- Учителю
- План-конспект открытого урока-практикума по алгебре (10 класс)
План-конспект открытого урока-практикума по алгебре (10 класс)
План-конспект открытого урока-практикума по алгебре
Тема: Решение задач экономического содержания.
Дата проведения: 07.04.2015 г.
Класс: 10 «А».
Количество учащихся: 27.
Учитель: Конистяпина Галина Александровна.
Тип урока: Урок закрепления новых знаний.
Цели урока
Образовательные:
- закрепить знания и умения учащихся по применению формул сложных процентов;
- организовать самостоятельную деятельность учащихся по переносу знаний в новую ситуацию;
Развивающие:
- формировать у учащихся понимание математики, как реальное отражение действительности;
- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности;
Воспитательные:
- воспитывать познавательную активность школьников, умение участвовать в обсуждениях, развивать культуру речи;
Оборудование:
- ПК, проектор, экран;
- карточки с домашним заданием.
Ход урока
-
Организационный момент.
Актуализация знаний и целеполагание.
Урок начинается с доклада ученика (приложение 1).
Учитель: задачи, которые будут рассмотрены сегодня на уроке, взяты из жизни. Наша цель - научиться анализировать реальные ситуации с помощью того математического аппарата, которым вы владеете. Очень важно, чтобы при решении задач вы не только получили ответ, но и могли его использовать, соотнести с действительностью.
-
Повторение изученного материала путем фронтального опроса.
Учитель:
а) запишите на доске формулу сложных процентов и ее частный случай:
An = A0 (1 ± 0.01х1)*(1 ± 0.01х2)*…* (1 ± 0.01хn)
An = A0 (1± 0.01x) n
б) объясните смысл входящих в формулу символов
(А0 - начальное значение некоторой величины;
Аn - значение, которое получилось в результате изменения А0;
n - Количество изменений А0;
х - процент изменения);
в) когда применяется общая формула, а когда ее частный случай?
(Частный случай применяется тогда, когда некоторая величина А0 изменяется несколько раз на один и тот же процент.
Общая формула используется, если процент изменения не остается одним и тем же)
г) в какие случаях в формуле сложных процентов ставится знак «+», а в каких случаях знак «-»?
Приведите примеры.
(Знак «+» применяется в задачах о начислении процентов по вкладу в банке, а также при увеличении цены товара. Знак «-» применяется при подсчете снижения цены).
3. Проверка домашнего задания.
Вызванные ученики оформили свои решения во время фронтального опроса.
Домашняя задача №1 (слайд №1)
Вкладчик положил на счет 13000 рублей, через 2 года он получил 15730 рублей.
Какой процент ежегодного постоянного дохода давал банк?
Решение:
А2 = А0 (1+0.01х) 2
15730 = 13000 (1+0.01х) 2
(1+0.01х) 2 = 1.21
(1+0.01х) = 1.1 или (1+0.01х) = -1.1
Х1 = 10 х2 = -210 - не подходит
Ответ: банк давал 10% годового дохода.
Проверяя решение, учитель задает дополнительные вопросы:
а) Почему не подходит корень х2 = -210?
(Сумма вклада увеличивается, и поэтому процент изменения не может быть отрицательным)
б) Как вы думаете за счет чего банк имеет возможность выплачивать вознаграждение вкладчику?
(Полученный от вклада деньги банк использует для выдачи кредитов организациям и частным лицам под проценты и делится частью этой прибыли с вкладчиком);
в) А если бы х2 был бы равен 210? Мы тоже отбросили бы этот корень?
(Да, так как тогда банк выплачивает 210% годовых. Ни один банк не будет выплачивать за год сумму, которая превышает сам вклад).
Учитель оценивает работу ученика.
Домашняя задача №2 (Слайд №2)
Цена товара после двух последовательных снижений на один и тот же процент уменьшилась со 125 до 80 рублей. На сколько процентов снижалась цена каждый раз?
Решение:
А2 = А0 (1-0.01х) 2
80 = 25 (1-0.01х) 2
(1-0.01х) = 0.8 или (1-0.01х) = -0.8
Х1 = 20 Х2 = 180 - не подходит
Ответ: цена снижалась два раза на 20%.
Дополнительные вопросы:
а) Как реально выглядела бы ситуация, если бы цену снизили на 180%?
(Покупатель получил бы товар бесплатно и еще 80% его стоимости);
б) А если бы цену снизили бы сразу на 40%, то в итоге цена была бы больше на 80 рублей?
(125-1.25*40=125-50=75 (рублей). Цена была бы меньше)
Учитель оценивает работу отвечающих и отмечает наиболее активных учеников;
в) Я знаю, что многие из вас были в разных странах, и в домашнем задании я попросила вспомнить: как звучат слова «скидка», «распродажа» на разных языках?
(«скидка» - «sale» по-английски);
г) Какое иностранное слово, связанное с этим термином, вошло в наш язык?
(Дисконтные карты - карты, обеспечивающие скидки постоянным клиентам).
4. Самостоятельная работа, с последующей проверкой.
Слайд №3
1 вариант:
В осенне-зимний период цена на свежие фрукты возросла трижды: на 10%, на 20%, на 25%. На сколько процентов возросла зимняя цена по сравнению с летней?
