Конспект урока

Тема урока:

Уравнение окружности

Цели:

Образовательные: Вывести уравнение окружности, рассмотрев решение этой задачи как одну из возможностей применения метода координат.

Уметь:

- Распознать уравнение окружности по предложенному уравнению, научить учащихся составлять уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному уравнению.

Воспитательные: Формирование критического мышления и навыков работы в группе.

Развивающие: Развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Уметь:

- Видеть проблему и наметить пути её решения.

- Кратко излагать свои мысли устно и письменно.

Тип урока: усвоения новых знаний.

Оборудование: ПК , мультимедийный проектор, экран.

План урока:

1. Вступительное слово - 3 мин.

2. Актуализация знаний - 2 мин.

3. Постановка проблемы и её решение в ходе общеклассной дискуссии -10 мин.

4. Фронтальное закрепление нового материала - 7 мин.

5. Самостоятельная работа в группах - 15 мин.

6. Презентация работы группы 2. Обсуждение - 5 мин.

7. Итог урока. Домашнее задание - 3 мин.

Ход урока:

1. Вступительное слово

Формулы координат середины отрезка и расстояния между двумя точками можно использовать для решения более сложных геометрических задач. С этой целью следует ввести прямоугольную систему координат и записать условие задачи в координатном виде. После этого решение задачи проводится с помощью алгебраических вычислений.

Такой метод решения задач принято называть методом координат.

Сегодня мы с вами используя метод координат, выведем уравнение окружности.

2.Актуализация знаний

Повторение материала, изученного ранее на слайде 3:

- Запишите формулу нахождения координат середины отрезка.

- Запишите формулу вычисления длины вектора.

- Запишите формулу нахождения расстояния между точками (длины отрезка).

3. Постановка проблемы и её решение

Осуществляется в ходе общеклассной дискуссии по плану, предложенному на слайдах 4 - 7 презентации (Приложение 1.

- Презентация «Уравнение окружности»).

Слайд 4 презентации

Как вы считаете, что значит составить уравнение окружности, и что для этого нужно знать?

Всякую фигуру мы рассматриваем как совокупность точек, из которых она состоит, и задать фигуру- это значит задать способ, по которому можно было бы узнавать принадлежит ли та или иная точка рассматриваемой фигуре или нет.

Какое самое важное условие можно выделить в определении окружности?

Слайд 5 презентации

Слайд 6 презентации

Слайд 7 презентации

Итак, что надо знать для составления уравнения окружности?

Предложите алгоритм составления уравнения окружности.

Вывод: слайд8, записать в тетрадь.

Слайд 8 презентации

4.Закрепление

Фронтальная работа. Выполнить упражнения, предложенные на слайдах 9 - 12.

Слайд 9 презентации

Слайд 10 презентации

Слайд 11 презентации

Слайд 12 презентации

5. Самостоятельная работа в группах

Для проведения следующего этапа урока класс делится на 3 группы:

- 1 группа с низким уровнем мотивации к учебе;

- 2 группа высокий уровень;

- 3 группа - средний.

Задание группам слайды 13-19

Слайды 13, 14 презентации

Учащиеся группы получают карточки на бумажном носителе и работают на них. Карточки сдаются на проверку.

Слайды 15, 16 презентации

Решение этой задачи заполняется в таблице на слайде и сразу же проецируется на экран.

Ответы к заданию для группы 2

Дано

Радиус

Координаты центра

^А(0;−6)

^{В(0; 2)}

^{d 2= (x}₂ ^{- x}₁^{)2 + (y}₂ ^{- y}₁⁾²

СВ ²=R ²=(0-0)²+(2+2)²=16

R ²=16

R =4

^{А (0; −6)}

^{В (0; 2) .}

^{С ( 0 ; -2)-середина АВ}

^{С ( 0 ; -2 )-центр}

^А(−2;0)

^{В( 4; 0)}

СВ ²=R ²=(4-1)²+(0-0)²=9

R ²=9

R =3

^А(−2;0)

^{В( 4; 0)}

^{С(1;0)-центр}

Слайды 17, 18 презентации

Решение оформляется в тетради. Тетрадь сдается на проверку.

Ответы к заданиям группы 3:

№ 1

1. Центр окружности - А(3;2);

2. R = АВ;

АВ² = (7 - 3)²+ (5 - 2)² = 25; АВ = 5;

3. Уравнение окружности (х - 3)² + (у − 2)²= 25.

