Разложение многочлена на множители

Открытый урок

по алгебре

на тему:

Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов

7 класс

Учитель: Фомина Мария Сергеевна

Что бы дойти до цели, нужно прежде всего идти.

Цели урока:

Образовательная - систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся, применять различные способы разложения многочлена на множители. Сформировать умение применять разложение многочлена на множители путём комбинации различных приёмов.

Развивающая - способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы. Умение работать с бланком ответов при решении тестов.

Воспитательная - побуждать учеников к само -, взаимоконтролю, работе в команде, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний, формировать умение рефлексировать.

Оборудование - мультимедийные средства обучения, наличие учебной презентации, задание для тестов ,карточки с ответами.

Ход урока:

1. Постановка цели и мотивация. (3 мин)

Здравствуйте, мои хорошие. Прежде чем начать урок, давайте поиграем в ассоциации. Ребят, какие ассоциации у вас вызывает слово «урок»? Давайте разложим его по буквам,

У - успех, (удача)

Р - радость, (результат)

О - одаренность, (оживлённость)

К - коллектив, (качество).

Надеюсь, что сегодня на уроке нас ждет и успех, и радость. И мы, работая в коллективе, покажем свою одарённость.

Будьте внимательны в течение урока. Думайте, спрашивайте, предлагайте - так как, дорогой к истине мы будем идти вместе.

Тема нашего урока: Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приёмов.

Цель урока: систематизировать, обобщить, и углубить знания, умения применять различные способы разложения многочлена на множители, а также применять разложение многочлена на множители путём комбинации различных приёмов.

Для преобразования выражений, при решении уравнений, в вычислениях и ряде других задач бывает полезно заменить многочлен произведением нескольких многочленов.

Существует несколько способов разложения многочлена на множители:

Ответ ребят:

* вынесение общего множителя за скобки;

* способ группировки;

* с помощью формул сокращенного умножения.

Ребят у меня есть задача, которую без вас я не решу:

Как решить уравнения:? x² +3x +6 +2x =0, х - 2 + х² - 4 = 0

2. Актуализация знаний, и повторение изученного материала. (10 мин)

К доске выходят три ученика, которые подготовили презентацию:

«Способы разложения многочлена на множители»

«Вынесение общего множителя за скобки»

Первый учащийся:

Вынесение общего множителя за скобки

Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые.

Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

Сейчас мы продемонстрируем на примерах:

- в знаково - символьной форме

◊*○+◊*□=◊(○+□)

◊²*○+◊*○²=◊○(◊+○)

◊*(□+○)-▲*(□+○)=(◊-▲)(□+○)

А теперь давайте вместе вставим пропущенные элементы (у ребят готовые карточки с ответами):

а) 24a³c-3a²c=3a²c(8a-…)

б) 5m²n-20mn²=5mn(…-4n)

в) 3a²c-3c²=…(a²-c)

г) 18ab²+27a²b=

«Использование формул сокращенного умножения»

Второй учащийся:

Применение формул сокращенного умножения

Здесь группа из двух, трех (и более) слагаемых, которая обращает внимание выражение, входящее в одну из формул сокращенного умножения, заменяется произведением многочленов.

Сейчас мы продемонстрируем на примерах:

- в знаково- символьной форме

◊²-□²=(◊-□)(◊+□)

◊²±2◊□+□²=(◊±□)²

◊³±○³=(◊±○)(◊²±◊○+○²)

◊³±3◊²○+3◊○²±○³=(◊±○)³

А теперь давайте вместе вставим пропущенные элементы:

а) 9a²-4b²=(3a-…)(3a+…)

б) 121y⁴-49x⁴=(…-7x²)(…)

в) 25n⁴+30n²m⁴+9m⁸=(…+3m⁴)²

г) а³-8=( а -2)( … )

«Способ группировки»

Третий учащийся:

Способ группировки

Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

Сейчас мы продемонстрируем на примерах:

- в знаково- символьной форме

◊□+◊○+○□+□²=(◊□+◊○)(○□+□²)=◊(□+○)+□(○+□)=(□+○)(◊+□)

А теперь давайте вместе вставим пропущенные элементы:

а) a(b +c)+p(b +c)=…

б) 3(b-5)-a(5-b)=…

в) m-n+(n-m)y=…

г) 2a+b+2a²+ab=…

д) 3a+3a²-b-ab=…

Конечно, без перерыва нам не обойтись: (выходит один ученик и демонстрирует упражнения)

3. Физкультминутка. (2 мин)

Дышим носом глубоко-

Поднимаемся легко. (приседания.)

