По математике на тему 'Функциональный метод решения уравнений и неравенств' (10 класс)

Функциональный метод решения уравнений и неравенств

Содержание

Введение 2

Использование понятия области определения функции 2

Использование понятия области значений функции 3

Использование свойства монотонности функции 6

Использование свойств четности или нечетности функций 8

Использование свойства периодичности функции 9

Метод функциональной подстановки 10

Литература 11

Функциональный метод решения уравнений и неравенств.

Введение.

Одним из методов решения уравнений и неравенств является функциональный, основанный на использова­нии свойств функций. В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения (неравенства), при этом не требуется построения графиков функ­ций. Использование свойств функций способствует рационализа­ции решений уравнений и неравенств.

Рассмотрим использование некоторых свойств функций при решении уравнений и неравенств.

Использование понятия области определения функции

Областью определения функции у = f(x) называется множест­во значений переменной х, при которых функция имеет смысл.

Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где f(x) и g(x) - элементарные функции, определенные на множествах D₁, D₂. Тогда областью D допустимых значений уравнения будет множество, состоящее из тех значений х, которые принадлежат обоим множествам, то есть D = D₁∩D₂. Ясно, что когда множество D пустое (D = Ø), то урав­нение решений не имеет.

Пусть требуется решить неравенство f(x) > 0. D(f) - область определения функции f(x). Если удается доказать, что для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) > 0, то D(f) представляет собой решение данного неравенства.

Примеры.

1) Решите уравнение: + =5

Решение.

ОДЗ: 1-x0, x1, решений нет.

x-30 x3

Ответ: Ø

2) Решите уравнение: arcsin(x+2) + = x - 2

Решение.

ОДЗ: -1x+21, -3x-1, -3x-1, решений нет

2x-x0 x(2-x)0 0x2

Ответ: Ø

3) Решите уравнение: += x- 1

Решение.

ОДЗ: x-10, x =1

1-x0

ОДЗ состоит из одной точки x =1. Остается проверить, является ли x =1 корнем уравнения.

x =1+=1-1, 0=0. Верно.

Ответ: 1

4) Решите уравнение: arccos(6x-x-10)=

Решение.

ОДЗ: 6x-x-10-1, x=3, x =3

6x-x-101 3-2x3+2

ОДЗ состоит из одной точки x =3. Остается проверить, является ли x=3 корнем уравнения. x =3arccos(6*3-3-10)= , arcos(-1)=, = . Верно.

Ответ: 3

5) Решите неравенство: + 1

Решение.

1.Область определения левой части: 1.

2.Для любого x из области определения выполняется неравенство + 1

Ответ: x(-;-1][1;+ ).

Использование понятия области значений функции

Областью значений функции у = f(x) называется множество зна­чений переменной у, при допустимых значениях переменной х.

Функция у = f(x) называется ограниченной на данном про­межутке (содержащемся в области ее определения), если су­ществует такое число N > 0, что при всех значениях аргумента, принадлежащих данному промежутку, имеет место неравенство < N.

Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где f(x) и g(x) - элементарные функции, определенные на множествах D₁ , D₂. Обозначим область значений этих функций соответственно Е₁ и Е₂. Если х₁ является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x₁) = g(x₁), где f(x₁) - значение функции f(x) при х = х₁, a g(x₁) - значение функции g(x) при х = х₁. Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функций f(x) и g(x) имеют общие элементы (Е₁ ∩ Е₂ Ø). Если же таких общих элементов множества Е₁ и Е₂ не содержат, то уравнение решений не имеет.

Примеры.

1) Решите уравнение: cos2x = x-8x+17

Решение.

cos2x = (x-4)+1

ОДЗ:

-1 cos2x1; (x-4)+11

Равенство достигается, если cos2x =1, x=4

(x-4)+1 = 1

Ответ: 4.

2) Решите уравнение: +=2

Решение.

ОДЗ: x0 , x0

x+90

0, 3 +3, решений нет.

Ответ: Ø

3) Решите уравнение:

Решение.

