Конспект занятия на тему «Понятие предела. Предел последовательность. Вычисление пределов»

Конспект занятия на тему «Понятие предела. Предел последовательность. Вычисление пределов»

Цели:

• Изучить понятие числовая последовательность, способы ее задания и свойства числовых последовательностей;

• изучить понятие предела последовательности, учить вычислять пределы последовательности;

План урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Изучение нового материала:

   1. Понятие числовой последовательности;

   2. Способы задания числовой последовательности;

   3. Свойства числовой последовательности;

   4. Понятие предела последовательности;

   5. Правила вычисления предела последовательности;

   6. Вычисление предела последовательности.

4. Закрепление изученного материала.

5. Работа с математическим словарем.

6. Подведение итогов.

7. Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент

Мы приступаем к изучению нового раздела математики, который обычно называют «Математический анализ». Он начинается с темы «Производная», которая является основой для изучения дальнейших тем раздела.

2. Актуализация знаний

- В школьном курсе алгебры вы изучали последовательности. Какие? (арифметическую и геометрическую прогрессию)

- Что же такое последовательность?

Последовательность- это занумерованный ряд объектов.

Можно строить последовательности чисел, функций, векторов, рассматривать последовательности событий, утверждений и т.п.

Приведите пример последовательности.

3. Изучение нового материала

- Тема сегодняшнего урока «Понятие предела. Предел последовательность. Вычисление пределов».

3.1. Понятие числовой последовательности

- Запишем определение числовой последовательности.

Опр 1:Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие действительное число: числу 1 соответствует число а, числу 2 - а₂…….числу n - число а_n и т.д. Тогда говорят, что задана числовая последовательность, и пишут а₁, а₂,…,а_n или (а_n), где а₁, а₂,…,а_n - члены последовательности.

Опр 1^/ :Занумерованный ряд чисел а₁, а₂,…, а_n,…называется числовой последовательность.

3.2. Способы задания числовой последовательности

(на каждой парте лежит карта теоретического материала, в процессе беседы учащимся предлагается перевернуть соответствующий лист)

- Какими способами можно задать числовую последовательность?

(учащиеся высказывают свои мнения)

- Вы правы. Наиболее простой способ задания последовательности - это ее задание с помощью формулы общего члена, т.е. формулы, явно выражающей зависимость n-го члена последовательности от n.

Например, формула а_n=2n задает последовательность четных чисел 2,4,6,8,… .

Другим важным способом задания последовательности является рекуррентный способ, при котором задается выражение, связывающее n-й член последовательности с одним или несколькими предыдущими.

Слово рекуррентный происходит от латинского слова recurrens, что означает «возврат». Вычисляя новый, очередной член последовательности, мы как бы возвращаемся назад и используем уже вычисленные предыдущие члены.

Например, рекуррентное соотношение a_n=a_n-1+2 вместе с уравнением a₁=1 задает арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2:1, 3, 5, 7,.. . Это не что иное, как последовательность нечетных чисел.

Так же последовательность может быть задана словесным описанием, в котором определяется процесс построения членов последовательности.

- Прочитайте и выделите в математической карте главный материал.

3.3. Свойства числовой последовательности

- Числовые последовательности могут обладать свойствами, которые мы рассматривали при изучении обычных функций.

Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого верно неравенство .(аналогично дается определение убывающей числовой последовательности)

Например 1, 3, 5, 7 2_{n -1},... - возрастающая последовательность.

Например - убывающая последовательность.

Последовательность называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.

Последовательность а₁, а₂,…,а_n .. называется ограниченной, если для ее членов можно указать общую границу, т.е. если существует такое число С, что неравенство выполняется для всех номеров n.

Иными словами, последовательность (y_n) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство

у_nМ. Число М называют верхней границей последовательности.

Например, последовательность-1, -4, -9, -16,..., -п² , ... ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число -1 или любое число, которое больше, чем -1, например 0.

Последовательность (у_n) ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство у_п. Число m называют нижней границей последовательности.

Например, последовательность 1, 4, 9, 16, ..., п², ... ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше 1.

- Прочитайте и выделите в теоретической карте главный материал.

- А сейчас я хотела бы поговорить с вами о пределе последовательности и функции.