№2

R² = ОС² = (3 - 0)² + (-1-0)² = 9 + 1 = 10;

Уравнение окружности: (х - 3)² + (у + 1)² = 10.

6. так, сегодня на уроке мы с вами не только вывели уравнение окружности,но ия на экран.фигуру- это ззначитзадать способ,по котороПрезентация работы группы 2

Обсуждение.

Таблица и алгоритм решения задачи представляется группой на экране, записывается в тетрадь как план решения задачи для домашней работы. (Задача №969).

7. Итог урока. Домашнее задание

Итак, сегодня на уроке мы с вами не только вывели уравнение окружности, но и рассмотрели его применение при решении задач. Кроме того, научились сами составлять алгоритмы решения задач. А в работе по готовому алгоритму я предлагаю вам поупражняться при выполнении домашней работы.

Задание на дом:

1. Повторить: уравнение окружности, уравнение окружности с центром в начале координат.

Разработка урока «Применение уравнения окружности к решению задач», геометрия 9 класс

Тема урока:

Применение уравнения окружности к решению задач

Цели:

Образовательные: Показать связь между алгеброй и геометрией.

Уметь:

- Находить уравнение окружности ; приводить формулу к стандартному виду.

- Применять современные ИКТ для оформления результатов исследования.

- В комплексе применять полученные знания

Воспитательные: Формирование критического мышления и навыков работы в группе.

Развивающие: Приобретение навыков работы с большими объёмами информации.

Уметь:

-Видеть проблему и наметить пути её решения.

-Кратко излагать свои мысли устно и письменно.

Тип урока: Обобщение и оценка знаний.

Оборудование: ПК , мультимедийный проектор, экран, оценочные листы для учителя и учащихся.

План урока:

1. Вступительное слово учителя - 3 мин.

2. Актуализация знаний учащихся (общеклассная дискуссия), составления алгоритма приведения уравнения окружности к стандартному виду - 10 мин.

3. Самостоятельная работа обучающего характера - 7 мин.

4. Закрепление полученного алгоритма. Рассматривается на примере задачи Аполлония Пергского, (260-170 гг. до н.э.), объяснение учителя - 7 мин.

5. Защита творческой работы учащихся теме: «Уравнение окружности. Загадочная формула». Обсуждение - 15 мин.

6. Подведение итогов. Задание на дом - 3 мин.

Ход урока:

1. Вступительное слово

На последних уроках геометрии мы познакомились с еще одним способом решения задач методом координат.

Алгебра и геометрия, которые сейчас большинство школьников воспринимают как совершенно разные науки, на самом деле очень близки. С помощью метода координат можно было бы изложить весь курс геометрии используя только числа и алгебраические операции.

Задавая фигуры уравнением и выражая в координатах геометрические соотношения, мы применяем алгебру к геометрии. Так мы поступили, когда выразили через координаты основную геометрическую величину - расстояние между точками, а затем, когда вывели уравнение окружности и прямой.

Пользуясь координатами, можно истолковывать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функций - первый пример такого применения метода координат.

Метод координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии, называемый аналитической геометрией.

Сегодня мы поговорим об уравнении окружности и проследим, как алгебра помогает в решении геометрических задач и наоборот.

2. Актуализация знаний

На доске написаны уравнения. Какие фигуры они задают? Общеклассная дискуссия сопровождается презентацией (Приложение 2. - «Применение уравнения окружности к решению задач»).

Слайд 3 презентации

3. Закрепление

Самостоятельная работа, взаимопроверка. Правильные ответы записаны на откидной доске.

Карточки для самостоятельной работы

1 вариант

2 вариант

(Х+5)²+(у-6)²=1

(Х-9)²+(у-2)²=25

(Х-2)²+(у²-2у+1)=1

(Х+4)²+(у²-6у+9)=25

Х²+у²-6х+2у=2

Х²+4х+у²-4у=2

Задание: выясните, будет ли данные уравнения задавать окружность, если да, то укажите радиус и координаты центра.

4.Следующую задачу решает учитель

Задача: Что представляет собой множество точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная?

Решение: Впервые эту задачу сформулировал и решил Аполлоний Пергский, (260-170 гг. до н.э.)

Решение получилось очень сложное - поскольку применены геометрические приемы. Однако в работах французского математика Рене Декарта эта задача решена более элегантно. Декарт применил метод координат.