Наклоняемся вперёд.

Прогибаемся назад.

Как деревья ветер гнёт.

Так качаемся мы в лад- (наклоны взад-вперёд.)

Головой теперь покрутим-

Так мы лучше думать будем.

Поворот и поворот,

А потом наоборот. (вращения головой в стороны.)

Встанем, все мы, на носочки -(потягивания - руки вверх.)

На зарядке ставим точку.

4.Изучение нового материала. (2 мин)

Ребят, вы просто молодцы! Мне кажется, я знаю, как решить уравнения, не забыли еще про них? А кто еще догадался?

а)x² +3x +6 +2x =0

- группируем

(x² +3x)+(6 +2x)=0

- выносим за скобки

х(х+3)+2(3+х)=0

- выносим за скобки

(х+3)(х+2)=0

х+3=0 или х+2=0

х= -3 х =-2

Ответ: -3;-2.

б) х - 2 + х² - 4 = 0

-группируем

(х - 2) +( х² - 4) = 0

- используем формулу сокращённого умножения

(х - 2) +( х - 2)( х+2 ) = 0

- выносим общий множитель за скобки

(х - 2) (1+ х+2 ) = 0

(х - 2) ( х+3 ) = 0

х -2 =0 или х +3=0

х=2 х= -3 Ответ: - 3; 2.

Дорогие мои, какая задача стояла перед нами в начале урока? Можно ли считать, что мы ее решили? Да, конечно, потому что для решения уравнений мы скомбинировали два способа разложения на множители в первом уравнении, и 3 способа для решения второго.

5. Закрепление изученного материала. (10 мин)

Следующим этапом нашего урока, будет закрепление знаний и умений использовать комбинирование различных способов разложения на множители. На последней парте каждого ряда лежит тест. Работая в паре, вы передаете лист вперед, решив по 2 задания, обведя верный вариант ответа. Букву верного ответа внесите в таблицу, в соответствии с номером выполняемого вами задания. С помощью полученных таблиц, мы сможем сразу определить правильность решений.

Тест 1

1. 2а³ - 8а

д) 2а (а²-4) р) 2а (а-2)(а+2) к) (а-2)(а+2)

2. с-16с³

б) с(1-16с²) а) с(1-4с)(1+4с) в) (1-4с)(1+4с)

3. 6-у+36-у²

з) (6-у)(у+7) г) (у-6)(у+7) д) (6-у)(у+6)

4. у+5+у²-25

н) (4-у)(у+5) л) (у+5)(у-4) о) (у-5)(у+5)

5. 6рх-2р+9х-3

о) (3х-1)(2р+3) п) (3х-1)(3х+1) р) (2р+3)(2р-3)

6. 2кх+8х-к-4

с) (1-2х)(к+4) ж) (к+4)(2х-1) т) (к+4)(к-4)

7. 6ах-15х+16а-40

у) (3х+8)(3х-8) ф) (2а-5)(2х+8) е) (2а-5)(3х+8)

8. ас-3вд+ад-3вс

н) (а-3в)(д+с) х) (а-3в)(а+3в) ц) 3(с+д)(а-в)

9. х-5+х²-25=0

э) 5;-5 и) 5; -6 я) -6; 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тест 2

1. 2а³ - 8а

д) 2а (а²-4) е) 2а (а-2)(а+2) к) (а-2)(а+2)

2. с-16с³

б) с(1-16с²) н) с(1-4с)(1+4с) в) (1-4с)(1+4с)

3. 6-у+36-у²

а) (6-у) (у+7) г) (у-6)(у+7) д) (6-у)(у+6)

4. у+5+у²-25

н) (4-у) (у+5) м) (у+5)(у-4) о) (у-5)(у+5)

5. 6рх-2р+9х-3

н) (3х-1)(2р+3) п) (3х-1)(3х+1) р) (2р+3)(2р-3)

6. 2кх+8х-к-4

с) (1-2х) (к+4) о) (к+4)(2х-1) т) (к+4)(к-4)

