Конспект урока: 'Решение нестандартных показательных уравнений'.

МОбУ: Бишевская СОШ

Учитель математики Безрукова Валентина Викторовна

Урок математики в 11 классе «Решение нестандартных показательных уравнений».

Цели урока: рассмотреть использование свойств функций (особенно показательной функции) при решении нестандартных показательных уравнений, так называемых

трансцендентных уравнений. Развивать потребность в нахождении рациональных способов решений. Воспитывать самостоятельность учащихся.

Ход урока:

Актуализация знаний.

1. Проверка домашней работы.

2. Повторение теоретического материала.

Фронтальный опрос учащихся.

-Какая функция называется показательной?

-Какими свойствами обладает показательная функция?

-Какова её область определения?

-Возрастает или убывает функция:

а) у =(5/2)^х ; б) у = 16/5^х ; в) у = (3/4)^х ; г) у = 20/0,5^х ?

-Сформулируйте теорему о корне.

-Повторим свойства функций. Закончите предложения.

1) Сумма возрастающих функций- есть функция…(возрастающая на их общей области определения).

2) Сумма убывающих функций- есть функция…(убывающая на их общей области определения).

3) Разность возрастающей и убывающей функций- есть функция…(возрастающая на их общей области определения).

4) Разность убывающей и возрастающей функций- есть функция…(убывающая на их общей области определения).

5) Если функция состоит из дроби: числитель - постоянное положительное число, а знаменатель - возрастающая функция - то эта функция…(убывающая, например,

у = (3/4)^х).

6) Если функция состоит из дроби: числитель- постоянное положительное число, а знаменатель - убывающая функция - то эта функция…(возрастающая, например,

у = 20/0,5^х)

3. -Повторим методы решения простейших показательных уравнений на конкретных примерах. Решите уравнения:

1) 4^х = 8.

2) 3^х+1 + 3^х-1 = 14.

3) 4^х - 5 * 2^х + 4 = 0.

4) 5^{sin х} = -1/3.

5) 5^{sin х} = 1.

Формирование новых знаний, умений и навыков учащихся.

Решите уравнения:

1) 7^х + 8^х =15^х

Решение:

7^х + 8^х = 15^х /:15^х

(7/15)^х + (8/15)^х = 1 , уравнение имеет не более1 корня, х = 1.

Ответ: х = 1.

2) 5^х - 3^х =16

Решение:

5^х = 16 + 3^х /:3^х

(5/3)^х = 1+ 16/3^х , уравнение имеет единственный корень, х = 2.

Ответ: х = 2.

3) 2^х + 3^х +4^х =9^х

Решение: 1способ: 2способ:

2^х + 3^х = 9^х - 4^х 2^х/9^х + 3^х/9^х +4^х/9^х = 1

2^х + 3^х = (3²)^х - (2²)^х (2/9)^х + (3/9)^х + (4/9)^х = 1

2^х + 3^х = (3^х - 2^х )* (3^х + 2^х) х = 1

1 - 3^х + 2^х = 0 Ответ: х = 1.

1 + 2^х = 3^х

(1/3)^х + (2/3)^х = 1

х = 1

Ответ: х = 1.

4) *(3*5^2sinx-1 - 2*5^sinx-1-0,2) = 0

Решение:

ОДЗ: х

6х - х² - 5 = 0 или 3*5^2sinx-1 - 2*5^sinx-1 -0,2 = 0

х₁ = 1 х₂ = 5 (3/5)*t² - (2/5)*t - (1/5) = 0

3t² - 2t - 1 = 0

t₁ = 1 t₂ = - (1/3)

5^sinx = 1 5^sinx = -(1/3)

Sin x = 0 решений нет

х =n, nz.

Ответ: 1; ; 5.

5) При каких значениях параметра «в» уравнение 3^2х -2*(3в-2)*3^х + 5в² - 4в = 0

имеет два различных корня.

Решение: Замена 3^х = р

р² - 2*(3в-2)*р + 5в² - 4в = 0 -приведённое квадратное уравнение.

Для того, чтобы корни уравнения р₁ и р₂ были положительны и различны, необходимо и достаточно:

Ответ: (0,8;1) и (1;).

Закрепление знаний, умений и навыков.

Самостоятельная работа (вариант по выбору учащихся).

Вариант 1. (1 уровень)

Решите уравнения:

№1. 3^х + 4^х = 5^х (Ответ: 2.)

№2. (6^х)^х : 2^-15 = 3^-15 : 6^12-12х. (Ответ: 3; 9.)

Вариант 2. (2 уровень)

Решите уравнения:

№1. 12^х + ()^2х = 13^х (Ответ: 2.)

№2. При каких значениях параметра «а» уравнение 4^х - (5а - 3)*2^х + 4а² - 3а = 0

имеет единственное решение? (Ответ: 1.)

(Анализ самостоятельной работы на следующем уроке).

Итог урока.

Мы рассмотрели примеры решений трансцендентных уравнений.

Домашнее задание: №164 а),в), №167 а), в).

Спасибо за урок!

Используемая литература:

1. А.Н.Колмогоров, А.М..Абрамов, Ю.П.Дудницин, Б.М.Ивлев, С.И.Шварцбурд.

Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Москва «Просвещение» 2008г.

2. Н.М.Ляшова, Е.Н.Кумскова, О.Л.Безрукова, Г.И.Ковалёва, Н.Ю.Должикова,

А.М.Бембеева, Л.В.Осипова, Н.Л.Кудрявцева,Н.С.Морозова. Математика: открытые

уроки. 5,6,7,9,11 классы. Волгоград: Учитель, 2007г.