Степенная функция.

Обзор

1)

а) Если , то график

б)

2)

а) Если нечетное,

б) Если четное,

3)

а) Если четное

б) Если нечетное

Определение:

Функция вида , где , , называется степенной функцией.

Свойства:

1) Область определения степенной функции определяется индивидуально для каждой конкретной степенной функции.
Например,

Замечание 1:

Функция . Какая область определения этой функции?

, .

Эти функции совпадают для . Не существует степени с отрицательным основанием.

не имеет смысла

.

Замечание 2:

Где существуют все степенные функции?

При !

Все степенные функции определены при .

Поэтому это не область определения, а то множество, на котором сравниваем все свойства!

1) Область определения .

2) Множество значений функции (при ).

Если , то , значит, степенная функция не может принимать отрицательные значения и значения равное нулю. Следовательно, степенная функция при не может принимать не положительные значения.

Докажем, что она может принимать положительные значения. Мы хотим доказать, что множество все положительные числа.

Это означает, что любому положительному числу найдется единственный .

Уравнение при любом имеет решение относительно .

обе части заведомо больше нуля, следовательно, можно возвести в любую степень.

, .

Значит при множество значений все положительные числа.

3) Монотонность.

тогда .

а) .

Пусть, следовательно, . Докажем, что .

Если , то , то есть функция возрастает, тогда , следовательно, . Следовательно, при показательная функция возрастает в первой четверти.

б) .

Пусть, если , тогда , тогда , следовательно, . Т.е. при показательная функция убывает.

4) Выпуклость (связана с показателем).

Основание больше 1 - выпуклость вверх.

Основание меньше 1 - выпуклость вниз.

Что означают слова выпуклость вверх и вниз?

Сравним с прямой .

Сравним и . ().

Рассмотрим разность

.

а) Если , следовательно, , возрастающая функция, т.е. если , то , т.е. . Значит скобка . Это значит, что при выше чем ( выше чем ).

Если , поскольку это возрастающая функция, то , т.е. . Значит, при график функции ниже графика функции .

б) Если , то , следовательно, убывающая функция.

5) Графики всех степенных функций, проходящих через точку .

Это узловая точка, которая помогает решать множество задач.