7. 6ах-15х+16а-40

у) (3х+8)(3х-8) ф) (2а-5)(2х+8) ж) (2а-5)(3х+8)

8. ас-3вд+ад-3вс

и) (а-3в) (д +с) х) (а-3в) (а+3в) ц) 3(с +д)(а-в)

9. х-5+х²-25=0

э) 5;-5 т) 5; -6 я) -6; 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тест 3

1. 2а³ - 8а

д) 2а (а²-4) е) 2а (а-2)(а+2) к) (а-2)(а+2)

2. с-16с³

б) с(1-16с²) л) с (1-4с)(1+4с) в) (1-4с)(1+4с)

3. 6-у+36-у²

и) (6-у) (у+7) г) (у-6)(у+7) д) (6-у)(у+6)

4. у+5+у²-25

н) (4-у) (у+5) м) (у+5)(у-4) о) (у-5)(у+5)

5. 6рх-2р+9х-3

о) (3х-1)(2р+3) п) (3х-1)(3х+1) р) (2р+3)(2р-3)

6. 2кх+8х-к-4

с) (1-2х)(к+4) л) (к+4)(2х-1) т) (к+4)(к-4)

7. 6ах-15х+16а-40

у) (3х+8)(3х-8) ф) (2а-5)(2х+8) о) (2а-5)(3х+8)

8. ас-3вд+ад-3вс

д) (а-3в)(д +с) х) (а-3в)(а+3в) ц) 3(с +д)(а-в)

9. х-5+х²-25=0

э) 5;-5 цы) 5; -6 я) -6; 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

В результате должно получиться:

р а з л о ж е н и е н а м н о ж и т е л и

м о л о д ц ы.

6. Подведение итогов, задание на дом. ( 3 мин)

Таким образом, мы оценили нашу работу. Все просто молодцы. Я с большим удовольствием поставлю всем 5. Прежде, чем мы окончим урок, я хочу узнать, что же изменилось или сохранилось в вашем настроении в течение урока. И поэтому попрошу вас ответить на вопросы, подняв руки

- мне понравилось ------------------------------------------------

- я много узнал нового -----------------------------------------------

- мне не интересно, я это знал ----------------------------------------

Ну, что же на этой хорошей ноте мы заканчиваем урок, поработали отлично!

Конечно - же домашнее задание. Дома прошу вас решить тест, но и здесь не просто указать варианты ответов. Каждый вариант ответа подписан координатой точки. Выполнив задания, последовательно отметьте и соедините, получившиеся координаты точек на прямоугольной системе координат. В результате, вы сами поймете- верно ли вы решили. Желаю удачи!

Домашнее задание.

1. Вынесите общий множитель за скобки 3 x y +6ay

(0; 1) 3y(x+6a); (3; 4) 3y(x+2a);

(2; 2) 3y(x+6ay); (3; 2) 3y (xy+2a);

2. Вынесите общий множитель за скобки y³-y⁴

(3; 4) y³(y+y²); (3; 6) y³ (1+y³);

(2;5) y³(1-y⁴); (3; 5) y³(1-y);

3. Разложите на множители многочлен -x⁵-3x⁷-2x⁴

(1;4) -x⁴(-x-3x³-2); (0;5) x⁴(-x⁵-3x⁷-2);

(1;5) -x⁴(x+3x³+2); (2;5) -x⁴(x⁵+3x³+2);

4. Вынесите общий множитель за скобки 6a³+9a²-18a

(- 2; 5) 3a (2a²+3a-6); (-1; 5) 3a(2a³+3a²-6a);

(-2; 4) 3a² (2a²+3a-6); (-5; 2) 3a(6a²+9a-18);

5. Разложите на множители многочлен 4x y²-6y³+8y²

(2; 2) 2y² (2x+3y+4); (1; 1) 2y² (2xy-3x+4);

(- 2; 2) 2y ²(2x-3y+4); (2;-2) 2y²(2x-3y);

6. Вынесите общий множитель за скобки 7a²b³-14b²+35b³

(-3; 0) 7b² (a²-2+35b); (0; -2) 7b ²(7ab-2+5b);

(- 2; 0) 7b² (a²b-2+5b); (-2; 2) 7b ²(a²b+2+5b);

