Олимпиадные задания 7 - 11 классы

Задания олимпиады

по математике

7 (VIII´) класс

1. Найдите наименьшее число, которое

при делении на 2 дает остаток 1,

при делении на 3 дает остаток 2,

при делении на 4 дает остаток 3,

при делении на 5 дает остаток 4,

при делении на 6 дает остаток 5,

при делении на 7 дает остаток 6,

при делении на 8 дает остаток 7,

при делении на 9 дает остаток 8.

(6 баллов)

2. В двух седьмых классах 70 учеников. учеников одного класса и учеников другого посещают различные кружки и факультативы. Сколько учеников в каждом классе?

(7 баллов)

3. Сумма четырех чисел равна 100. Если первое число увеличить на 4, второе - в 4 раза, третье число уменьшить на 4, а четвертое - в 4 раза, получатся равные результаты. Найдите эти числа.

(8 баллов)

4. На полоске клетчатой бумаги двое играющих по очереди закрашивают клетки: первый всегда закрашивает пять любых подряд идущих клеток, второй - четыре клетки подряд. Причем, уже закрашенную клетку второй раз красить нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре - первый или второй, если по длине полоски размещено 2004 клетки? (Рис. 1)

Рис. 1

(9 баллов)

5. Отрезок AB длиной 2004 мм разбит на n равных отрезков, на каждом из которых, как на диаметре, построена окружность (на рисунке 2 изображено в качестве примера разбиение на 7 равных отрезков).

A B

Рис. 2

Определите значения, которые может принимать сумма длин всех этих окружностей.

(10 баллов)

Задания олимпиады

по математике

8 класс

1. Установите количество пятизначных чисел, кратных числу 1000, но не кратных числу 2000.

(7 баллов)

2. У Наташи

400⁵-399² · (400³+2 · 400²+3·400+4) рублей.

Мороженое стоит 2004 рубля. Хватит ли у Наташи денег на мороженое?

(6 баллов)

3. В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тёзок и сколько однофамильцев (включая и родственников). Среди ответов учащихся встретились все целые числа от 0 до 10. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми фамилией и именем.

(8 баллов)

4. На 100-клеточной квадратной белой доске два игрока закрашивают ее клетки в черный цвет: первый всегда закрашивает квадрат 2х2, а второй - уголок, образованный тремя клетками. Уже закрашенную клетку второй раз красить нельзя. Какой игрок - первый или второй - выиграет при правильной игре?

(9 баллов)

5. Дан равносторонний треугольник АВС. На продолжении стороны СВ за точку В отмечена точка D, а на продолжение стороны AB за точку В - точка М так, что CD = ВМ. Докажите, что AD = DМ.

(10 баллов)

Задания олимпиады

по математике

9 класс

1. У трех сестер Веры, Надежды и Любови дни и месяцы рождения совпадают - 30 сентября. В день совершеннолетия - 18 лет - старшей сестры Веры оказалось, что сумма возрастов всех сестер делится на 18. В день 18-летия Надежды ситуация повторилась. Определите, сколько лет будет каждой сестре, когда младшая - Любовь - станет совершеннолетней.

(7 баллов)

2. На доске записали три числа. После того, как нашли их произведение, сумму и сумму попарных произведений оказалось, что получили три записанных на доске числа. Какие числа записаны на доске?

(7 баллов)

3. Вовочка рвет листок с результатами неудачного тестирования. За одну секунду он может разорвать какой-то один из клочков на 2 части или разорвать на две части каждый клочок. Может ли Вовочка через 16 секунд получить ровно 2004 клочка?

(9 баллов)

4. Докажите, что любой треугольник можно разрезать на три части так, что из них можно сложить прямоугольный треугольник.

(9 баллов)

5. Население острова состоит из рыцарей, которые всегда говорят правду, и лжецов, которые всегда лгут.

Троим островитянам, шедшим вместе, встретился турист, который каждому задал вопрос: «Сколько рыцарей среди Ваших спутников?».

