- Учителю
- Урок по геометрии на тему 'Подготовка к ГИА'
Урок по геометрии на тему 'Подготовка к ГИА'
Геометрические задачи при подготовке к ГИА
Учитель: Панкратова Н.П.
vЗадача 1: Площадь ромба ABCD равна 18. В треугольник ABD вписана окружность, которая касается стороны АВ в точке К. Через точку К проведена прямая, параллельная диагонали АС и отсекающая от ромба треугольник площади 1. Найдите синус угла ВАС. Решение: Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника. Значит, центр окружности точка О лежит на диагонали АС. Треугольники АВС и КВЕ подобны. Так как площади этих треугольников равны 9 и 1 соответственно, то коэффициент подобия равен 3. = .
А K В
™
Е
D С
Точка пересечения диагоналей ромба АС и ВD - точка М.
Треугольники ОКВ и ОМВ равны ( ОК = ОМ и гипотенуза ОВ - общая).
Отсюда, КВ=ВМ.
Из прямоугольного треугольника АМВ имеем = = = .
Ответ: .
Задача 2: Через точку D основания АВ равнобедренного треугольника АВС проведена прямая СD, пересекающая описанную около треугольника АВС окружность в точке Е. Найдите АС, если СЕ=3 и DE=DC.
Решение: Углы САВ и СВА равны ( углы в основании равнобедренного треугольника). Вписанные углы СВА и СЕА опираются на одну хорду АС, значит, они равны. Треугольники DАС и АЕС подобны (углы DАС и АЕС равны, угол при вершине С - общий).
С
DDА В
Е
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: . Отсюда АС = .
Ответ:
Задача 3: Дана трапеция АВСD с основаниями АВ = a и ВС = b. Точки М и N лежат на сторонах АВ и СD соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ АС пересекает этот отрезок в точке О. Найдите MN, если известно, что площади треугольников АМО и СNО равны.
Решение:
В C
OM N
A D
-
Из равенства площадей треугольников АМО и СNО следует
МО∙AO = ON∙OC
-
Треугольники МАО и ВАC подобны по двум углам.
Имеем пропорциональность сторон.
= = 1 + =
-
Треугольники СON и CAD подобны по двум углам.
Имеем пропорциональность сторон.
= = 1 + =
-
Учитывая, что , получим
Учитывая, что MO + ON = MN, получим
MN2 = ab, MN =
Ответ: