Технологическая карта по геометрии на тему ТЕОРЕМА О ТОЧКЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ВЫСОТ ТРЕУГОЛЬНИКА

тема урока: Теорема о точке пересечения высот треугольникаПознавательные: умеют понимать и использовать математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации; применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач.

Регулятивные: принимают и сохраняют учебные задачи.

Коммуникативные: умеют организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.

Личностные: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении геометрических задач

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные

ресурсы

• Учебник.

• Задания для фронтальной, индивидуальной работы

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить выполнение домашней работы

(Ф) Решить устно.Найти: Р_ВKС, Р_АВС.

Решение:

1) В ΔABK DK - серединный перпендикуляр  BK = AK = 5.

2) ΔBCK - египетский  CK = 3.

3) CP = KD = 3  DA = BD = 4.

4) Р_ВKС = 3 + 4 + 5 = 12, Р_АВС = 4 + 8 + 8 = 20.

Ответ: 12, 20.

Дано: FK, FN серединные перпендикуляры. АВ = 16, СF = 10.

Найти: расстояние от точки F до стороны АВ.

Решение:

1. FK, FN серединные перпендикуляры  MC также серединный перпендикуляр  AM = BM = 8.

2. FC = 10  FB = AF = 10.

3. В ΔMFA: FA = 10, АM = 8  MF = 6.

Ответ: 6

II этап. Мотивация изучения новой темы

Цель деятельности

Постановка учебной задачи

1

2

Доказать теорему о точке пересечения высот треугольника

(Ф)

- Какие элементы треугольника пересекаются в одной точке? (Биссектрисы треугольника, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника, медианы треугольника.)

- В каком треугольнике совпадают точка пересечения биссектрис, точка пересечения медиан, точка пересечения серединных перпендикуляров? (В равностороннем.)

- Как вы думаете, пересекаются ли высоты треугольника в одной точке? (Варианты ответов: а) да; б) только в остроугольном; в) в остроугольном и прямоугольном.)

В ходе обсуждения выполнить рис. 3 (а, б, в).

О - точка пересечения высот АВС или их продолжений.

1. Сформулировать и доказать теорему о точке пересечения высот треугольника.

Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. (Доказать может сам учитель; можно предложить учащимся разобрать самостоятельно.)

2. Ввести понятие четырех замечательных точек треугольника.

Четыре замечательные точки треугольника:

1) Точка пересечения медиан треугольника.

2) Точка пересечения биссектрис треугольника.

3) Точка пересечения серединных перпендикуляров.

4) Точка пересечения высот треугольника

III этап. Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1

2

3

Применение теоремы при решении задач

(Ф/И)

1. Решить № 683 и 685 у доски и в тетрадях.

№ 683.Дано: АВС, АВ  АС, АМ - медиана.

Доказать: АМ не  ВС.

Доказательство:

1) Примем АМ  ВС, следовательно, получим: АМС и АМВ;

АМ - общая, СМ = МВ (по условию), следовательно, АМС = АМВ (по двум катетам), следовательно, АС = АВ, что противоречит условию АВ  АС.

2) Значит, наше предположение неверно, а верно АМ не  ВС, что и требовалось доказать.

№ 685.Дано: АВС, АA₁  ВВ₁ = М, АС = ВС,

ВВ₁  АС, АA₁  ВС.

Доказать: СМ  ВА, BK = KA.

Доказательство:

1) Так как АA₁  ВВ₁ = М, то СМ  АВ

(замечательное свойство треугольника).

2) BCK и ACK: CK - общая, ВС = АС (по условию), следовательно, BCK = ACK (по катету и гипотенузе), следовательно,

BK = KA, что и требовалось доказать.

2. Решить № 684

№ 684.Краткое решение:

Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, следовательно, СМ - биссектриса ACB. Пусть СМ  АВ = D. Тогда CD - биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника  CD - высота, то есть CD  AB, значит, CM  AB.

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1

2

(Ф/И)

- Назовите четыре замечательные точки треугольника.

- Оцените свою работу

(И) Домашнее задание.

Вариант IДано: CAB = 42°.

Найти: ACO.

2. В треугольнике MNK биссектрисы пересекаются в точке О. Расстояние от точки О до стороны MN = 6 см, NK = 10 см. Найдите площадь треугольника NOK.

Вариант IIрасстояние от точки О до стороны АС.

2. В треугольнике MNK медианы МР и NE пересекаются в точке О

и равны 12 и 15 см соответственно. Найдите площадь треугольника МОЕ, если МР  NE