Конспект урока 'Задачи с параметром'

Урок. «Задачи с параметром». Алгебра и начала анализа.11 класс Мордкович А.Г.,

Цели:

1. Знать, что такое уравнение с параметрами, что значит решить такое уравнение.

2. Уметь решать простейшие уравнения с параметрами.

3. Развивать интерес к заданиям исследовательского характера.

Ход урока

Устные упражнения.

1) Определите тип уравнения. Сколько корней у него может быть? Решите его.

а) 2х - 6 = 0, 0х = 6, 0х = 0.

Повторим основные сведения:

ах = в - линейное

а 0 х = - один корень,

а = о, в 0 - нет корней,

а = 0, в = 0 - х - любое число.

б) Определите количество корней 2х² - 3х + 8 = 0 (т.к. Д < 0, то нет корней.)

Измените условие так, чтобы полученное уравнение имело два корня.

Повторим основные сведения:

ах² + вх + с = 0 , а 0 - квадратное

1. Если Д > 0, то 2 корня,

2. Если Д = 0, то 1 корень,

3. Если Д < 0, то нет корней.

в) = 5

Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.

г) lхl = 10

Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.

2) Чем отличаются уравнения ах = 6 и 3х = 6, ах² + 7х + с = 0 и 2х²-3х+6 = 0?

(Ответ учащихся: в первом и третьем уравнениях не числовые коэффициенты).

Учитель: Действительно, в уравнениях ах = 6 и ах² + 7х + с = 0 не числовые коэффициенты, а буквенные. Именно такие уравнения и станут предметом нашего изучения на уроке.

3. Изучение нового материала.

1) Определение. Уравнение, в котором помимо переменной содержится буквенное выражение, называется уравнением с параметрами.

Примеры: аx + в = 0 (x - переменная, а и в - параметры),

аx² + вx + с = 0 (x - переменная, а, в и с - параметры).

2) Чаще всего встречаются две постановки задач.

Первая: для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.

Вторая: найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

Определение. Решить уравнение с параметром - значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

Решение уравнений. (Учащиеся привлекаются к поиску ответов).

1). Простые уравнения без ветвлений:

а) x - а = 0 Ответ: при а ( - , + ) х = а.

б) 5x = а Ответ: при а ( - , + ) х = .

в) x : 8 = а Ответ: при а (- , + ) х = 8а.

2). Простые уравнения с ветвлениями:

а) аx = 10 Ответ: при а 0 х = , при а = 0 решений нет.

б) 0x = а Ответ: при а 0 корней нет, при а = 0, х - любое число.

в) [х] = а Ответ: при а < 0 корней нет, при а = 0 х = 0, при а > 0, х = а.

г) (а² - 4)x = а² + а - 6

Решение г). Если а² - 4 0, т.е. а ± 2, то х = .

При а = -2 уравнение имеет вид: 0х = -4, т.е. не имеет корней.

При а = 2 исходное уравнение принимает вид: 0х = 0, т.е. х - любое число.

Ответ: при а ± 2 х = ,

при а = - 2 корней нет,

при а = 2 х - любое число.

4. Закрепление. (Коллективный поиск решения, оформление решения на доске и в тетрадях учащихся).

1) Решить уравнение а (а - 1) = а - 1.

Решение. Перед нами линейное уравнение, имеющее смысл при всех допустимых значениях а. Будем решать его «как обычно»: делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном. Но всегда ли возможно деление? (Нет. Делить на ноль нельзя.)

Придется рассмотреть отдельно случай, когда коэффициент при неизвестном равен 0. Получим:

1. а = 1, тогда уравнение примет вид 0·х = 0, где х - любое число;

2. а = 0, тогда 0∙х = - 1 - уравнение корней не имеет;

3. а 0, а 1, тогда а (а - 1)·х = а - 1 х = .

Ответ: 1) если а 0, а 1, то х = ;

2) если а = 1, то х - любое число;

3) если а = 0, то корней нет.

2) Решить уравнение (а - 1)х² + 2 (2а - 1)х + 4 а + 3 = 0.

Решение. Рассмотрим два случая:

1. а = 1 - получим линейное уравнение 2х + 7 = 0, откуда х = - 3,5;

2. а 1 - получим квадратное уравнение.

Рассмотрим дискриминант: D = (2а - 1)² - (а - 1)(4а + 3) = - 3а + 4.

Далее, если а > , то D < 0 и уравнение корней не имеет.

Если же а , то х_1,2 = .

Ответ: 1) если а > , то корней нет;

2) если а = 1, то х = - 3,5;

3) если а и а1, то х_1,2 = .

3) При каких значениях а уравнение sin 2x - a sin x=0 имеет решения для каждого а, указать их?

Решение.