7. Представьте в виде произведения a²-a b-7a+7b

(0; 2) (a -b) (a+7); (1; 0) (a-b) (7-a);

(0; 3) (a +b)(a-7); (0; 1) (a-b) (a-7);

8. Представьте в виде произведения x³-x²+x-1

(2;2) (x-1)(1-x²); (2;1) (x-1)(x²+1);

(1;2) x²(x-1); (2;3) (x²+x)(x-1);

9. Разложите на множители многочлен a b-ac-a²+b c

(1;0) (a-c)(b-a); (2;0) (c-a)(b-a);

(3;0) (a +c)(b-a); (0;3) (a +c)(a-b);

10. Представьте в виде произведения 13ax-5a b-26x+10b

(3; - 2) (a -2) (13 x-5b); (3; -4) (3a-6) (4x-b);

(3;-3) (a +2)(3x-5b); (-3; 3) (a-2) (5b-3x);

11. Разложите на множители многочлен 81-4t²

(3; -3) (9-4t²)(9+4t²); (3; - 4) (9-2t)(9+2t);

(-4;3) (9+4t)(9-4t); (3;-5) (9-2t)(9-2t);

12. Представьте в виде квадрата двучлена 16m²-8m n+n²

(2;- 5) (4m-n)²; (-5;2) (4m²-n²)²;

(3;-5) (4m+n)²; (1;-5) (16m-n)²;

13. Представьте в виде квадрата двучлена 49x²+42x y²+9y⁴

(1;5) (7x+3y)²; (-1; -5) (7x+3y²)²;

(-1;5) (49x+9y²)²; (1;-5) (7x²+3y⁴)²;

14. Представьте в виде произведения y³+1000

(2;4) (y+10)(y²-20y+100); (2;-4) (y-10)(y²+10y+100);

(-2;4) (y+10)(y²+10y+100); (-2; -4) (y+10)(y²-10y+100);

15. Представьте в виде произведения 125-x⁶

(2;3) (5-x²)(25-5x²+x⁴); (2;-3) (5-x²)(25-10x²+x⁴);

(-2; -3) (5-x²)(25+5x²+x⁴); (-2;3) (5+x²)(25-5x²+x⁴);

Если ученик выполнил домашнее задание верно, правильно отметил координаты точек и соединил последовательно, то должна получиться отметка 5.

1

2b

b+c

1-y

m

11y²

a+p

2a+b

3с

11y²+7x²

b-5

1+a

9аb

5n

3+a

3a-b

2b+3a

a²+2a+4

m-n

1+a

Физкультминутка

Дышим носом глубоко-

Поднимаемся легко. (приседания.)

Наклоняемся вперёд.

Прогибаемся назад.

Как деревья ветер гнёт.

Так качаемся мы в лад- (наклоны взад-вперёд.)

Головой теперь покрутим-

Так мы лучше думать будем.

Поворот и поворот,

А потом наоборот. (вращения головой в стороны.)

Встанем, все мы, на носочки -(потягивания - руки вверх.)

На зарядке ставим точку.

Физкультминутка

Дышим носом глубоко-

Поднимаемся легко. (приседания.)

Наклоняемся вперёд.

Прогибаемся назад.

Как деревья ветер гнёт.

Так качаемся мы в лад- (наклоны взад-вперёд.)

Головой теперь покрутим-

Так мы лучше думать будем.

Поворот и поворот,

А потом наоборот. (вращения головой в стороны.)

Встанем, все мы, на носочки -(потягивания - руки вверх.)

На зарядке ставим точку.

Тест 1

1. 2а³ - 8а

д) 2а (а²-4) р) 2а (а-2)(а+2) к) (а-2)(а+2)

2. с-16с³

б) с(1-16с²) а) с(1-4с)(1+4с) в) (1-4с)(1+4с)

3. 6-у+36-у²

з) (6-у)(у+7) г) (у-6)(у+7) д) (6-у)(у+6)

4. у+5+у²-25

н) (4-у)(у+5) л) (у+5)(у-4) о) (у-5)(у+5)

5. 6рх-2р+9х-3

о) (3х-1)(2р+3) п) (3х-1)(3х+1) р) (2р+3)(2р-3)

6. 2кх+8х-к-4

с) (1-2х)(к+4) ж) (к+4)(2х-1) т) (к+4)(к-4)

