- Учителю
- Занятие элективного курса по математике для учащихся 11 класса или урок в рамках изучения темы в 11 классе Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Занятие элективного курса по математике для учащихся 11 класса или урок в рамках изучения темы в 11 классе Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Одним из основных целей математического образования является формирование у учащихся умения решать задачи, развитие логики и интуиции. Учебное время, отводимое на изучение математики, можно условно разделить на две части: затрачиваемое на изучение теории и отводимое на применение теории, т.е. на решение задач. И времени на решение задач не хватает. Поэтому учитель вынужден ограничиваться решением одно - двухшаговых задач и на базе решения таких задач не может быть и речи о развитии мышления.
К этому добавляется дефицит времени, при котором не до поиска решения нестандартных задач.
Решению этой проблемы помогает блочно-модульный метод изучения учебного материала.
Данный урок можно проводить на занятии элективного курса по математике для учащихся 11 класса или в рамках изучения темы в рамках темы в 11 классе «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств»
по теме «Метод мажорант»
Продолжительность 2 часа
Урок практикум
ЦЕЛЬ: знакомство с одним из нестандартных методов решения уравнений и неравенств - методом, основанным на свойстве ограниченности функций.
ОБРУДОВАНИЕ: интерактивная доска, теория на раздаточных материалах.
Б6
М1
М2
М3
М4
М5
М6
М6 - нестандартные методы решения уравнений и неравенств
1. Информационный цикл
2. Практический цикл (Самопогружение)
3. Практический цикл (отработка навыков и проверка знаний
I. Информационный цикл.
После повторения и проверки опорных знаний перехожу к изложению новой темы в виде лекции. Так как происходит укрупнение дидактических единиц, то желательно применение опорных конспектов, таблиц, наглядных средств.
II. Практический цикл (самопогружение).
Ставится цель, выделяются опорные задачи, планируется деятельность учителя и ученика. Учащийся работает с текстом, отвечая на контрольные вопросы. На данном уроке идет отработка навыков и умений.
III цикл желательно проведение самостоятельной работы обучающего характера.
Урок -практикум-самопогружение
Теория. (раздаточный материал
Мажорантой данной функции f(x) на множестве D называется такое число M, что либо f(x) M для всех , либо f(x)M для всех .
Для удобства последующего изложения введём вспомогательные понятия ограниченности функции сверху и снизу, которые будут часто использоваться в дальнейшем.
Пусть функция f(x) определена на множестве D. Будем говорить, что она ограничена на этом множестве числом M сверху, если для любого числа х из множества D выполняется неравенство f(x) M.
Аналогично будем говорить, что функция f(x) ограничена на множестве D числом т снизу, если для любого числа х из множества D выполняется неравенство f(x) т.
Мы знаем много мажорант для известных функций. Например, любое число, большее или равное 2 является мажорантой для функций на любом множестве.
Основная идея метода мажорант может быть сформулирована в виде следующих теорем:
Теорема №1.
Пусть f(x) и g(x) - некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена на этом множестве числом А сверху, а g(x) ограничена на этом множестве тем же числом А, но снизу.
Тогда уравнение f(x) = g(x) равносильно системе:
Теорема №2.
Пусть f(x) и g(x) - некоторые функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) и g(x) ограничены на этом множестве снизу (сверху) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x) + g(x) = А+В равносильно системе уравнений:
Теорема №3.
Пусть f(x) и g(x) - некоторые неотрицательные функции, определённые на множестве D. Пусть f(x) ограничена сверху ( или снизу) числами А и В соответственно. Тогда уравнение f(x)= А равносильно системе уравнений (при условии, что Аи В):
В этом утверждении особенно важно условие неотрицательности функций f(x) и g(x), а также условие положительности А и В.
Как искать такое число M? Это можно сделать с помощью производной(найти наибольшее и наименьшее значения функций f(x) и g(x)). Но чаще всего производная не понадобится, если хорошо знать множество значений элементарных функций и владеть следующими неравенствами:
-
, при и , при , причем равенство достигается только при
-
, , причем равенство достигается при
Рассмотрим несколько примеров нахождения мажорант некоторых функций.
1. Найти множество значений функции:
1) D(y):
Т.к. функция возрастающая и область её значений , то область значений функции также . Значит функция не ограничена сверху и не ограничена снизу.
Ответ:.
2)
Т.к. , то наименьшее значение функция примет при , а наибольшее при , т.е. . Значит функция имеет верхнюю и нижнюю границу.
Ответ: .
3) 3
Т.к. и функция возрастающая, то , т.е. . Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.
Ответ: .
4)
Т.к. при всех действительных значениях , то . Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.
Ответ: .
5)
Множество значений функции : , где - ордината вершины параболы. Найдем : ; , тогда . Таким образом . Учитывая, что функция является возрастающей, получим .
Таким образом функция имеет только нижнюю границу.
Ответ: .
2. Найдите наибольшее значение функции:
1)
Функция убывающая. Значит, своё наибольшее значение она принимает при наименьшем значении t, если таковое имеется.
Функция , , наименьшее значение этой функции равно -1. Тогда наибольшее значение функции равно .
Ответ: .
3.Упростить выражение для и найти ее наибольшее значение.
Область определения данной функции состоит из всех действительных значений . Т.к. и квадратный трехчлен принимает только положительные значения, т.к. и , то дробь при всех Значит эта дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя при .
Ясно, что при значение , а это наибольшее значение . Таким образом, наибольшее значение данной функции равно .
Метод мажорант позволяет решать задачи, которые традиционными преобразованиями и методами не решаются.
№ УЭ
Учебный элемент с указанием заданий
Учителю
УЭ-2
Цели:
а) составить алгоритм решения уравнения, используя предложенный метод;
б) изучить теоретический материал, на котором основан метод;
в) начните его первичное усвоение.
1. Метод использования свойств функции
Этот метод основан на свойстве ограниченности функции
1. Реши уравнение: 2= cosx.
Проверьте правильность решения, используя лист ответов, в случае необходимости откорректируй алгоритм решения.
Работа в парах, группах и индивидуально. Задание выполняете в тетради, а ход решения и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя
УЭ-3
Цели:
а) изучить свойства, на которых основан данный метод;
б) составить алгоритм его решения.
1. Решить уравнение:
2. Подготовь ответы на вопросы:
а) дать определение, что какие уравнения называются равносильными;
б) почему появляется лишний корень?
в) Проверить правильность решения по листу ответов,
г) Оцените работу: 2 балла - активно участвовал и выдвигал много предложений; 1 балл - собственных предложений не выдвигал, но участвовал в работе; 0 баллов - не участвовал.
Работайте с конспектом, с тетрадями
УЭ-4
Цели:
а) изучить новый материал, на котором основан метод;
б) начать его первичное усвоение;
в) составить алгоритм решения уравнения данным методом.
1. Решить уравнение: sinxcos4x=1.
а) Разберите теорему № 1 в конспекте.
б)Устно составьте алгоритм решения этого уравнения.
б) Обсудите составленный алгоритм, вспомните прием нахождения множества значений функции тригонометрической.
в) Подготовьтесь к защите составленного алгоритма у доски.
Задание выполняете в тетради, а ход решения и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя
Работа в парах
УЭ-5
Цели:
а) составить алгоритм решения системы уравнений и начать его усвоение;
1 Решить систему уравнений:
2. Подготовиться к выступлению о методах решения систем уравнений с двумя переменными.
Проверить правильность решения по листу ответов.
Работайте самостоятельно.
Работайте с конспектами по подготовке к ЕГЭ
УЭ-6
Цели:
а) повторить новый материал, на котором основаны методы;
б) начать их усвоение;
в) составить алгоритмы решения уравнений с помощью предложенных методов.
1. Найти нули функции:
Задание выполняете в тетради, а ход решения и ответы проверяйте по «Листу ответов» у учителя
УЭ-7
Цели:
а) закрепить навыки решения иррациональных уравнений; б) развивать умения решать иррациональные уравнения разного вида;
в) составить формулы, применяемые при решении иррациональных уравнений.
Решить уравнение любое на выбор:
.
Выставьте дополнительные баллы:
5 б. - все понял и могу объяснить другому;
4 б. - сам понял, но объяснить не берусь;
3 б. - для полного понимания надо повторить;
2 б. - я ничего не понял.
Подсчитайте общее количество баллов. Кто набрал от 18 баллов и выше, оценка 5, от 14 до 17 оценка 4, от 9 до 13 оценка 3, меньше 9 баллов оценка Проверьте правильность выполнения по образцу
Смотри решение примеров в учебнике и по образцу.
УЭ-9
Обобщение. Задание составьте схему или таблицу методов, приемов решения уравнений методом мажорант =метод (оценки) = решение комбинированных уравнений, основанных на использовании свойств ограниченности функции
Дополнительно
УЭ-10
Цель: выходной контроль
Выполнив задание, сдай тетрадь учителю на проверку.
Рефлексия: вернись к цели урока, проанализируй свою деятельность и работу в группе.
Оцени себя, получи оценку товарищей и учителя за урок. Подсчитайте общее количество баллов. Кто набрал от 18 баллов и выше, оценка 5, от 14 до 17 оценка 4, от 9 до 13 оценка 3, меньше 9 баллов оценка 2.
Лист ответов:
Задача 1.
Реши уравнение: 2= cosx Очевидно, что нормальными средствами решить это уравнение нельзя, поэтому используем ограниченность правой и левой частей уравнения.
Так как sinx, то левая часть уравнения ограничена снизу числом 1. правая часть также ограничена числом 1, но уже сверху, поэтому исходное уравнение равносильно системе:
Задача 2.
Решить уравнение:
(как сумма положительных взаимообратных чисел).
Тогда
Значит данное уравнение равносильно системе:
Решим второе уравнение системы:
Проверим, будет ли решением первого уравнения системы:
верно. Значит, является решением и всей системы.
Задача 3.
Решить уравнение: sinxcos4x=1.
Переведем произведение в сумму:
и значит, их сумма равна 2 только в том случае, когда и тот и другой равны 1. Поэтому это уравнение равносильно системе:
Методом подбора находим значения и , удовлетворяющие уравнению :
значит,
Значит, решением системы уравнений является
Задача 4.
Решить систему уравнений:
Данная система имеет три неизвестных и всего два уравнения. Однако сразу же ясно, что в первом уравнении левая часть 2 взаимообратных положительных величин, а правая часть2. поэтому первое уравнение равносильно системе двух уравнений:
Тем самым необычность данной системы полностью «снята» - мы имеем обыкновенную систему трёх уравнений с тремя неизвестными, и притом чрезвычайно простую. Из двух новых уравнений и второго данного мы получаем: Поэтому решения данной системы даются формулами: где любые целые числа.
Задача 5. Найти нули функции:
Для нахождения нулей функции решим уравнение:
;
Т.к. , а , то уравнение равносильно системе двух уравнений:
- корни уравнения (1). Проверкой устанавливаем, что корнем уравнения (2) является только .
Таким образом - единственный нуль функции.
Ответ:.
Задача 6.
Решить уравнение:
Преобразуем уравнение:
Разделим обе части уравнения на 5:
Т.к. , как сумма двух взаимно обратных положительных чисел, а при всех действительных значениях , то уравнение равносильно системе двух уравнений:
Проверим, верны ли корни уравнения (1) для уравнения (2).Таким образом: - единственный нуль функции.
Ответ: .
Задача 8
Решить уравнение:
Решим квадратное уравнение относительно x:
. Т.к. , то уравнение будет иметь корни только при условии:
;
Получим:
, тогда:
или .
Задача 9.
Решить уравнение:
Т.к. , а , то данное уравнение равносильно системе уравнений:
;
.
Ответ: .
Задача10
Решить уравнение:
ОДЗ: x>0, y>0.
Тогда , как суммы двух положительных взаимно обратных чисел. Значит и , а их сумма равна 4, когда каждое из них одновременно равно 2, т.е. уравнение равносильно системе двух уравнений:
Из этого следует, что
Ответ: .
Задача11.
Решить уравнение:
Так как сумма 2-х взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, значит левая часть больше либо равна 4:
Оценим правую часть уравнения. Для этого рассмотрим функцию , график функции парабола, ветви вниз, вершина:x0=2 y0=16.
Значит y≤16, следовательно:
Следовательно данное уравнение равносильно системе:
х=2.
Ответ: х=2
Домашнее задание:
Повторить теорию, (дорешать примеры, если не успеем), подыскать в литературе по 2 примера по данной теме.
Задача 15.
Для чисел верны равенства Найдите , если известно, что , а
1.Т.к. и то - корень уравнения
Т.к. и то
2. Т.к. , то - корень уравнения
Т.к. , значит
3.Число является корнем уравнения Так как то
Значит, , и, продолжая аналогично, получаем, что
Из этого следует, что
Ответ: x=1
Задача 16.
-
Для чисел верны равенства Найдите если известно, что , а
-
Оценим значение функции сверху. Если , то очевидно, что и тогда . Если , то , и , (т.к. функция возрастающая). Значит .
-
Найдем производную данной функции при .
.Очевидно, что , при всех . Следовательно на промежутке функция возрастает и непрерывна.
-
Т.к. по условию и , то является корнем уравнения . Возможны два случая:
a) .
Т.к. в этом случае функция возрастает, то уравнение имеет не более одного корня. А т.к. и , то искомый корень находится на промежутке , т.е. больше 4. Таким образом . По условию . Учитывая, что при всех действительных значениях и , делаем вывод, что уравнение (1) корней не имеет.
б) Если , тогда , т.е. . Но тогда , поэтому , . Рассуждая аналогично найдем и и так далее получим . Значит
Ответ: 9.
Задания из УЭ 10 взяты из учебника Алгебра и начала анализа 11 класс под ред С.М. Никольского стр. 306