Первый ответил: «Один».

Второй сказал: «Ни одного».

Что сказал третий островитянин?

(8 баллов)

Задания олимпиады

по математике

10 класс

1. Бригада землекопов должна была начать работу в 8 ч. Но, простояв в очереди за лопатами, землекопы начали работу позже: первый на 5 минут, второй - на 10 минут, третий - на 15 минут и т.д. До обеда бригада вырыла траншею, в 12 часов землекопы ушли на обед. После обеда землекопы работали с 13 до 16 часов и вырыли вторую траншею. Сколько землекопов было в бригаде?

(7 баллов)

2. Докажите, что число

9+99+999+…+

делится на 999.

(8 баллов)

3. Решите уравнение

2004[х]-2005{х}=0.

(6 баллов)

4. В трапеции ABCD боковая сторона CD перпендикулярна основанию AD, AD=8, AB=4. Окружность, которая проходит через вершины А, В и С содержит трапецию внутри и пересекает продолжение диагонали BD в точке К, такой, что ВК=9. Найдите длину диагонали BD.

(10 баллов)

5. Тестирование по математике проходили 100 учеников, среди которых были математики, которые всегда правдиво и правильно отвечают на любой вопрос, и математики, которые всегда лгут, разговаривая на нематематические темы. Первые 60 учеников, выходя после тестирования, заявили: «Среди оставшихся в аудитории учеников лжецов больше, чем правдивых». Можно ли определить, сколько всего лжецов принимало участие в тестировании?

(9 баллов)

Задания олимпиады

по математике

11 класс

1. Абитуриент принял участие в тестировании. Тестирование проводилось по трем предметам с равным количеством тестовых заданий по каждому предмету. С математикой абитуриент справился довольно успешно, выполнив 19 заданий, по физике удалось верно ответить ровно на 30% предложенных вопросов, а по русскому языку результат оказался хуже, чем по физике. Но в общей сложности абитуриент правильно выполнил ровно половину от общего количества тестовых заданий. Определите, из скольки заданий был составлен тест по каждому предмету.

(8 баллов)

2. Найдите наименьшее натуральное число такое, что для любой цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 число имеет делитель, оканчивающийся этой цифрой.

(6 баллов)

3. Найдите все функции f, удовлетворяющие при любых действительных х и у уравнению

f (x-y) = f (x) + f (y) - 2xy.

(7 баллов)

4. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, у которого все вершины лежат на параболе у = х² и гипотенуза параллельна оси абсцисс, равна 1.

(10 баллов)

5. Определите стороны треугольника АВС, если известно, что из отрезков, длины которых равны cosA, cosB, cosC можно составить треугольник, равный треугольнику АВС.

(9 баллов)

Указания, решения и комментарии

7 (VIII´)класс

1. Ответ: 2519.

Решение. Найдём число, которое на 1 больше искомого. Если искомое число А, то число А+1 делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без остатка. Наименьшим число, которое кратно каждому из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 является число, которое равно произведению

5 · 7 · 8 · 9 = 2520.

Действительно, число 2520 делится на 8, а, следовательно, на 2 и на 4; это число делится на 9, а, следовательно, и на 3; поскольку число 2520 делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6. Таким образом, число 2520 делится на все числа без остатка. Тогда число

2520 - 1 = 2519

делится на каждое данное число с наибольшим остатком.

2. Ответ: 34 ученика, 36 учеников.

Решение. Поскольку количество учащихся в каждом классе натуральное, и числитель и знаменатель каждой дроби и - взаимно простые числа, то число учащихся первого класса кратно 17, а второго класса - кратно 9. Составим таблицу возможных значений учащихся в каждом классе в зависимости от числа учащихся первого класса, обозначив это количество буквой а:

а

17

34

51

68

70-а

53

36

29

2

Только одна пара чисел - 34 и 36 - удовлетворяет утверждению задачи: 34 кратно 17, а 36 кратно 9.

3. Ответ: 12, 4, 20, 64.