ОДЗ:

0 для допустимых значений x

03

3 для допустимых значений x

Равенство достигается, если =3

=3

Решим первое уравнение системы:

=

x-1= -1; x =0

При x =0 второе уравнение обращается в верное равенство, следовательно, решением системы и уравнения является x =0.

Ответ: x =0.

4) Решите уравнение:

Решение.

ОДЗ:

Равенство достигается, если

Из второго уравнения системы имеем х = 3. Подстановкой во второе уравнение системы убеждаемся, что х = 3 является решением системы.

3 - корень уравнения.

Ответ: 3.

5) Решите уравнение:

Решение.

ОДЗ:

, .

Равенство достигается, если

Если , то

Ответ: -1,5

6) Решите уравнение:

Решение.

Поскольку , то или .

Следовательно,

, или

Решением первой системы является , . Вторая система решений не имеет.

Ответ: , .

7) Решите неравенство: .

ОДЗ:

На ОДЗ правая часть неравенства неположительна, а левая - положительная.

Ответ: [5; +∞).

8) Решите неравенство: >2

Решение.

ОДЗ: ,.

При любом из области определения >0, следовательно, .

Так как , то>2 на всей области определения.

Ответ: .

9) Решите неравенство:

Решение.

ОДЗ:

Так как при любом x справедливы неравенства и , то данное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

, т.е. при x =0.

Ответ: x =0.

10) Решите уравнение:

Решение.

Сумма коэффициентов перед тригонометрическими функциями в левой части равна 6, что меньше 7. Это наталкивает на мысль о решении уравнения методом оценки. Действительно, , , . Следовательно, левая часть не превосходит 6 при любом x, поэтому уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: Ø.

Использование свойства монотонности функции.

Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на дан­ном числовом промежутке X, если большему значению аргумента х X соответствует большее (меньшее) значение функции f(x), то есть для любых х₁ и х₂ из промежутка X таких, что х₂ > х₁ выпол­нено неравенство f(x₂) > f(x₁) (f(x₂) < f(x₁)).

Функция, только возрастающая или только убывающая на дан­ном числовом промежутке, называется монотонной на этом про­межутке.

Рассмотрим несколько свойств монотонных функций, исполь­зуемых для установления характера монотонности функций и ле­жащих в основе утверждений об уравнениях и неравенствах.

Теорема 1. Монотонная на промежутке X функция каждое свое значение принимает лишь при одном значении аргумента из этого промежутка.

Теорема 2. Если функция f(x) возрастает (убывает) на проме­жутке X и функция g(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то функция h(х) = f(x) + g(x) + С также возрастает (убывает) на проме­жутке X (С - произвольная постоянная).

Теорема 3. Если функция f(x) неотрицательна и возрастает (убы­вает) на промежутке X, функция g(x) неотрицательна и возрастает (убывает) на промежутке X, С > 0, то функция h(х) = С ∙ f(x) ∙ g(x) также возрастает (убывает) на промежутке X.

Теорема 4. Если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то функция - f(x) убывает (возрастает) на этом промежутке.

Теорема 5. Если функция f(x) монотонна на промежутке X и со­храняет на этом множестве знак, то функция на промежутке X имеет противоположный характер монотонности.

Теорема 6. Если обе функции f(x) и g(x) возрастающие или обе убывающие, то функция h(х) = f(g(x)) - возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая, а другая убывающая, то h(х) = f(g(x)) - убывающая функция.

Теоремы об уравнениях и неравенствах.

Теорема 7. Если функция f(x) монотонна на промежутке X, то уравнение f(x) = С имеет на промежутке X не более одного корня.

Теорема 8. Если функция f(x) монотонна на промежутке X, то уравнение f(g(x)) = f(h(x)) равносильно на промежутке X уравне­нию g(x) = h(x) .

Теорема 9. Если функция f(x) возрастает (убывает) на проме­жутке X, то неравенство f(g(x)) < f(h(x)) равносильно на промежут­ке X неравенству g(x) < h(x) ( g(x) > h(x)).

Аналогичное свойство имеет место и для нестрогих нера­венств.

