- Учителю
- Методическая разработка по теме 'Логарифмы'
Методическая разработка по теме 'Логарифмы'
Министерство образования Московской области
Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования
«Российский художественно - технический колледж игрушки»»
ЛОГАРИФМЫ
Методические указания к решению упражнений
при изучении темы «Свойства логарифмов»
рассмотрены и одобрены на заседании предметной (цикловой) комиссии общеобразовательного и социально-экономического циклов
Протокол № _______ от «____» __________20____ г.
Председатель ПЦК ___________ М.В. Рыбалкина
2012 г.
Логарифмы: Методические указания / Сост. Рыбалкина М.В. - Сергиев - Посад: ,
2012- 13с.
Данные методические указания содержат необходимые теоретические сведения по теме «Логарифмы» дисциплины математика, примеры решения упражнений, набор упражнений для самостоятельного решения с ответами к некоторым из них, десять вариантов для выполнения контрольной работы.
Содержание
Введение…………………………………………………………………………………………………………..4
-
Определение логарифма ……………………………………………………………………5
-
-
Примеры для самостоятельного решения………………..…………….7
-
-
Преобразование логарифмических выражений………………..…………….7
-
Примеры для самостоятельного решения…………………………………..9
-
-
Контрольная работа по теме: «Свойства логарифмов»………………….11
Список литературы ………………………………………………………………….…………14
Введение
Настоящие методические указания предназначены в помощь учащимся всех форм обучения при изучении темы «Свойства логарифмов». Разделы указаний содержат необходимые теоретические сведения (определения, формулы без доказательства) и подробно разобранные упражнения. В конце каждого раздела предлагаются задания для самостоятельного решения с ответами для самопроверки.
Теоретические сведения и примеры для самостоятельного решения дают возможность использовать данные методические указания на практических занятиях по математике, а также для самостоятельного изучения темы «Свойства логарифмов».
В конце указаний приведены десять вариантов заданий для выполнения контрольной работы.
-
Определение логарифма
Понятие логарифма числа вводится при решении показательных уравнений, например, решим уравнение , в котором необходимо найти показатель х, представим правую часть уравнения в виде двух в четвертой степени . В этом уравнении удалось левую и правую части представить в виде степени с одинаковым основанием 2. Ответ такого уравнения . Но уравнение таким способом решить не удается. А корень все-таки есть. Этот корень называют логарифмом числа b по основанию а и обозначают logаb. Например, корнем уравнения является число 4, т.е log216=4.
Из определения следует, что записи logаb=х. и ах=b равносильны.
Например, log28=3, потому что при возведении основания 2 в степень 3 получается 8: 23=8, действительно 222=23=8. Значит в результате вычисления логарифма 8 по основанию 2 получается показатель степени двойки, при возведении в которую получаем восемь.
Определение логарифма можно кратко записать так: . Это равенство справедливо при b>0, a>0, а1. Его обычно называют основным логарифмическим тождеством.
Для вычислений значений логарифмов полезно использовать значения степени следующих чисел:
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1024
31 = 3
32 = 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243
41 = 4
42 = 16
43 = 64
44 = 256
45 = 1024
51 = 5
52 = 25
53 = 125
54 = 625
61 = 6
62 = 36
63 = 216
71 = 7
72 = 49
73 = 343
81 = 8
82 = 64
83 = 512
91 = 9
92 = 81
93 = 729
101 = 10
102 = 100
103 = 1000 и т.д.
Также необходимо помнить правила возведения чисел в степень с отрицательным, дробным и нулевым показателем: а0=1; ;
Пример 1. , т.к. 33=27
Пример 2. , т.к. 30=1
Пример 3. , т.к. 2-1=
Пример 4. Вычислить
Пусть. По определению логарифма 32t=64. Это простейшее показательное уравнение. 32=25, 64=26, поэтому (25)t=26; 25t=26 ; 5t=6, t=
Ответ:
Пример 5. Вычислить
Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим
Пример 6.
Для некоторых логарифмов имеются специальные обозначения: десятичный log10х=lgx, натуральный logех=lnx.
Пример 7. lg1000=3 , т.к. 103=3
Пример 8. lg0,01=-2 , т.к. 10-2==0,01
-
Примеры для самостоятельного решения:
Ответы:
№ задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ответ
2
4
0
1
-2
-1
1
2
25
0,5
-
Преобразование логарифмических выражений
При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.
Пусть а>0, а1, b>0, с>0, p - любое действительное число. Тогда справедливы формулы
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Формулы (1) и (2) можно применять к выражениям, содержащим логарифмы с одинаковыми основаниями.
Формулы (4) и (5) позволяют переходить от одного основания логарифмов к другому.
Пример 1. Вычислить:
На основе формул (1) и (2) преобразуем
Теперь можно применить формулу (4), т. е. перейти к новому основанию, в данном примере логарифмы чисел 16 и 8 легко вычислить при основании 2, тогда
Пример 2. Вычислить
Применим формулу (3), для этого вспомним определение степени с рациональным показателем (), тогда
Пример 3. Зная, что , найти
Применяем формулу (1)
Пример 4. Прологарифмировать выражение по основанию 5.
Запишем данное выражение в виде
Теперь применим формулы (1), (2) и (3)
Пример5. Найти х по данному его логарифму (а>0,b>0):
В этом примере необходимо правую часть представить в виде одного логарифма по основанию 4:
(2 представили в виде log416)
(применили формулы (1), (2) и (3))
-
Примеры для самостоятельного решения:
-
-
-
-
-
-
-
-
Зная, что , найти
-
Прологарифмировать выражение по основанию 10.
-
Найти х по данному его логарифму (а>0,b>0):
Ответы:
№ задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ответ
9
1
1,5
1
2
1,5
0,6
-1+2lga-lgn
Контрольная работа по теме: «Свойства логарифмов»
-
Вычислить:
3.
5.
7.
9.
2.
4.
6.
8.
10.
-
Вычислить:
-
3.
5.
7.
9.
4.
6.
8.
10.
-
-
Вычислить:
-
3.
5.
7.
9.
4.
6.
8.
10.
-
-
Вычислить:
-
3.
5.
7.
2.
4.
6.
8.
9.
10.
-
-
Вычислить:
-
Вычислить:
-
1.
3.
5.
7.
9.
2.
4.
6.
8.
10.
-
Доказать тождество:
-
Найти значение выражения:
-
-
, если
6. , если
-
, если
-
, если
-
, если
-
, если
-
, если
-
, если
-
, если
-
, если
-
-
Прологарифмировать выражение:
-
1. по основанию 2
6. по основанию 4
2. по основанию 3
7. по основанию 2
3. по основанию 5
8. по основанию 8
4. по основанию 3
9. по основанию 9
5. по основанию 6
10. по основанию 10
-
Найти х по данному его логарифму (а>0,m>0,c>0,h>0,n>0,k>0):
-
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
10.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
-
Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа - учебник для 10-11 кл. общеобразоват. Учреждений - М.: Просвещение, 2006.- 384с.
-
Креславская О.А. ЕГЭ-2009. Математика: Сдаем без проблем! - М.: Эксмо, 2008.-192с.