- Учителю
- Лекция на тему: Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.
Лекция на тему: Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.
Занятие
Тема: Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.
Количество часов: 2 часа
Цель: повторить формулы для нахождения числа различных видов комбинаций: размещений, перестановок, сочетаний; научиться распознавать задачи на нахождение размещений, перестановок, сочетаний; решить простейшие комбинаторные задачи с помощью этих формул.
План:
1. Задача.
2. Выводы из решения задачи.
3. Решение задач с использованием данных формул.
Вопрос 1. Задача.
Задача.
"У вас есть 9 разных книг из серии "Занимательная математика". Сколькими способами можно:
1) расставить их на полке;
2) подарить три из них победителям школьной олимпиады, занявшим первые три призовых места;
3) выбрать три из них для подарка своему племяннику"
Для ответа на первый вопрос задачи вспомним:
Вопросы преподавателя
Ответы обучающихся
1. Как называются различные комбинации выстраивания нескольких предметов друг за другом?
- Перестановками
2. Что называется перестановками из n элементов?
- Перестановками из n элементов называются комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов
3. Чем отличаются друг от друга две различные перестановки?
- Порядком следования элементов
4. По какой формуле можно вычислить число всевозможных перестановок из n элементов?
-
5. Рассчитаем число всевозможных перестановок из 9 книг на полке
Для ответа на второй вопрос задачи вспомним:
Вопросы преподавателя
Ответы обучающихся
1. Как можно выбрать три книги из девяти для трех победителей?
- Произвольно, наборы из трех книг могут отличаться либо книгами, либо порядком их дарения
2. Как можно назвать наборы из 9 книг по 3 в каждом?
- Размещениями из 9 книг по 3
3. Что называется размещениями из n элементов по k элементов?
- Размещениями из n элементов по k элементов - называются комбинации из n элементов по k каждой, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком расположения элементов
4. Чем отличаются друг от друга две различные комбинации-размещения?
- Порядком следования элементов
- Составом элементов
5. По какой формуле можно вычислить число всевозможных размещений из n элементов по k элементов?
-
6. Рассчитаем число всевозможных размещений из 9 книг по 3 для победителей
Для ответа на третий вопрос задачи подумаем:
Вопросы преподавателя
Ответы обучающихся
1. Важно ли для племянника в каком порядке располагаются книги в его подарочном наборе?
- Нет
2. Как можно назвать комбинации из 9 книг по 3 в каждой?
-Сочетаниями из 9 книг по 3
3. Что называется сочетаниями из n элементов по k элементов?
- Сочетаниями из n элементов по k элементов - называются комбинации из n элементов по k каждой, отличающиеся друг от друга составом
4. Чем отличаются друг от друга две различные комбинации-сочетания?
- Составом элементов
5. По какой формуле можно вычислить число всевозможных сочетаний из n элементов по k элементов?
-
6. Рассчитаем число всевозможных сочетаний из 9 книг на полке 3 для победителей
Вопрос 2. Выводы из решения задачи.
Вопросы преподавателя
Ответы обучающихся
1. В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи называются комбинаторными. Для нахождения комбинаций - размещений, перестановок и сочетаний и их числа существуют специальные способы. Назовите признаки, по которым можно отличить друг от друга эти комбинации?
- Порядок следования элементов
- Состав элементов
2. Зафиксируем наличие перечисленных признаков в обобщающую таблицу:
Признаки
Порядок следования элементов
+
-
+
Состав элементов
-
+
+
Среди перечисленных ниже задач выделить те, в которых требуется найти
а)размещения;
б)перестановки;
в) сочетания.
Номера выбранных задач и способ нахождения числа комбинаций записать в таблицу:
Вопросы
Формула
№ задач
Задачи:
-
Сколько разных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, если цифры в записи числа используются только один раз?
-
Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых участвуют лишь цифры 1, 2, 3, 4, 5, причём цифры в записи числа не повторяются?
-
Сколькими способами можно составить четырёхцветный флаг из горизонтальных полос одинаковой ширины, имея четыре различных цвета?
-
Сколькими способами можно выбрать шесть делегатов на конференцию из 150 человек?
-
В полуфинале по шахматам участвуют 20 шахматистов, а в финал попадут только трое. Сколькими способами может образоваться финальная тройка?
-
Сколькими способами можно разместить на полке 5 книг?
-
Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы A, B, C, D, E ?
-
На тренировке 12 баскетболистов. Сколько разных пятёрок может составить тренер?
-
Сколько разных шестерок может составить тренер из 10 волейболистов?
-
Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не "били" друг друга?
-
Сколькими способами можно премировать одинаковыми призами троих человек из семи участников?
-
Сколькими способами можно составить флаг из четырёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал различных цветов?
-
В отряде 12 человек. Надо выбрать старосту и двух заместителей. Сколькими способами это можно сделать?
-
Сколькими способами можно разместить шесть человек за столом, на котором поставлено шесть приборов?
-
Сколько аккордов, содержащих три звука, можно взять на 12 клавишах одной октавы?
-
Курьер должен разнести пакеты в семь различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?
-
Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр: а) 1, 2, 5, 6, 7, 8? б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
-
Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?
Вопрос 3. Решить предложенные выше задачи, используя соответствующие формулы.
Вопросы для самопроверки:
1. Назовите формулу для вычисления числа перестановок.
2. Назовите формулу для вычисления числа размещений.
3. Назовите формулу для вычисления числа сочетаний.
Список литературы и ссылки на Интернет-ресурсы, содержащие информацию по теме:
1. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни - М.: Просвещение, 2014. - 431 с.: ил.
2. Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень - М.: Просвещение, 2014. - 415 с.: ил.
3. Yaklass.ru ().
4. Bymath.net ().
5