3.4. Понятие предела последовательности

- Как вы думаете, что означает слово предел? (учащиеся высказывают свои мнение)

- Хорошо, сформулируем ваши мнения на математическом языке.

1. Определение предела последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности (у_п) и (х_п).

(у_n):1,3, 5,7,9, ...,2_n-1,...; (x_n):

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой (рис. 1 для (у_п) и рис. 2 для (х_п)). Замечаем, что члены второй последовательности (х_n) как бы « сгущаются» около точки 0, а у первой последовательности (у_п) такой «точки сгущения» нет. В подобных случаях математики говорят так: последовательность (х_n) сходится, а последовательность (у_п) расходится.

Рис. 2

Рис. 1

Возникает естественный вопрос: как узнать, является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности. Чтобы ответить на данный вопрос, введем новый математический термин.

Опр 1. Пусть а - точка прямой, а r- положительное число. Интервал (а-r, а +r) называют окрестностью точки а (рис. 3), а число r- радиусом окрестности.

Какова окрестность точки 6, если радиус этой окрестности равен 0,02? Ответ: (5,98; 6,02), так как 6-0,02˂ 6 ˂ 6+0,02

a-r ˂ a ˂ a+r

Рис. 3

Теперь мы можем ответить на поставленный выше вопрос. Но термин «точка сгущения для членов заданной последовательности» обычно заменяют термином «предел последовательности».

Опр 2. Число b называется пределом последовательности (y_n), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут либо так: у_п b (читают: у_п стремится к b или у_п сходится к b), либо так:

(читают: предел последовательности у_п при стремлении п к бесконечности равен b; но обычно слова «при стремлении п к бесконечности» опускают).

3.5. Правила вычисления пределов последовательности

- Запишем правила вычисления пределов последовательности:

Пример 1: Дана последовательность (y_n):

- Как вы считаете, чему равен предел данной последовательности?

Докажем, что

Рис. 4

Возьмем любую окрестность точки 0, пусть ее радиус равен r (Рис.4). Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число n₀ так, чтобы выполнялось неравенство . Если, например r=0.001,то в качестве n₀ можно взять 1001, поскольку ; если r=, то в качестве n₀ можно взять 5774, поскольку , и т.д. Но это значит, что член последовательности y_n с номером n₀ , т.е. , попадает в выбранную окрестность точки 0. Тем более в этой окрестности будут находится все последующие члены заданной убывающей последовательности .

Пример 2: Найти предел последовательности

Здесь последовательность сходится к 0: или

Результат, полученный в примере 2, является частным случаем общего утверждения: если

А что будет с последовательностью , если ? Пусть, например, q=2, т.е. речь идет о последовательности 2,2²,2³,…,2ⁿ,… Эта последовательность явно не имеет предела (нет «точки сгущения»). Вообще, справедливо утверждение: если , то последовательность расходится.

Например:

Просмотрим видеокурс «Математика 7-11» в котором мы узнаем об основных арифметических операциях нах пределами.

Теоремы об арифметических операциях над пределами: если

- Перенесите данные теоремы в тетради.

- Решим несколько заданий основываясь на правила и теоремы о пределах последовательности.

- Предел последовательности вычисляется путем почленного деления числителя и знаменателя на неизвестную в наибольшей степени.

- Какая наибольшая степень из предложенных нам дана? (2)

- Разделим почленно на п², получим:

- Каким правилом и теоремой воспользуемся?

.

3.6. Вычисление предела последовательности

Вычислите

- рассмотрим предел последовательности, когда х стремится к предельному значению.

- Простейшим способом вычисления предела является подстановка предельного значения (конкретного числа) в подпредельное выражение, т.е. подставляем число 4 вместо х.

-Есть ли у вас вопросы по вычислению данного предела.

вычислить следующие пределы:

Вычислите

4. Закрепление изученного материала.

6. Подведение итогов

- Что нового вы узнали на уроке?

- Что такое последовательность?

- Какие виды последовательностей вы знаете?

- Как задаётся числовая последовательность?

- Что мы называем пределом последовательности?

- Как найти предел последовательности, при ? Приведите пример.

- Как найти предел при к конкретному числу? Приведите пример.

- Сформулируйте теоремы о пределах.

Выставление оценок за работу на уроке.

7. Домашнее задание

- Выучить основные понятия и теоремы

-В рабочих тетрадях выполнить №1-3

1.

2.

3.