Я предлагаю посмотреть на это решение. Итак, пусть даны две точки ,А и В и некоторое положительное число k, равное отношению расстояний до точки М.

1случай. Если k=1,тогда множество точек М есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

2 случай. Пусть k целое не отрицательное число не равное 1

Для удобства решения возьмем k=2 , т.е. МА: МВ=2.

Введем систему прямоугольных координат. Совместим начало отсчета с точкой В. В качестве положительной полуоси x возьмем луч ВА. (рис.2)

Тогда получим следующие координаты точек: В(0,0), А(a,0), М(x,y). Пусть a=3 опять для простоты рассуждений.

Тогда, пользуясь формулами расстояния между двумя точками, запишем:

Получили уравнение окружности с центром в точке (-1;0) и радиусом r=2.

Значение радиуса не случайно вспомним, что мы выбрали k=2.

Решая задачу в общем виде т.е. при условии ,что точка А имеет координаты (a;0) и k≠1 получим уравнение окружности в виде:

Такая окружность называется окружностью Апполония.

Окружность Апполония

Таким образом, мы решили геометрическую задачу алгебраическим методом.

5. Защита проекта

За неделю до урока группа учащихся получает индивидуальное задание выполнить проект: «Уравнение окружности. Загадочная формула».

Требования к презентации

1. Общие:

1.1. Количество слайдов - не менее 6, не более 10

1.2. Обязательные слайды: тема и авторы; цели; выводы; используемые источники информации (не менее 3)

2. Содержание:

2.1. Факты изложены чётко, кратко и доступно.

2.2. Наличие целей работы и соответствующих целям выводов

3. Оформление:

3.1. Единая цветовая схема.

3.2. Размер шрифта: для заголовка-не менее 36, для текста -18.

3.3. Количество эффектов анимации - не более 3 на слайд.

3.4. Использование картинок, фотографий, видео, а также таблиц, схем и диаграмм.

Карточка с предварительным заданием группе

Предварительное задание группе:

Тема проекта: «Уравнение окружности. Загадочная формула».

Примерное содержание проекта:

1. Окружность как модель устройства мира.

2. Решение алгебраической задачи с помощью геометрии на примере задачи Германа Минковского (1864-1909 г).

3. Применение алгебраических и геометрических методов решения задач в жизненных ситуациях.

Возможные информационные источники:

1. Математический энциклопедический словарь. Аналитическая геометрия. М., «Советская энциклопедия»,1988

2. Сикорский К. П.Дополнительные главы по курсу математики. М.,Просвещение,1969

3. Сайт «Устье Речи»,

4. Сайт bestreferat.ru

Результаты своей работы представить в виде презентации, выполненной в Power Point.

Сейчас рассмотрим обратный вариант - решение алгебраической задачи с помощью геометрии. На уроке будет представлена защита творческой работы, которую выполнила группа учащихся класса. После презентации 2-3 минуты даётся на обсуждение.

Схема обсуждения :

- Перечислить три наиболее сильные стороны представленной презентации.

- Перечислить два момента, требующих доработки.

- Внести свои предложения по усовершенствованию проекта (если такие есть).

- Сделать итоговый вывод и выставить общий балл за выступление на основании листов оценивания.

Критерии оценки проекта

1) обоснованность актуальности темы проекта и предлагаемых решений;

2) объем, полнота разработок, самостоятельность, законченность;

3) уровень творчества, оригинальность раскрытия темы;

4) дизайн, стиль, соответствие стандартным требованиям, структура текста, качество схем, рисунков, диаграмм, анимации и др.;

5) качество доклада;

6) проявление глубины и широты знаний по излагаемой теме.

6. Итак, подведём итоги

Судя по содержанию вашей презентации объёму переработанного материала, тема усвоена хорошо. Вы убедились, что в окружающей нас действительности возникает много различных ситуаций, связанных с решением геометрических и задач. Это делает мир вокруг нас красивым и гармоничным.

Результаты вашей работы мы подведём на следующем уроке выведением среднего балла за все этапы работы над проектом.

Подведение итогов. Задание на дом: Повторение материала по теме: «Метод координат в пространстве».

Источники информации:

1. Математический энциклопедический словарь. Аналитическая геометрия. М., «Советская энциклопедия»,1988

2. Сикорский К. П.Дополнительные главы по курсу математики. М.,Просвещение,1969

3. Сайт «Устье Речи»,

4. Сайт bestreferat.ru