Учителю
Урок математики в 11 классе по теме «Некоторые способы решения иррациональных уравнений»

Урок математики в 11 классе по теме «Некоторые способы решения иррациональных уравнений»

Автор публикации: Гусева Е.В.

Дата публикации: 20.10.2012

Краткое описание: Решение иррациональных уравнений зачастую вызывает затруднения, так как требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций.У многих учеников единственным устойчивым знанием является применение метода возведения обеих

предварительный просмотр материала

Ведущей линией учебника А.Г.Мордковича (издательство «Мнемозина») является функционально-графическая линия. Иррациональные уравнения изучаются в 8 классе на очень примитивном уровне.

При этом иррациональные уравнения изучаются до введения иррациональных чисел, что, по-моему мнению, не совсем удобно.

В учебнике и задачнике для 10 - 11 классов содержится глава, посвященная методам решения уравнений. Отдельной темы, содержащей изучение только иррациональные уравнения нет.

А решение иррациональных уравнений зачастую вызывает затруднения, так как требуют хорошего знания теоретического материала, умения проводить исследования различных ситуаций.

У многих учеников единственным устойчивым знанием является применение метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Для некоторых этот метод является единственным.

При этом иногда ученики забывают делать проверку найденных корней после возведения частей уравнения в чётную степень корня.

Все высвеченные проблемы подвели меня к мысли, что необходимо уделить больше внимания вопросу изучения иррациональных уравнений и рассмотреть более глубоко этот материал на уроках математики.

Урок в 11 классе по теме:

«Некоторые способы решения иррациональных уравнений»

Цитата урока: (выписана на доске)

«Знание только тогда - знание, когда оно добыто усилием собственной мысли, а не памятью» - слова Л.Н. Толстого.

Цель:

обобщение знаний учеников по данной теме;
демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений;
показ возможности решения иррациональных уравнений на основе исследования;
формирование навыка самообразования, самоорганизации, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;
воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и умения общаться в группе;
повышение интереса к предмету.

Форма проведения: семинарское занятие.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Ход занятия:

Учитель:

Сегодня мы поговорим об иррациональных уравнениях.

На доске приведены примеры уравнений иррациональных и не являющихся иррациональными.

Назовите те уравнения, которые являются иррациональными.

Дайте определения иррационального уравнения.

Ответы учеников.(иррациональными являются уравнения 1), 3), 4), 6). Определение иррационального уравнения:

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.)

I. Учитель:

На предыдущих уроках мы рассматривали решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в степень корня (в основном в квадрат). При возведении частей уравнения в чётную степень мы получаем уравнение-следствие, решение которого приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней или нахождение области определения уравнения.

Однако при решении иррациональных уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению известного алгоритма решения.

В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с некоторыми из них мы сегодня познакомимся.

При подготовке к уроку некоторые ученики получили листы-рекомендации, в которых рассматриваются основные приёмы решения иррациональных уравнений. Ребята ознакомились с предложенными решениями и подобрали свои уравнения, решить которые предстоит нам на уроке.

II.Выступление учеников

1 ученик.

Решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в степень корня.

х + = 3х - 7

Решим данное уравнение традиционным способом - методом возведения обеих частей в квадрат. Слагаемое, содержащее квадратный корень оставим в левой части уравнения, а х перенесём в правую часть.

= 2х - 7

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Получаем:

х + 4 = 4 - 28х + 49

Перенесём все члены уравнения в одну часть, получаем квадратное уравнение

4 - 29х + 45 = 0

Корни этого уравнения х = 5 и х = 2,25

Решая это уравнение мы возводили обе части уравнения в квадрат. При возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается уравнение, являющееся не равносильное данному, а являющееся следствием исходного, следовательно, при этом возможно появление посторонних корней. Поэтому необходимым условием решения является проверка корней.

Если х = 5, то = 10 - 7

3 = 3 - верно

х = 5 - корень уравнения

Если х = 2,25, то = 4,5 - 7

2,5 = - 2,5 - неверно

х = 2,25 посторонний корень

Ответ: х = 5

Предлагаю решить в классе уравнение:

2 ученик. Решение уравнения методом исследования области определения уравнения.

Пусть дано уравнение: - = -

Возведение обеих частей в квадрат приведёт нас к громоздким вычислениям и трате времени на экзамене.

Воспользуемся методом исследования области допустимых значений заданного уравнения.

Область допустимых значений данного уравнения определяется системой неравенств <=> <=> х=2

Данное уравнение определено только при х = 2.

Проверим, является ли число 2 корнем уравнения:

- = -

5 = 5 - верно.

Ответ: х = 2.

Попробуйте решить уравнение: = х - 2

3 ученик. Использование свойства монотонности функции.

Я хочу рассказать об уравнениях, решение которых основывается на свойстве монотонности функций. Существуют теоремы:

Теорема 1. Пусть уравнение имеет вид: f(x) = с, где f(x) -монотонно возрастающая (убывающая) функция, а с - число, входящее область значений функции f(x), тогда уравнение f(x) = с имеет единственный корень.

Теорема 2. Пусть уравнение имеет вид f(x)= g(x), где функции f(x) и g(x) «встречно монотонны», т.е. f(x) возрастает, а g(x) убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.

Если удается заметить эти свойства функций в уравнении или привести уравнение к таким видам, и при этом нетрудно угадать корень уравнения, то он и будет единственным решением данного уравнения.

Пример для изучения

Пусть дано уравнение: + = 6

ОДЗ уравнения: х+60; х

Функции = и = являются возрастающими на промежутке [- 6; , поэтому функция у = + так же является возрастающей на этом промежутке, и следовательно принимает любое значение, в том числе и 6, только один раз. Значит, уравнение имеет единственный корень.

Найдём этот корень подбором.

х = 2.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем данного уравнения.

Ответ: х = 2.

Я предлагаю решить на уроке уравнение:

+ = 9 -

Это уравнение можно попытаться решить возведением обеих частей в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени.

Попробуйте использовать свойства монотонности функций, входящих в уравнение.

Ответ: х = 1

4 ученик Метод введения новой перменной.

Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

Пример для изучения:

Дано уравнение: + =

ОДЗ уравнения: х х

Пусть , тогда

Получаем уравнение t + =

= = 2

Тогда

или

Возведём обе части уравнения в 5-ю степень. При возведении обеих частей уравнения в нечётную степень получаем уравнение, равносильное данному, следовательно, не требуется проверка найденных корней. Получаем

; х = ; х = 2