Решение. Обозначим данные числа буквами а, b, с и d. По условию задачи:

a + b + с + d = 100,

a + 4 = b - 4 = 4 c = .

Выражая из второго равенства a, b и с через d и, подставляя полученные выражения в первое равенство, находим d=64, a=12, b=4, c=20.

4. Ответ: при правильной игре всегда выигрывает второй игрок.

Решение. Своим первым ходом первый игрок закрашивает 5 подряд идущих клеток,

414

Рис. 1

второй, отступив на 4 клетки от одного из краев полоски, закрашивает 4 клетки подряд (Рис. 1). В дальнейшем второй игрок делает любые ответные ходы, сохраняя незакрашенными 4 крайние клетки на одном из краев полоски. Когда других ходов не остается, второй игрок закрашивает эти клетки. У первого игрока ответного хода нет.

5. Ответ: 2004  мм.

Решение. Длина диаметра каждой окружности равна

D = мм;

длина каждой окружности равна

а длина n таких окружностей -

(мм).

Указания, решения и комментарии

8 класс

1. Ответ: 45.

Решение. Первая цифра пятизначного числа может быть любой из девяти -

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; третья, четвертая и пятая - 0. Вторая цифра числа, кратного 1000 - любая из десяти 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а числа, кратного 2000 - любая из пяти - 0, 2, 4, 6, 8. Поэтому пятизначных чисел, кратных 1000

9 · 10 · 1 · 1 · 1 = 90,

а кратных 2000

9 · 5 · 1 · 1 · 1 = 45.

Значит, чисел, удовлетворяющих условию задачи:

90 - 45 = 45.

2. Ответ: не хватит.

Решение. Обозначая n = 400, получаем:

n⁵-(n-1)² (n³+2n²+3n+4) =

= n⁵-(n-1) (n⁴+n³+n²+n-4) =

= n⁵-(n⁵-5n+4) = 5n-4 =

= 5 · 400-4 = 1996 (рублей).

Т.к. 19962004, то денег на мороженое не хватает.

3. Доказательство.

Если объединить учеников в группы по фамилиям, то каждый войдет в одну группу по фамилии и вторую - по имени; причем, группа может состоять и из одного человека, если у ученика, например, нет тёзки или однофамильца. Всего в классе образуется 11 групп: есть группы из 1, 2, 3, 4, 5, …, 11 человек. Поскольку

1+2+3+…+11 = 66 = 2 · 33, то каждый ученик уже учтен дважды, а, следовательно, групп равно 11.

Рассмотрим группу из 11 человек - допустим, однофамильцев. В других группах меньше 11 человек. Групп тёзок не более десяти. Значит, два однофамильца из 11 обязательно входят в одну группу тёзок, т.е. у них одинаковы и имя и фамилия.

4. Ответ: второй.

Решение. После первого хода первого игрока второму игроку надо первым ходом закрасить в любом из свободных углов доски три клетки уголком так, что оставить незакрашенными три клетки (Рис. 1),

Рис. 1

которые образуют уголок. В дальнейшем второй игрок делает любые ходы, не закрашивая эти три клетки. Когда других возможных ходов не остается, второй игрок закрашивает этот уголок. Ответного хода у первого игрока нет.

5. Доказательство.

А

С В D

N

M

На отрезке ВМ отметим точку N так, что BDN = 60°. Тогда в треугольнике BDN: В = 60° как угол, вертикальный углу равностороннего треугольника, D = 60° - по построению. Следовательно, по теореме о сумме углов треугольника BDN=60°. Значит, треу-гольник BDN - равносторон-ний. Поэтому BD = BN = DN.

Получаем: MN = BM - BN = CD - BD = CB = AB.

Рассмотрим треугольники ADB и MDN:

AB = NM, BD = DN и ABD = MND как внешние углы равносторонних треугольников. Значит, треугольники ADB и MDN равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому AD = DM.

