область значений функции у= 4^IxI . ( [1; ∞)).

2. Показательная функция находит важнейшие применения при изучении природных и общественных явлений . Известно , например, что при распаде радиоактивного вещества его масса m₀ уменьшается за равные промежутки времени в одинаковое число раз .

Пусть t₀ - период полураспада. ( время, необходимое для того, чтобы от первоначальной массы осталась ее половина.) . Тогда , через t лет , оставшаяся масса будет равна m= m₀ * (1|2 )t/t₀ , то есть, радиоактивный распад совершается по закону, выраженному показательной функцией .

Если взять, к примеру, Уран - 236 , то для него период полураспада - 4,5 млрд лет. Поскольку, возраст Земли 5-7 млрд лет, то можно утверждать, что в наши дни не распалась и половина всех запасов этого вещества.

К показательной функции прибегают так же при описании размножения живых организмов , при определении концентраций реагентов в различных химических реакциях . в технике и во многих других областях.

Существует бесконечное множество различных показательных уравнений . Мы их условно разделили на несколько типов и определили способы их решений . Но не все уравнения можно решить стандартными методами .

3. Решение задачи с использованием частично- поискового метода .

Уравнения подобного типа очень часто встречаются на экзаменах при поступлении в ВУЗы . а так же и на ЕГЭ в части В и С.

Решить уравнение : 2^x + 2^-x = 2 cos 2x.

Это комбинированное уравнение . Мы будем решать его , используя элементарные алгебраические формулы.

( вначале выслушиваются предложения учащихся , за верные предложения начисляются баллы).

Умножим обе части на 2^х. так как ^2х не равно нулю.

2^х * 2^х + 2^-х * 2^х = 2*2^х * cos 2х;

2^2х +1 = 2*2^х * cos 2x;

2^2х - 2*2^х * cos 2х +1 = 0;

Это квадратное уравнение относительно 2^х. Решим его. Найдем дискриминант.

Д=сos² 2х -1.

2^х_1,2 =cos 2x + √cos²2x - 1 ;

2^х_1,2 = cos 2x + √-sin²2x.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным , т.е. ≥0.

-sin²2x ≥0 ,

Sin²2x ≤0,

Sin²2x = 0,

Sin2x=0,

2x = πn/ n принадлежит Z

X = πn/2 , n принадлежит Z,

2^x = cos 2x,

Cos 2x = cos 2(πn/2) = cos πn = +1.

То есть 2^х = +1.

2^х = -1 - решений нет .

2^х = 1 ,

2^х = 2⁰ ,

Х = 0.

Ответ : 0.

4. Рейтинговый зачет .

( зачет проводится по вариантам ).

Самостоятельная работа в форме рейтингового зачета содержит по 7 заданий разного уровня сложности . Рядом с каждым заданием указано количество баллов , в которые оно оценивается . Так же указано , какое количество баллов необходимо для получения определенной оценки .

Рейтинговый зачет.

Вариант 1.

Решите уравнения:

1. (1балл) 5^х = 625.

2. (1балл) (4/7)^х *(35/36)^х = 25/81.

3. (2 балла) 3^х+4*3^х+1 = 13.

4. (2 балла) 9^х-6*3^х -27 =0.

5. (3 балла) 0,2^х-16х-37,5 = 5√5.

6. (3 балла) 3*4^х + 2*9^х =5*6^х.

7. (3 балла) ⁵√8^х-3х-5 =128*(1/16).

Зачет оценивается по баллам :

9 баллов и более - оценка «5»

6-8 баллов - оценка «4»

4-5 баллов - оценка «3».

Рейтинговый зачет .

Вариант 2.

Решите уравнения.

1. (1 балл) 2^х = 64.

2. (1 балл) (5/7)^х *(14/15)^х = 8/27.

3. (2 балла) 2^х+2 +2^х =5.

4. (2 балла) 4^х-14*2^х - 32 =0.

5. (3 балла) 2^х-3 *5^х-3 =0,01*(10^х-1)³.

6. (3 балла) 5^3х+1 +34*5^2х - 7*5^х =0.

7. ( 3 балла) 0,5^х-20х+61,5 = 8/√2.

Зачет оценивается по баллам :

9 баллов и более - оценка «5»

6-8 баллов - оценка «4»

4-5 баллов - оценка «3».

На переносной доске написаны ответы к заданиям зачета . Если ответы учащихся совпадают с правильными , то ученик начисляет себе баллы.

Учащиеся получают так же и отдельную оценку за зачет .

5. В конце урока учащиеся сдают тетради и индивидуальные карточки рейтинга учителю для анализа ошибок .

6. Домашнее задание : п. 36 , № 167 ( со страницы 286).