2sin x cos x - a sin x = 0;

sin x (2 cos x-a) = 0

Sin x = 0 или 2cos x - a = 0

1. x=πn при любом значении а

2. cos x = a/2, есть решения, если |а|/2≤1, -2≤а≤2

x = ± arccos a/2 + 2πm, m € Z

Итак, при а € (-∞;+ ∞), х = πn, n € Z

при а € [-2;2], х = ± arcos a/2 + 2πm, m € Z

Ответ: а € (-∞;+ ∞), х = πn, n € Z

а € [-2;2], х = ± arcos a/2 + 2πm, m € Z

Примеры заданий на исследование уравнений.

Особенно часто встречаются задачи на расположение корней квадратного уравнения. При их решении хорошо «работают» графические иллюстрации. Расположение корней относительно заданных точек плоскостью определяется направлением ветвей соответствующей параболы, координатами вершины, а также значениями в заданных точках.

Например.

1) При каких значениях параметра а уравнение (а² + а + 1)х² + (2а - 3)х + а - 5 = 0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?

Решение. Пусть f(х) = (а² + а + 1)х² + (2а - 3)х + а - 5. Так как а² + а + 1 >0, то для квадратичной функции f(х) условие задачи может выполняться только при условии f (1) < 0.

Решая неравенство f(1) = а² + 4а - 7 < 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .

Ответ: -2 - < а < - 2 + .

2) При каких значениях параметра m корни уравнения (m - 1)х² - 2mх + m + 3 = 0 положительны?

Решение. Пусть f(х) = (m-1)х² - 2 mх + m + 3 тогда:

1) если, m = 1,то -2х + 4=0, х= 2- корень положителен;

2) если m 1, то с помощью рисунка можно получить следующие соотношения:

Рассмотрим 2 случая:

1) если m-1 < 0 ( рис. а)), тогда из 2 и 3 неравенств последней системы получим m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.

2) если m -1> 0, ( рис. б)), тогда из 2 и 3 неравенств последней системы получим, что m > 1, т.е. окончательно 1,5 m > 1;

Ответ: m (-; -3)

Рассмотрим задачи на установления числа корней уравнения.

При каких значениях а уравнение имеет единственный корень?

Решение. В силу свойств показательной функции данное показательное уравнение равносильно уравнению

(а-1)х² +2(а+3)х + а = -2,

т.е. исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда уравнение

(а-1)х² +2(а+3)х + а +2 = 0; имеет единственный корень.

При а=1 имеем ;

При а ≠ 1 квадратное уравнение имеет один корень если Д=0. Д= 5а + 11 ; а=-2.2

Итак, исходное показательное уравнение имеет один корень только при а = 1 и

при а = -2,2

Ответ: а=-2,2, а=1.

Пример 1. При каких значениях параметра, а уравнение 2 cos²x - (2а + 9)cosx + 9а = 0 не имеет корней.

Решение. Пусть у = cosх, тогда исходное уравнение примет вид 2у² - (2 а + 9)у + 9а = 0, корни которого у₁ = а, у₂ = 4,5.

Уравнение cosх = 4,5 корней не имеет, а уравнение cosх = а не имеет корней, если > 1.

Ответ: (- ; -1) (1; ).

Задачи на нахождение общего корня двух уравнений.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение х² + 3х + 7а -21 =0 и х² +6х +5а -6 =0 имеют общий корень?

Решение. Исключим параметр а из полученной системы.

Для этого первое уравнение умножим на (-5), второе умножим на 7, а результаты сложим.

Получим: 2х² + 27х +63 =0, корни которого х₁ = -3, х₂ = -10,5.

Подставим корни в одно из уравнений и найдем значение параметра а.

Ответ: 3 и - 8,25.

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение х² - ах + 2 = 0 и 3х² + (а - 9)х+ 3=0 равносильны?

Решение. Как известно уравнения равносильны, если множество их корней совпадают. Рассмотрим 2 случая.

1) Уравнения не имеют корней (множество корней пусто). Тогда их дискриминанты отрицательны:

Система неравенств решений не имеет.

2) Уравнения имеют общие корни. Тогда

Следовательно, данные уравнения могут иметь общие корни только при а = 3 или а = .

Проверить самостоятельно!

Задачи с применением геометрической интерпретации.

Решение задач с параметрами может существенно облегчить использование графиков.

Пример 1. Укажите количество корней в зависимости от параметра а: .

Решение.

Построим график функции а =.
Количество корней можно увидеть на рисунке:

Ответ: 1) если а < 0, то корней нет;

2) если а = 0, а > 4, то 2 корня

3) если 0 < a < 4, то 4 корня.

4) если а = 4, то 3 корня

Итог урока. Самостоятельную работу можно предложить учащимся как в классе, так и в качестве домашней контрольной работы по теме.

ОТВЕТЫ