Указания, решения и комментарии

9 класс

1. Ответ: 30 лет, 24 года, 18 лет.

Решение. Предположим, что в день 18-летия Веры Надежде исполнилось а лет, Любови - b лет. Так как Вера старшая из сестер и сумма 18+а+b делится на 18, то 18+а+b<54, т.е. а+b<36. Получаем: а+b=18.

В день совершеннолетия Надежды - через b лет - Вере исполнится (18+b) лет, а Любови 2b лет; причем сумма 18+b+18+2b=36+3b кратна 18. Значит, 3b кратно 18, а b кратно 6. Учитывая, что a+b=18, получаем возможные значения b: 0, 6, 12, 18. Составим таблицу возможных возрастов сестер на момент совершеннолетия Веры:

Возможные значения b

b=0

b=6

b=12

b=18

Вера

18

18

18

18

Надежда

18

12

6

0

Любовь

0

6

12

18

Вывод

-

+

-

-

Ситуация при b=0 означает, что Любовь родилась в день совершеннолетия Веры, а Надежда и Вера - в один день. Это противоречит утверждению: Вера - старшая сестра.

В ситуациях при b=12 и b=18 возникает противоречие с утверждением: Любовь - младшая сестра.

В ситуации при b=6 выполняются все утверждения задачи.

Поэтому Любовь достигнет совершеннолетия через 12 лет после совершеннолетия Веры. Сестрам в этот день исполнится: Вере - 30 лет, Надежде - 24 года, Любови - 18 лет.

2. Ответ: -1, -1 и 1; 0, 0 и n.

Решение. Обозначим записанные на доске числа а, b, c; найдем их произведение abc, сумму a+b+c и сумму попарных произведений ab+bc+ac. Не теряя общности, можно считать что

abc = a,

a+b+c=b,

ab+bc+ac=c.

Из первого равенства получаем:

a ≠ 0, или a = 0.

bc = 1;

При а ≠ 0 имеем .

Второе равенство системы принимает вид:

а+с = 0, т.е.

а = -с.

Третье равенство -

-1+1-с² = с,

с²+с = 0,

с (с+1) = 0.

Поскольку условие bc=1 выполняется при с≠0, получаем с = -1, а, следовательно, а=1, b= -1.

При а = 0 из второго равенства системы получаем с = 0. Все равенства в этом случае выполняются при любом значении b.

3. Ответ: может.

Решение. «Восстановим» листок из 2004 клочков:

2004=2∙1002;

1002=2∙501;

501=500+1;

500=2∙250;

250=2∙125;

125=124+1;

124=2∙62;

62=2∙31;

31=30+1;

30=2∙15;

15=14+1;

14=2∙7;

7=6+1;

6=2∙3;

3=2+1;

2=2∙1.

Запись m=2∙n показывает, что Вовочка разорвал все имеющиеся клочки на две части; запись p=q+1 - разорвал на две части только один клочок (m, n, p, q - натуральные числа).

Поскольку каждой записи соответствует время, равное 1 секунде, то на получение 2004 клочков требуется 16 секунд.

4. Доказательство.

P B R

M N

A K C

Рассмотрим треугольник АВС. Пусть M и N - середины сторон AB и ВС соответственно. Проведем перпендикуляр МК к стороне АС. Продолжим отрезок МК за точку M так, что МР=МК, соединим точки Р и В. Треугольники АМК и ВМР равны по двум сторонам и углу между ними.

Поэтому МРВ = МКА = 90°.

Поскольку МРВ и МКА - внутренние накрест лежащие углы, образованные пересечением РВ и АС прямой КР, то РВ || АС.

Продлим отрезок РВ за точку В до пересечения с прямой, проходящей через точки К и N, в точке R.

Треугольники BRN и CKN равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Таким образом, треугольник KPR прямоугольный и может быть составлен из трех частей треугольника АВС.

5. Ответ: «Один».

