Занятие математического кружка «Задачи на разбавление»

Занятие математического кружка «Задачи на разбавление»

1. Примеры решения задач

Задача 1.

Из бака, наполненного спиртом, отлили часть спирта и долили до прежнего объема водой, затем из бака отлили столько же литров смеси, сколько в первый раз отлили спирта, после чего в баке осталось 49 л чистого спирта. Сколько литров спирта отлили из бака в первый и во второй раз, если в баке содержалось 64 л ?

Решение:

Пусть х литров спирта отлили в первый раз, тогда (64 - х) литров спирта осталось в баке.

После того, как в бак долили воды, в нем стало 64 литра смеси.

литров спирта содержится в 1 л смеси;

( )∙х литров спирта отлили во второй раз.

Следовательно, всего отлили х + ( )∙х литров спирта, или 64 - 49 = 15 литров спирта.

Составим и решим уравнение:

х + ( )∙х = 15,

64х + 64х - = 64 ∙ 15

Решив квадратное уравнение, получим корни 8 и 120.

Т.к. 120>64, то 120 не удовлетворяет условию задачи, следовательно, 8 л спирта отлили в первый раз.

∙ 8 = 7 л спирта отлили во второй раз.

Ответ: 8 л, 7 л.

Задача 2.

В сосуде было 12 л соляной кислоты. Часть кислоты отлили и долили сосуд водой, затем снова отлили столько же и опять долили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25 %-ный раствор соляной кислоты?

Решение:

Пусть х литров 100 %-ной соляной кислоты отлили в первый раз, тогда (12 - х) литров кислоты осталось в сосуде.

После того, как в сосуд долили воды, в нем стало 12 литров смеси.

литров кислоты содержится в 1 л смеси;

( )∙х литров кислоты отлили во второй раз.

Следовательно, всего отлили х + ( )∙х литров кислоты.

Значит, осталось 12 - х - ( )∙х или 25 % от 12 л т.е. 0,25 ∙ 12 = 3 литра кислоты.

Составим и решим уравнение:

12 - х - ( )∙х = 3,

144 - 12х - 12х + = 36,

- 24х + 108 = 0,

Решив квадратное уравнение, получим корни 6 и 18.

Т.к. 18>12, то 18 не удовлетворяет условию задачи (из сосуда, вмещающего 12 л жидкости невозможно вылить 18 л жидкости).

Значит, 6 л жидкости отливали каждый раз.

Ответ: 6 л.

2. Решите самостоятельно

Условия задач:

1. Из сосуда, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили водой. После этого из сосуда опять вылили столько же литров смеси, при этом в сосуде осталось 24 литра чистой кислоты. Емкость сосуда 54 литра. Сколько кислоты вылили в первый и во второй раз?

2. В сосуде было 18 литров кислоты. Часть кислоты отлили и долили сосуд водой, затем снова отлили столько же и опять долили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25 %-ный раствор кислоты?

3. Ответы и решение задач:

1. Из сосуда, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили водой. После этого из сосуда опять вылили столько же литров смеси, при этом в сосуде осталось 24 литра чистой кислоты. Емкость сосуда 54 литра. Сколько кислоты вылили в первый и во второй раз?

Решение:

Пусть х литров кислоты отлили в первый раз, тогда (54 - х) литров кислоты осталось в сосуде.

После того, как в сосуд долили воды, в нем стало 18 литров смеси.

литров кислоты содержится в 1 л смеси;

( )∙х литров кислоты отлили во второй раз.

Следовательно, всего отлили х + ( )∙х литров кислоты или 54 - 24 = 30 литров кислоты.

Составим и решим уравнение:

х + ( )∙х = 30,

54х + 54х - = 30 ∙ 54,

- 108х + 1620 = 0,

Решив квадратное уравнение, получим корни 18 и 90.

Т.к. 90>54, то 27 не удовлетворяет условию задачи (из сосуда, вмещающего 54 л жидкости невозможно вылить 90 л жидкости).

Значит, 18 л кислоты отлили в первый раз.

( )∙18 = 12 литров кислоты отлили во второй раз.

Ответ: 18л, 12л.

2. В сосуде было 18 литров кислоты. Часть кислоты отлили и долили сосуд водой, затем снова отлили столько же и опять долили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25 %-ный раствор кислоты?

Решение:

Пусть х литров кислоты отлили в первый раз, тогда (18 - х) литров кислоты осталось в сосуде.

После того, как в сосуд долили воды, в нем стало 18 литров смеси.

литров кислоты содержится в 1 л смеси;

( )∙х литров кислоты отлили во второй раз.

Следовательно, всего отлили х + ( )∙х литров кислоты.

Значит, осталось 18 - х - ( )∙х или 25 % от 18 л т.е. 0,25 ∙ 18 = 4,5 литров кислоты.

Составим и решим уравнение:

18 - х - ( )∙х = 4,5,

324 - 18х - 18х + = 81,

- 36х + 243 = 0,

Решив квадратное уравнение, получим корни 9 и 27.

Т.к. 27>9, то 27 не удовлетворяет условию задачи (из сосуда, вмещающего 18 л жидкости невозможно вылить 27 л жидкости).

Значит, 9 л жидкости отливали каждый раз.

Ответ: 9 л.