Конспект урока 'ФУНКЦИИ у = хn (n Є N), ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ '

У р о к 77 Функции у = хⁿ (n Є N),их свойства и графики

Цели: изучить свойства степенной функции с натуральным показателем, ее график; закрепить знание свойств функции у = хⁿ (при n - четном числе) в ходе упражнений.

Ход урока

I. Анализ контрольной работы.

1. Указать основные ошибки, допущенные учащимися в ходе выполнения работы.

2. Решить задания, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Изучение нового материала.

1. Определение степенной функции у = хⁿ с натуральным показателем.

2. Две степенные функции мы уже изучили: у = х (n = 1) и у = х² (n = 2). Как выглядят графики функций у = х³, у = х⁴, у = х⁵, у = х⁶ и т. д.? Каковы свойства этих функций?

3. Рассмотреть функцию у = х⁴, х ≥ 0, составив таблицу значений и построив точки по соответствующим координатам: рис. 104a и рис. 104б на с. 116 учебника.

4. Построить график функции у = х⁴ (рис. 105) и записать в тетрадях свойства функции у = х⁴:

1) D(f) = (- ∞; ∞);

2) четная функция;

3) убывает на луче (- ∞; 0], возрастает на луче [0; + ∞);

4) ограничена снизу, не ограниче на сверху;

5) у_наим = 0, у_наиб - не существует;

6) непрерывна;

7) Е(f) = [0; + ∞);

8) выпукла вниз.

5. Функция у = х²ⁿ (2n - четное число). Речь идет о функциях у = х⁶,
у = х⁸ и вообще о степенной функции с четным показателем степени.

График любой такой функции похож на график функции у = х⁴ (рис. 105), только его ветви более круто направлены вверх.

Кривая у = х²ⁿ касается оси х в точке (0; 0), то есть одна ветвь кривой плавно переходит в другую, как бы прижимаясь к оси х.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить № 12.1 (б; в) и на доске и в тетрадях.

2. Решить № 12.9 (а) и № 12.10 (б) на доске и в тетрадях.

3. Решить № 12.11 (а; в).

а) у = х⁶ на отрезке [- 1; 1].

у = f(х) = f(0) = х⁶ = 0⁶ = 0; у_наим = 0;

у = f(- 1) = f(1) = (- 1)⁶ = (1)⁶ = 1; у_наиб = 1;

в) у = х⁶ на полуинтервале (- 2; 2].

у = f(0) = 0; у_наим = 0;

у = f(2) = 2⁶ = 64; у_наиб = 64.

4. Решить № 12.13 (в) с комментированием на месте.

в) у = х⁶ и у = - 2х². Решим уравнение х⁶ = - 2х²;

х⁶ + 2х² = 0; х²(х⁴ + 2) = 0; х = 0; х⁴ = - 2 - нет решений.

х = 0, то у = 0.

О т в е т: (0; 0).

5. Решить № 12.14 (а), построив графики функций у = х⁶ и и найдя координаты точки их пересечения.

О т в е т: х = - 1.

6. Решить № 12.19 (а) на доске и в тетрадях.

а)

Свойства:

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

2) функция ни четная, ни нечетная;

3) убывает на луче (- ∞; 0], возрастает на луче [0; + ∞);

4) ограничена снизу, не ограничена сверху;

5) у_наим = 0, у_наиб - не существует;

6) непрерывна;

7) Е(f) = [0; + ∞);

8) выпукла вниз на луче (-∞; 0); выпукла вверх на луче [0; + ∞).

7. Решить № 12.33^● (а; в). Решение объясняет учитель.

а) х⁴ + х² + 1 = 0.

Левая часть уравнения положительна при всех значениях х, значит, уравнение не имеет корней.

в) х⁴ + х² - 2х + 3 = 0.

I способ.

Преобразуем уравнение к виду х⁴ = - х² + 2х - 3. Графики функций
у = х⁴ и у = - х² + 2х - 3 не пересекаются, следовательно, уравнение не имеет корней.

IV. Итоги урока. Выставление отметок.

Домашнее задание: изучить по учебнику материал на с. 115-119; решить № 12.1 (а; г); № 12.9 (в); № 12.10 (г); № 12.13 (а); № 12.14 (в); № 12.19 (в).