Решение. Предположим, что первый ответивший оказался лжецом. В этом случае оба его спутника либо лжецы, либо рыцари. Если оба спутника лжецы, то второй ответивший - тоже лжец - сказал правду. Противоречие. Если оба спутника рыцари, то второй ответивший - рыцарь - солгал. Противоречие.

Поэтому первый ответивший сказал правду, т.е. он рыцарь. Второй - солгал, а третий - рыцарь - должен дать правдивый ответ: «Один».

Указания, решения и комментарии

10 класс

1. Ответ: 23 землекопа.

Решение. Землекоп, получивший лопату первым, работал

60 ∙ (12-8)-5 = 235 (минут),

вторым -

60 ∙ (12-8)-5 ∙ 2 = 230 (минут),

последним -

60 ∙ (12-8) - 5n = 240-5n (минут),

где n - количество землекопов.

Среднее время работы одного землекопа до обеда составило

минут.

После обеда на рытье такой же траншеи каждый потратил

60 ∙ (16-13) = 180 (минут).

Получаем равенство

Поскольку n ≠ 0, 475-5n = 360; откуда n = 23.

2. Доказательство.

Преобразуем сумму:

9+99+999+…+=

= ((9+1)-1)+((99+1)-1)+((999+1)-1)+…+((+1)-1) =

= 10+100+1000+…+- 999 =

= 10(1+10+100+…+) -999 =

= 10∙-999.

Число 111…1, записанное с помощью 999 единиц делится на 111:

Второй множитель произведения содержит 333 единицы и 664 нуля, т.е. сумма цифр этого числа кратна 9, поэтому число делится на 9, а, следовательно, число делится на 999.

Т.к. уменьшаемое и вычитаемое разности 10∙ - 999

делятся на 999, то и разность делится на 999.

3. Ответ: 0;

Решение. Перепишем уравнение в виде

2004[х]=2005{х}.

Поскольку {х}[0; 1), то 2005{х}[0; 2005), т.е. 2004[х][0; 2005).

Значит, [х][0; );

откуда

[х] = 0 или [х] = 1.

Если [х] = 0, то 2005{х}=0, т.е.

{х}=0.

Получаем х = 0.

Если [х] = 1, то 2005{х}=2004,

{х}=

Получаем

4. Ответ: 8.

Решение. Продолжим сторону AD за точку D до пересечения с окружностью в

точке М, соединим отрезком точки С и М. Трапеция МСВА - равнобокая, т.к. вписана в окружность. По свойству пересекающихся хорд окружности

AD∙DM=BD∙DK.

Обозначим BD=x, BAD=. По теореме косинусов для треугольника ABD получаем:

C B

M A

D

K

BD²=AB²+AD² - 2ABADcos, т.е.

x²=16+64-64 cos,

x²=80-64 cos.

По свойству равнобокой трапеции

CM=AB=4, CMD=BAD=.

Поскольку CDAM, определим MD через гипотенузу СМ и угол :

MD = CM cos=4 cos.

Т.к. BK = BD+DK, DK = BK - BD = 9-x.

Получаем:

x (9-x) = 84 cos,

9x-x² = 32 cos.

Исключая из равенств 1 и 2 cos, получаем:

х²-80=18х-2х²;

х²-18х+80 = 0,

откуда х=8 или х=10. Значение х=10 не подходит, т.к. 109, т.е. BDBK, что противоречит условию задачи.

5. Ответ: 50.

Решение. Если предположить, что лжецов было больше, чем правдивых, то первый лжец, который покинул аудиторию, сказал правду, заявляя, что в аудитории лжецов осталось больше, чем правдивых. Значит, в этом случае возникает противоречие.

Если предположить, что правдивых было больше, то первый, покинувший аудиторию правдивый математик, не прав, заявляя, что в аудитории лжецов больше чем правдивых. Значит, и в этом случае возникает противоречие.

