МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА 'РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ'

ГБПОУ "КЛТ"

Методическая разработка для обучающихся I курса

по теме "Решение тригонометрических уравнений"

по дисциплине математика

Преподаватель Дзюба Л.Г.

2015

Арксинусом числа а и обозначают arcsin a: при этом

Пример:

Арккосинус при этом

Арктангенс при этом

Арккотангенс при этом

Примеры:

.

№ 1. Вычислите:

№ 2. Найдите значение выражения:

Таблица значений тригонометрических функций

Значения тригонометрических функций можно определять по таблицам М.В. Брадиса, но в тригонометрии чаще используются углы, содержащиеся в следующей таблице: Заметим, что

n^о

0^о

30^о

45^о

60^о

90^о

120^о

135^о

150^о

180^о

210^о

225^о

240^о

270^о

300^о

315^о

330^о

360^о

0

π

sin α

0

1

0

-

-1

-

0

cos α

1

0

-

-1

-

0

1

0

1

-

-

-1

0

1

-

-

-1

0

-

1

0

-1

-

1

0

-1

-

-

Урав-нение

Решение

Частные случаи

Примечания

sinx=a

cosx=a

tgx=a

ctgx=a

При решении простейших тригонометрических уравнений удобнее пользоваться стандартными формулами:

Пример: Решите уравнение:

Ответ: .

б)

; Ответ:

в)

Ответ:

г)

Ответ:

д) Преобразуем выражение

2 ;

Ответ:

е)

Ответ:

ж), т.к. аргумент у косинуса - сложная функция, то уравнение решают сначала относительно , а затем выражают .

Ответ:

з)

Ответ:

№ 3. Решите уравнение:

№ 4. Решите уравнение:

№ 5. Решите уравнение:

а)

№ 6. Решите уравнение:

Методы решения тригонометрических уравнений

Заметим, что каково бы ни было заданное тригонометрическое уравнение, существует только четыре вида уравнений, дающие решения - это простейшие тригонометрические уравнения.

Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений, позволяющие сводить их к простейшим.

1. Упрощение уравнения, используя тригонометрические формулы.

Пример 1. Решите уравнение:

Преобразуем выражение и воспользуемся формулой

; - простейшее тригонометрическое уравнение

;

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение:

Используем Формулы приведения ;

Пример 3. Решите уравнение:

Пример 4. Решите уравнение:

Ответ: ; .

Пример 5. Решите уравнение: Используя формулы приведения заменим :

представим выражение в виде произведения:

;

; Ответ:

Пример 6. Решите уравнение:

Используя формулу (1) п. 6, заменим на 1.

Ответ:

Пример 7. Решите уравнение:

Сгруппируем слагаемые так, чтобы получились формулы: суммы и двойного аргумента.

;

Вынеся общим множителем, получим два простейших уравнения:

Ответ: ; .

II. Метод введения новой переменной

Очень часто тригонометрическое уравнение по внешнему виду напоминает квадратное уравнение. Выполнив в уравнении соответствующую замену переменной, можно легко найти его решение.

Пример 8. Решите уравнение:

Замена

Обратная замена:

Ответ:; .

В некоторых уравнениях требуется сделать дополнительное преобразование, чтобы уравнение свелось к квадратному:

Пример 9. Решите уравнение:

Заменим, ,

Замена: Решив уравнение, найдем Обратная замена: - уравнение не имеет решения, т.к.

Ответ: .

Пример 10. Решите уравнение:

Заменим , и выполним домножение обеих частей

уравнения на . Учитывая, что , имеем:

Замена:

.

Обратная замена:

Ответ: ; .

III. Однородные тригонометрические уравнения.

Однородные тригонометрические уравнения разделяются на два вида:

- однородное уравнение первой степени;

- однородное уравнение второй степени.

Разделив обе части уравнения а) на cosx; б) на , с учетом, что , получим уравнения:

- простейшее;

- квадратное.

Рассмотрим несколько решений однородных уравнений:

Пример 11. Решите уравнение:

;

Ответ: .

Пример 12. Решите уравнение:

Решив это уравнение, получим:

Ответ:; .

Если в однородном уравнении второй степени присутствует свободный член , то его можно заменить: .

Пример 13. Решите уравнение:

, откуда ,

т.е.

Ответ: ; .

Рассмотренные в данном пункте методы решения тригонометрических уравнений являются базовыми и обязательны к изучению.

№ 7. Решите уравнение:

№ 8. Решите уравнение и найдите сумму его решений на отрезке

№ 9. Найдите (в градусах) все решения уравнения , удовлетворяющие условию .

№ 10. Решите уравнение:

№ 11. Решите уравнение:

№12. Найдите все решения уравнения принадлежащие отрезку .

№ 13. Упростите выражение и укажите х, при которых его значение равно

№14. Решите уравнение:

№ 15. Найдите все решения уравнения , лежащие в интервале

№ 16. Решите уравнение:;

;

;

№ 17. Решите уравнение:

№ 18. Решите уравнение:

№19. Решите уравнение:

Практическое занятие Тема: Решение тригонометрических уравнений.

Цель занятия : изучить приемы и методы решения различных тригонометрических уравнений .

Задание 1. Решите уравнения:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)

7) ; 8) ; 9) 10) 11)

12) 13) ; 14) ; 15) ; 16) ;

17) 18) 19) 20) 21)

22) 23) 24) 25) 26) 27)

28) tg 2x=0 29) tg (x-1)= 1 30) 31) 32)

Задание 2. Решить уравнение, используя метод замены переменной и сводя его к квадратному :

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6); 7) ;

8) ; 9) ; 10) ;

11) 12) ; 13) ; 14) ; 15)

25) 26) 27)

27) 28) 29)

30) 31) 32)

3. Решить уравнение методом разложения на множители:

1) ; 2) ; 3) 4) ;

5) 6); 7)

17) 18)

20) ; 22) ; 23)

24) ;25) ; 26)

27) ; 28) ;29) ; 30)

31) 32)

4. Решите уравнение, используя однородность:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ;5) ;

6) 7); 8) ;

9) ;10) 11); 12) ;13) 14) ; 15); 16) ; 17)

18)19) 20)3sin² x - 4sin x cos x + cos² x = 0

21) sin x = 2 cos x 22) 7cos2 x + 3 sin2x =0 23) sin x + cos x = 0 24) sin 3x - cos 3x = 0

25) 4cos 3x + 5 sin 3x =0 26) cos2x +sin 2x =0 27)

28) 29) 30)

31) 32)