Теорема 10. Если функция f(x) возрастает на промежутке X, а g(x) убывает на промежутке X, то уравнение f(x) = g(x) имеет на промежутке X не более одного корня.

Теорема 11. Если функция f(x) возрастает на промежутке X, то урав­нение f(f(x)) = х равносильно на промежутке X уравнению f(x) = х

Примеры.

1) Решите уравнение:

Решение.

ОДЗ:

Функция х ² + убывает на промежутке (-;-0], а - постоянная функция.

Подбором находим, что x =- - 4. В силу теоремы 7, найденный корень единственный.

Ответ: - 4.

2) Решите уравнение:

Решение.

- функция убывает на ;

- функция возрастает.

Подбором находим, что .

В силу теоремы 10 утверждаем, что единственный корень уравнения.

Ответ: 3

3) Решите уравнение:

Решение.

Функция возрастает на ; функция убывает на этом отрезке.

Подбором находим, что

В силу теоремы 10 утверждаем, что единственный корень уравнения.

Ответ:0,5

4) Решите уравнение: x³ + 33 = - 2х

Решение.

ОДЗ уравнения: х є R.

Функция у(х) = x³ + 33 - возрастает на R,

Функция g(х) = - 2х - убывает на R.

Значит уравнение имеет не более одного корня.

Подбором x = -3.

Ответ: -3.

5) Решите уравнение: x⁵ + x³ + х = - 42

Решение.

ОДЗ : х є R.

Функция у(х) = x⁵ + x³ + х - возрастает на R,

Функция g(х) = - 42 постоянна на R.

Значит уравнение имеет не более одного корня.

Подбором x = -2.

Ответ: -2.

6) Решите уравнение: = 8 -2х

Решение.

ОДЗ: х - 1.

Левая часть уравнения задает возрастающая, а правая убывающая функции.

Значит, это уравнение имеет не более одного корня.

Подбором x = 3.

Ответ: 3.

7) Решите систему уравнений

Решение.

Рассмотрим функцию Z = f(t) = 2t - sin t, тогда систему можно записать в виде

Так как f ^' = 2 - sin < 0 при любом t, то функция f-возрастающая, и

поэтому каждое своё значение принимает только при одном значении

аргумента.

Следовательно уравнение равносильно уравнению x = y, а данная система равносильна системе

Полученная система имеет единственное решение x=y=3.

Ответ: x=3; y=3.

Использование свойств четности или нечетности функций

Функция f(x) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение -х также при­надлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = f(x).

Функция f(x) называется нечетной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение -х также принад­лежит области определения и выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Из определений следует, что области определения четной и нечетной функций симметричны относительно нуля (необходимое условие).

Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значе­ния, а нечетная - равные по абсолютной величине, но противопо­ложного знака.

Теорема 1. Сумма, разность, произведение и частное двух чет­ных функций являются четными функциями.

Теорема 2. Произведение и частное двух нечетных функций представляют собой четные функции.

Пусть имеем уравнение или неравенство F(х) = 0, F(х) > 0, (F(х) < 0), где F(х) - четная или нечетная функция.

а) Чтобы решить уравнение F(х) = 0, где F(х) - четная или не­четная функция, достаточно найти положительные (или отрица­тельные) корни, после чего записываются отрицательные (или по­ложительные) корни, симметричные полученным, и для нечетной функции корнем будет х = 0, если это значение входит в область определения F(х). Для четной функции значение х = 0 проверяет­ся непосредственной подстановкой в уравнение.

б) Чтобы решить неравенство F(х) > 0 (F(х) < 0), где F(х) - чет­ная функция, достаточно найти его решения для х 0 (или х 0). Действительно, если решением данного неравенства является про­межуток (х₁; х₂), где х₁, х₂ - числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток (-х₂; -х₁).

в) Чтобы решить неравенство F(х) > 0 (F(х) < 0), где F(х) - не­четная функция, достаточно найти решения для х > 0 (или х < 0). Если нам известны промежутки знакопостоянства функции F(х) для х > 0 (или х < 0), то легко записать промежутки знакопостоян­ства и для х < 0 (или х > 0).

