Разработка урока 'Иррациональные уравнения' (11 класс)

Тема: Иррациональные уравнения

Цели:

1. Образовательные: Обобщение и расширение начальных знаний учащихся по данной теме, Демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений, обучение учащихся подходить к решению уравнений с исследовательской позиции

2. Воспитательные: воспитание самостоятельности, умения выслушать других, общаться в группах, повышение интереса к предмету.

3. Развивающие: развитие логического мышления, алгоритмической культуры, навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при выполнении домашнего задания, умения анализировать, сравнивать, обобщать и делать выводы.

Оборудование: Компьютер, мультимедийный проектор, доска, мел.

Ход урока:

1. Организационный момент: Сообщение темы урока, актуальности темы и цели урока

Актуальность: Иррациональные уравнения встречаются в некоторых приложениях экономических и технических дисциплин, поэтому подлежат обязательному изучению как на базовом, так и на профильном уровне. Данный тип уравнений входит в обязательный перечень тем по математике, входящий в материалы ЕГЭ.

2. Задание классу:

Ответ: Метод возведения в степень

Четверо решают у доски.

Решение уравнений:

1. 2) 3) 4)

5)

Возведем обе части в квадрат, получим:

Учитель: Давайте сделаем проверку:

1)Значит х=623 является корнем уравнения.

2), значит х=18 не является корнем уравнения.

3) , значит х=3 является корнем уравнения.

4) Значит х=2 и х=1 не являются корнями уравнения.

5)

Попробуйте ответить почему во втором и четвертом уравнении найденные корни не удовлетворяют уравнению?(отвечают несколько учащихся)

Учитель: На самом деле ответ прост.

Пусть при подстановке в иррациональное уравнение вместо х некоторого числа мы получим равенство 3=-3. Очевидно, что это равенство неверное, значит данное значение х не является корнем данного иррационального уравнения. Теперь возведем уравнение в четную степень, например в квадрат, получим другое уравнение и подставим это же самое значение х в полученное уравнение, получаем 9=9. Это равенство верное. Значит данное значение х является корнем полученного уравнения. Говорят, что такие два уравнения называются неравносильными ( у них разные корни, т.е. решение одного из них не является решением другого). Данное значение х, являясь корнем полученного уравнения, не является корнем исходного уравнения. Такие корни называют посторонними корнями ( в нашем случае - посторонними корнями исходного уравнения).

В примере 2, х=18 является посторонним корнем, а в примере 4 оба найденных корня - постронние.

Какой можно сделать вывод? Дело в том, что возведение обеих частей в четную степень не всегда является равносильным преобразованием и может привести к появлению посторонних корней. Поэтому при решении уравнений этим способом надо делать проверку корней.

Поговорим отдельно о некоторых рассмотренных уравнениях:

2) это уравнение заведомо не может иметь корней, так как принимает только неотрицательные значения при всех допустимых значениях х, а правая часть отрицательна. Значит ни при каком значении х это равенство не выполняется, т.е. уравнение не имеет решений.

Отдельного внимания требуют примеры 1, 3 и 5

1. В уравнениях 1 и 3 и левая и правая части неотрицательны, а это означает, что у этих уравнений посторонних корней быть не может, так как исключен случай типа «3=-3», значит возведение обеих неотрицательных частей уравнения в четную степень, есть равносильное преобразование и поэтому в таких случаях проверка не нужна.

Следует заметить, что случай типа «2=3» рассматривать не имеет смысла, так как если при каком то значении х мы получаем неверное равенство 2=3, то возведя в степень, например в квадрат, мы снова получим неверное равенство 4=9. Следовательно, это значение х корнем полученного уравнения являться не будет, и значит мы его и не получим.

Рассмотрим еще один случай, пусть при некотором значении х мы получаем равенство . Данное выражение не имеет смысла. Т.е данное значение х не является корнем уравнения. Теперь возведем в квадрат, получим -9=9 тоже неверное равенство. Равенство данного типа никогда не выполнится, т.к возводя в квадрат или в любую четную степень, мы получаем, что подкоренное выражение является чеиной степенью неотрицательного числа, а значит и неотрицательною поэтому такой случай можно не рассматривать вообще, в силу его невозможности.

Сделаем замечание:

По той же причине, при возведении обеих частей уравнения ( любого знака) в нечетную степень проверка также не нужна.

2)в уравнении 5 может оказаться следующая ситуация, что при каком то значении х получим выражение . Т.е данное значение х не является корнем исходного уравнения. Возведя в квадрат, при этом же значении х получим,-3=-3. Т.е. данное значение х является корнем приведенного уравнения, а значит для исходного уравнения это посторонний корень. Поэтому в уравнениях данного вида необходима проверка.

Теперь мы подошли к новому методу решения иррациональных уравнений называемого методом равносильных преобразований.

Скажите: В каком случае возведение в степень является равносильным преобразованием?

Ответ: когда обе части уравнения неотрицательны.

Рассмотрим основные случаи иррациональных уравнений, решаемых методом равносильных преобразований.

Учитель: Давайте теперь продемонстрируем решение первых двух типов иррациональных уравнений, решаемых методом равносильных преобразований, а остальные типы будем рассматривать на следующих уроках. Причем сразу проведем сравнительный анализ, т.е.решать уравнения будем двумя известными нам способами.

Метод возведения в степень.

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим

. Решаем полученное квадратное уравнение:

Теперь сделаем проверку корней.

1)х=-1

. Это равенство неверное, значит х=-1 - посторонний корень.

2)х=2

. Получили верное равенство. Значит х=2 является корнем уравнения. Ответ:х=2

Метод равносильных преобразований

Значит,х=2. Ответ: х=2

Метод возведения в степень

Возведем обе части уравнения в квадрат

, приведем уравнение к стандартному виду:

. Его корнями являются числа х=0 и х=1

Сделаем проверку:

х=0 , получаем верное равенство, значит х=0 является корнем уравнения.

х=1, , получаем верное равенство, значит х=1 является корнем уравнения. Ответ: х=0 и х=1

Метод равносильных преобразований:

, Значит х=0 и х=1

Ответ:х=0 и х=1

Учитель: Скажите, что нового вы сегодня узнали?

Можно ли однозначно сказать, какой метод решения иррациональных уравнений легче реализовать?( выслушиваются ответы учащихся, очевидно, что мнения будут разными)

Для ответа на этот вопрос, давайте каждый из Вас заполнит таблицу и сам решит для себя каким способом ему легче решать.

( после заполнения еще раз выслушиваются мнения учащихся, возможно у кого то мнение поменяется. Идет обсуждение.)

Подведение итогов урока.

Домашнее задание.