Решение:
Обозначим летнюю цену А0, а зимнюю А3, т.к. она установилась после трех изменений, тогда по общей формуле сложных процентов:
А3 = А0 (1+0.01 * 10) * (1+ 0.01 * 20) * (1+0.01 * 25)
А3 = А0 * 1.1 * 1.2 * 1.25
А3 = А0 * 1.65
Значит, зимняя цена А3 составляет от летней А0 165%, поэтому 165-100=65(%)
Ответ: цена возросла на 65%.
Дополнительные вопросы
Учитель: Итак, мы доказали, что зимняя цена больше летней на 65%. А можно ли сказать, что летняя цена ниже зимней на 65%?
(Нет, так сказать нельзя. В задаче зимняя цена сравнивается с летней, и летняя цена берется за 100%. А если сравнить с зимней ценой, то ее придется взять за 100%. А эта цена больше).
Слайд №4
2 вариант:
В начале первого года в банк был внесен вклад величиной 1000 рублей, процентная ставка составляет 10% годовых (доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу). На сколько рублей возрастет величина вклада за третий год хранения?
Решение:
По частной формуле сложных процентов величина вклада в конце второго года хранения будет А2 = А0 (1+0.01 * 10) 2, то есть А2 = 1000 (1+0.01 * 10) 2 = 1000 * 1.21 = 1210 (рублей).
Величина вклада в конце третьего года хранения равна
А3 = А0 1 (1+0.01 * 10) 3, А3 = 1000 * 1.13 = 1331 (рублей).
Разница вкладов А3 - А2 = 1331 - 1210 = 121 (рубль).
Ответ: за третий год хранения вклад возрастает на 121 рубль.
Дополнительные вопросы:
а) Как найти увеличение вклада, (обозначим его ∆5) за пятый год хранения?
(∆5 = А5 - А4; ∆5 = А0 (1+0.1)5 - А0 (1+0.1) 4);
б) Как проще вычислить значение ∆ в этом случае?
(Можно вынести за скобку общий множитель, тогда:
∆5 = А0 (1+0.1) 4 * (1+0.1 - 1) = А0 (1+0.1) 4 * 0.1)
5. Решение задач на определение дохода по вкладу.
Учитель: увеличение вклада за год иначе называется доходом.
Рассмотрим еще одну задачу. Слайд №5
При условии ежегодного начисления процентов сумма вклада в банке за второй год хранения увеличилась на 36 $, а за четвертый год - на 81 $. На сколько рублей увеличился доход за первый год?
Решение:
Пусть А0 - первоначальный вклад в банк, тогда А2 = А0 (1+0.01х) 2 - размер вклада через 2 года, а ∆2 = А2 - А1 = А0 (1+ 0.01х) 2 - А0 (1+0.01х) 1 - доход ха 2-ой год хранения.
По условию ∆2 = 36
Составим первое уравнение:
А0 (1+0.01х) 2 = А0 (1+0.01х) 1 = 36
А0 (1+ 0.01х) * (1+0.01х -1) = 36
А0 (1+0.01х) * 0.01х = 36 (1)
Аналогично ∆4 = А4 - А3 = А0 (1+ 0.01х) 4 - А0 (1+0.01х) 3; ∆4 = 81.
Составим второе уравнение:
А0 (1+ 0.01х) 3 * (1+ 0.01х - 1) = 81
А0 (1+0.01х) 3 +0.01х = 81 (2)
{A0 (1+ 0.01х) * 0.01х = 36
{А0 (1+ 0.01х) 3 * 0.01х = 81
Пусть 0.01х = у, тогда
{A0 (1+ у) * y = 36
{А0 (1+ у) 3 * у = 81
=
=
(1 + y) 2 =
1 + y = 1.5 или 1 + у = -1.5
У = 0.5 у = -2.5 - не подходит
Значит 0.01х = 0.5, х=50%
Найдем А0 из уравнения (1)
А0 (1+ 0.5) * 0.5 = 36
А0 * 1.5 * 0.5 = 36
А0 = = 48 (рублей) - первоначальный вклад.
Вычислим доход за первый год:
∆1 = А1 - А0 = А0 (1+0.01х) - А0 = А0 * 0.01х * 0.5 = 24 (рубля)
Ответ: доход увеличился на 24 рубля.
Учитель:
Как вы думаете 50% - это реальный ежегодный процент, начисляемый банком?
(Нет, нереальный, так как выплачивая вкладчику 50% вклада, банк скорее всего разориться, так как вряд ли он сможет вкладывать деньги под большие проценты).
6. Итог урока. Домашнее задание.
Учитель: Сегодня на уроке мы рассмотрели несколько задач, где используются формулы сложных процентов. Я надеюсь, что рассмотренный задачи помогут вам лучше ориентироваться в повседневной жизни.
Домашнее задание размещено на сайте лицея №51 в разделе «Домашнее задание по математике».
Задача №1.
В начале 2003 года Петя положил в сейф 1 млн. рублей и брал из него 9% суммы каждые 3 года, а Вася положил 1млн. рублей в другой сейф и брал из него 6% суммы каждые 2 года. Найти разницу содержимого сейфов в конце 2008 года.
Задача №2.
На фабрике выработка продукции возросла за год на 4%, а на следующий год повысилась еще на 8%. Найти средний годовой прирост за эти 2 года.
Приложение №1.
Понятие «проценты» связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы; оно буквально атакует нас в пору рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, инфляций и кризисов.
Зная проценты, бедный может стать богатым, обманутый вчера в сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело. Но надо с осторожностью и пониманием относиться к многочисленным рекламным объявлениям, обещающим большие проценты на вклад, которые не всегда корректны.