Примеры.

1) Может ли при каком-нибудь значении a уравнение иметь 2x-3ax+4x-ax=5 пять корней?

Решение.

Число 0 не является корнем данного уравнения. Так как левая часть уравнения - четная функция, то вместе с каждым ненулевым корнем уравнение имеет противоположный корень, и следовательно, число его корней при любом a четно. Поэтому пяти корней оно иметь не может.

Ответ: не может.

2) Решите уравнение: x+5-24=0

Решение.

ОДЗ:xR

Функция f(x)= x+5-24 - четная, x=0 - не является корнем уравнения, поэтому достаточно найти решения для x>0

x>0 , x>0 , x=3

x+5-24=0 x=3

x=-8

Тогда x = -3 так же является корнем уравнения.

Ответ: -3;3.

Использование свойства периодичности функции

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое число Т 0, что для любого значения х, взятого из области определения, значения х + Т, х - Т, также принадлежат области определения и выполняется равенство f(x) = f(x + Т) = f(x) = f(x - Т). Число Т называется периодом функции. Всякая периодическая функция имеет бесконечное количество периодов. При решении уравнений и неравенств будем использовать наименьший положи­тельный период функции.

Если функция F(х) - периодическая, то решение уравнения F(х) = 0 или неравенства F(х) > 0 (F(х) < 0) достаточно найти на промежутке, равном по длине периоду функции, после чего запи­сывается общее решение. Если периодическая функция еще и чет­ная или нечетная, то решение достаточно найти на промежутке, равном по длине половине периода.

1) Решите неравенство: <

<

<0

Рассмотрим функцию f(х) = cos 12х - cos 4х.

Её период

. Следовательно, решение неравенства достаточно найти на промежутке равном по длине периоду функции. За такой промежуток возьмем . Так как функция чётная, решение найдём на промежутке [0;]. Функция на данном промежутке имеет два корня: 0; - которые разбивают промежуток [0;] на два интервала знакопостоянства: (0; ); ( ; ). Неравенство выполняется для всех

х є ( ; ). Но тогда оно будет выполняться и для всех ( ; ).

Учитывая периодичность: + < х < + ; + < х < +.

Ответ: + < х < + ; + < х < +.

Метод функциональной подстановки

Частным случаем функционального метода является метод функциональной подстановки - самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной y =ƒ(x), применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

1) Решите уравнение: tgx + ctgx + tg²x + ctg²x + tg³x + ctg³x = 6

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть y = tgx + ctgx, тогда tg²x + ctg²x = y² - 2, tg³x + ctg³x = y³ - 3y

y³ + y² - 2y - 8 =0

y³ - 8 + y² - 2y =0, (у - 2)(у² + 2у +4) + у(у - 2) = 0, (у - 2)(у² + 2у +4 + у) = 0, (у - 2)(у² + 3у +4) = 0,

y = 2

Так как tgx + ctgx = 2, то tgx + = 2. Отсюда следует, что tgx = 1 и x = + πn, .

Ответ: + πn, .

Литература

1. Ковалева Г. И., Бузулина Т. И, Безрукова О. Л., Розка Ю.А.

Математика для учащихся 11 класса и поступающих в вузы: тренировочные тематические задания. Волгоград: «Учитель», 2005.

2. Егэ 2007 МАТЕМАТИКА тематические тренировочные задания. ООО Изд. «Эксмо» 2007.

3. Егэ 2007 МАТЕМАТИКА тренировочные задания. Изд «Просвещение», Изд. «Эксмо» 2007.

4. Егэ 2007 МАТЕМАТИКА. КИМ. М. «Просвещение» ФИПИ 2007.

5. Ткачук В. В, Математика - абитуриенту. Том 1. Том 2. - М.: МЦНМО, 1997.

6. Егэ 2008 Математика Самое полное издание реальных заданий ЕГЭ. ФИПИ М.:АСТ - Астрель.