Конспект уроку по темі : Послідовності. 9 клас

Алгебра 9 клас

Тема: Числові послідовності.

Мета: Засвоїти поняття числової послідовності, способи задання послідовностей; основні властивості числових послідовностей; набуття умінь і навиків записування послідовностей в розгорнутому вигляді, підбирати формулу n-го члена, визначати вид даної послідовності і перелічувати її властивості; розвиток пам'яті, уваги, логічного мислення; виховання культури математичної мови і письма.

</ Тип уроку: урок - лекція.

План.

1. Актуалізація опорних знань.

   1. числові множини: множина натуральних чисел; множина цілих чисел; множина раціональних чисел і множина дійсних чисел.

   2. парні, непарні числа. Формула парного і непарного числа.

   3. прості числа, взаємно-прості числа, числа близнята.

   4. кратні і дільники числа, НСК. Задати формулою числа кратні числу
      
      7; 11; і т.д.

2. Засвоєння нового матеріалу.

   1. Розглянемо квадрати, довжини сторін яких виражаємо числами
      
      1; 2; 3; 4; 5; ... тоді довжини їх периметрів будуть: 4; 8; 12; 16; 20; ... , а площі цих квадратів виражатимуться числами: 1; 4; 9; 16; 25; .... Це є не що інше, як числові послідовності. Числа, що входять у числову послідовність, називаються членами числової послідовності. Утворимо послідовність правильних дробів з чисельником 1: ;... ... n ≥ 2.

У наведених прикладах кожному натуральному числу n можна поставити єдиний член послідовності а_n . Усі числа а_n , одержані при необмеженому продовженні, утворюють числову послідовність, яка є не що інше, як функція. Тому числові послідовності - це особливий клас функцій. Областю визначення таких функцій є множина {1; 2; 3; 4; … n; …} натуральних чисел для нескінченних послідовностей і множина {1; 2; 3; … n} - для скінченних; 10; 11; 12; …; 99; - послідовність двоцифрових натуральних чисел є скінченна послідовність.

Означення: Числова послідовність - це числова функція, визначена на множині всі натуральних чисел, або на підмножині перших її n елементів. Областю визначення цієї функції є множина натуральних чисел N, або її підмножина. Областю значень є деяка множина дійсних чисел. Послідовності позначаються (a_n), (b_n), (x_n) і т.д., де nN, або у розгорнутому вигляді:

а₁; а₂; а₃; …; а_n; …

2. Способи задання послідовностей.

   1. Аналітичний спосіб задання послідовності - це задання послідовності формулою її n-го члена. Наприклад:

      1. а_n = n² - n, або в розгорнутому вигляді: 0; 2; 6; 12; 20; … n² - n; …

      2. а_n = { ;
         
         тоді маємо наступну послідовність: 1; 2;4; …;2k;…
         
         Аналітичний спосіб задання послідовностей дає можливість лаконічно і чітко вказати закон запису числової послідовності.

   2. Рекурентний спосіб задання послідовності: спочатку вказують перший член послідовності (або кілька перших членів), потім дають формулу, яка дає можливість визначити будь-який член послідовності за відомими попередніми членами. Наприклад:

      1. Нехай а₁ = 1 і при n ≥ 1 маємо формулу а_n+1 = (n + 1) а_n. Тоді одержимо наступну послідовність: 1; 2; 6; 24; …

      2. Розглянемо послідовність, у якої а₁ = 1, а₂ = 1, а_n = а_n-2 + а_n-1,
         
         при n ≥ 3.
         
         Одержимо знамениту послідовність Фібоначчі 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; … Цю послідовність задано і аналітично формулою Біне: . Але цей перехід від рекурентного задання послідовності до аналітичного важкий і громіздкий.

   3. Описовий спосіб задання послідовності.
      
      
      
      Наприклад:

      1. Членами послідовності (C_n) є двоцифрові числа, складені з цифр 2 і 3 взяті в порядку зростання: маємо C₁ = 22; C₂ = 23; C₃ = 32; C₄ = 33.
         
         Ця послідовність скінченна.

      2. Послідовність простих чисел у порядку зростання:
         
         2; 3; 5; 7; 11; 13; … Ця послідовність нескінченна, її не можна задати ні рекурентно, ні аналітично.

   4. Графічний спосіб задання послідовності.
      
      Члени числової послідовності у такий спосіб
      
      зображають, або точками числової осі, або
      
      точками системи координат.
      
      Наприклад розглянемо послідовність парних
      
      чисел а_n = 2n на горизонтальній осі відкладають
      
      значення n, на вертикальній осі значення а_n.

   5. Табличний спосіб задання послідовності. Зв'язок між номером члена n і самим членом послідовності а_n можна задати у вигляді таблиці.
      
      Наприклад:
      
      
      
      

3. Властивості числових послідовностей.

   1. Обмеженість і необмеженість числових послідовностей.
      
      Означення: Послідовність а_n називається обмеженою, якщо існують такі два числа m і M, що при всіх n виконується нерівність m ≤ а_n ≤ M. При цьому говорять, що m обмежує послідовність знизу, а число M - зверху. Наприклад: послідовність є обмеженою бо .
      
      
      
      

1. 1. 1. Зростаючі і спадні послідовності.
         
         Означення 1: Послідовність (а_n) називається зростаючою, якщо кожен її член, починаючи з другого, більший від попереднього, тобто а_n+1 > а_n. Наприклад: а_n = 2n - 1, тобто маємо послідовність виду:
         
         1; 3; 5; 7; …; 2n - 1; …
         
         Означення 2: Послідовність (а_n) називається спадною, якщо кожен її член, починаючи з другого, менший від попереднього, тобто а_n+1 < а_n. Наприклад: послідовність правильних дробів: ;… ; …
         
         Означення 3: Послідовність (а_n) називається неспадною, якщо кожен її член, починаючи з другого, не менший від попереднього, тобто а_n+1 ≥ а_n.
         
         Наприклад: послідовність: 1; 1; 2; 2; 3; 3; … n; n; …
         
         Означення 4: Послідовність (а_n) називається незростаючою, якщо кожен її член, починаючи з другого, не більший від попереднього, тобто а_n+1 ≤ а_n.
         
         Наприклад: послідовність 1; 1;…;…
         
         Означення 5: Стала послідовність - це послідовність у якої всі члени рівні.
         
         Наприклад: 4; 4; 4; …; 4; …
         
         Розглянемо послідовність а_n = 2n парних чисел: 2; 4; 6; 8; …; 2n; … Утворимо нову послідовність чисел з членів даної, які кратні 6 у тому ж порядку, тобто: 6; 12; 18; 24; …; 6n; Ця послідовність є підпослідовністю даної послідовності (а_n). Отже, підпослідовність - це підмножина множини членів вихідної послідовності взятих відповідно порядку запису.

2. Висновки.
   
   
   
   Числові послідовності бувають:

Скінченні

Нескінченні

Обмежені

Необмежені

Зростаючі, спадні, незрозстаючі, неспадні, сталі

Числові послідовності задають:

1

Аналітичним способом - за допомогою формули n-го члена послідовності.

2

Рекурентним способом - перший (перші) члени і формула наступного члена.

3

Описовим способом - словесно.

4

Графічним способом - точками числової прямої, або системи координат.

5

Табличним способом - складання таблиці.

3. Домашнє завдання:

   1. Вивчити конспект.

   2. Підготувати повідомлення про математиків, які розвивали вчення про послідовності.

   3. № 12, ст. 83.