Если предположить, что лжецов и правдивых было поровну - 50 лжецов и 50 правдивых, то и в этом случае возникает противоречие. Например, первыми вышли двое правдивых, после чего в аудитории осталось 48 правдивых и 50 лжецов. Если третьим вышедшим после тестирования был лжец, в аудитории осталось 48 правдивых и 49 лжецов, а, следовательно, ответ лжеца - правдивый. Противоречие. Значит, однозначно определить количество лжецов нельзя.

Указания, решения и комментарии

11 класс

1. Ответ: 20 заданий.

Решение. Пусть каждый тест содержал а тестовых заданий. Тогда по физике абитуриент ответил правильно на 0,3а вопросов. Поскольку 0,3а - целое число, то а кратно 10, т.е. а=10n, nN. Так как а≥19, то n≥2. Полагая, что по русскому языку абитуриент ответил правильно на b вопросов, определяем общее число правильных ответов:

19+3n+b,

что по условию равно 0,5∙3а, или 15n. Получаем уравнение:

19+3n+b=15n, т.е.

b=12n-19.

Т.к. результат по русскому языку оказался хуже, чем по физике, получаем:

12n-19<3n,

n<

Получаем:

2 ≤ n < 2

n = 2.

Значит, каждый тест содержал 20 заданий.

2. Ответ: 270.

Решение. Искомое число кратно 10, т.е. имеет натуральный делитель, оканчивающийся цифрой 0.

Допустим , что искомое число имеет делителем число 9. Поскольку числа 9 и 10 взаимно простые, то в рассматриваемом случае искомое число кратно 90:

90, 180, 270, …

Среди делителей чисел 90 и 180 нет оканчивающихся цифрой 7; среди делителей числа 270 есть оканчивающиеся всеми цифрами от 0 до 9:

10, 1, 2, 3, 54, 5, 6, 27, 18, 9.

Покажем, что 270 - наименьшее натуральное число с таким свойством. Представим число 270 в виде произведения двух взаимно простых множителей:

270 = 10∙27.

Чисел, оканчивающихся цифрой 9 и меньших 27 - два: 9 и 19.

Если искомое число имеет делителем число 19, то это число кратно 190. Среди чисел, кратных 190, меньше 270 только само число 190. Выписав делители числа 190:

1, 2, 5, 10, 19, 38, 95, 190, -

замечаем, что среди них нет оканчивающихся цифрами 3, 4, 6, 7.

Значит, число 270 - наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет условию задачи.

3. Ответ: f (x)=x².

Решение. При х=у имеем:

f (0)=f (x)+f (x) - 2x²;

f (x)=x²+

При х=у=0 получаем:

f (0) = f (0) + f (0) - 0;

f (0) = 0.

Значит, f (x) = x².

4. Доказательство.

y

y=x²

A a² D B

h

a²-h C

-a 0 a x

Рассмотрим треугольник АВС с прямым углом С, гипотенуза AB которого параллельна оси Ох, а высота, проведенная к гипотенузе - CD. Точки пересечения прямой параллельной оси Ох, с параболой у=х² симметричны относительно оси ординат.

Поэтому, предполагая, что а>0, определяем координаты вершин А и В треугольника АВС:

А (-а; а²), В (а; а²);

тогда AB=2а.

Обозначим высоту CD буквой h. Найдем координаты точки С:

C (a²-h)

Поскольку С=90, то угол между векторами и прямой, а, следовательно, скалярное произведение векторов и равно 0, т.е.:

По смыслу задачи h0, поэтому h=1.

5. Ответ:

Решение. Обозначим длины сторон треугольника, противолежащие углам А, В, С буквами а, b, с соответственно; А=, В=, С=. Из условия задачи следует, что cos 0, cos 0, cos 0, т.е.  АВС - остроугольный.

Без ограничения общности можно положить, что a  b  c, тогда     . Поскольку на промежутке функция y = cos x убывает, получаем:

cos   cos   cos . Значит, a= cos , b= cos , c= cos .

По теореме синусов

т.е.

откуда

Получаем: 2=2 или 2+2=.

Если , то  Значит,  АВС - равносторонний со сторонами, равными Если то что невозможно.