7. 6ах-15х+16а-40

у) (3х+8)(3х-8) ф) (2а-5)(2х+8) е) (2а-5)(3х+8)

8. ас-3вд+ад-3вс

н) (а-3в)(д+с) х) (а-3в)(а+3в) ц) 3(с+д)(а-в)

9. х-5+х²-25=0

э) 5;-5 и) 5; -6 я) -6; 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тест 2

1. 2а³ - 8а

д) 2а (а²-4) е) 2а (а-2)(а+2) к) (а-2)(а+2)

2. с-16с³

б) с(1-16с²) н) с(1-4с)(1+4с) в) (1-4с)(1+4с)

3. 6-у+36-у²

а) (6-у) (у+7) г) (у-6)(у+7) д) (6-у)(у+6)

4. у+5+у²-25

н) (4-у) (у+5) м) (у+5)(у-4) о) (у-5)(у+5)

5. 6рх-2р+9х-3

н) (3х-1)(2р+3) п) (3х-1)(3х+1) р) (2р+3)(2р-3)

6. 2кх+8х-к-4

с) (1-2х) (к+4) о) (к+4)(2х-1) т) (к+4)(к-4)

7. 6ах-15х+16а-40

у) (3х+8)(3х-8) ф) (2а-5)(2х+8) ж) (2а-5)(3х+8)

8. ас-3вд+ад-3вс

и) (а-3в) (д +с) х) (а-3в) (а+3в) ц) 3(с +д)(а-в)

9. х-5+х²-25=0

э) 5;-5 т) 5; -6 я) -6; 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тест 3

1. 2а³ - 8а

д) 2а (а²-4) е) 2а (а-2)(а+2) к) (а-2)(а+2)

2. с-16с³

б) с(1-16с²) л) с (1-4с)(1+4с) в) (1-4с)(1+4с)

3. 6-у+36-у²

и) (6-у) (у+7) г) (у-6)(у+7) д) (6-у)(у+6)

4. у+5+у²-25

н) (4-у) (у+5) м) (у+5)(у-4) о) (у-5)(у+5)

5. 6рх-2р+9х-3

о) (3х-1)(2р+3) п) (3х-1)(3х+1) р) (2р+3)(2р-3)

6. 2кх+8х-к-4

с) (1-2х)(к+4) л) (к+4)(2х-1) т) (к+4)(к-4)

7. 6ах-15х+16а-40

у) (3х+8)(3х-8) ф) (2а-5)(2х+8) о) (2а-5)(3х+8)

8. ас-3вд+ад-3вс

д) (а-3в)(д +с) х) (а-3в)(а+3в) ц) 3(с +д)(а-в)

9. х-5+х²-25=0

э) 5;-5 цы) 5; -6 я) -6; 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Дома прошу вас решить тест, но и здесь не просто указать варианты ответов. Каждый вариант ответа подписан координатой точки. Выполнив задания, последовательно отметьте и соедините, получившиеся координаты точек на прямоугольной системе координат. В результате, вы сами поймете- верно ли вы решили. Желаю удачи!

Домашнее задание.

2. Вынесите общий множитель за скобки 3 x y +6ay

(0; 1) 3y(x+6a); (3; 4) 3y(x+2a);

(2; 2) 3y(x+6ay); (3; 2) 3y (xy+2a);

2. Вынесите общий множитель за скобки y³-y⁴

(3; 4) y³(y+y²); (3; 6) y³ (1+y³);

(2;5) y³(1-y⁴); (3; 5) y³(1-y);

3. Разложите на множители многочлен -x⁵-3x⁷-2x⁴

(1;4) -x⁴(-x-3x³-2); (0;5) x⁴(-x⁵-3x⁷-2);

(1;5) -x⁴(x+3x³+2); (2;5) -x⁴(x⁵+3x³+2);

4. Вынесите общий множитель за скобки 6a³+9a²-18a

(- 2; 5) 3a (2a²+3a-6); (-1; 5) 3a(2a³+3a²-6a);

(-2; 4) 3a² (2a²+3a-6); (-5; 2) 3a(6a²+9a-18);

5. Разложите на множители многочлен 4x y²-6y³+8y²

(2; 2) 2y² (2x+3y+4); (1; 1) 2y² (2xy-3x+4);

(- 2; 2) 2y ²(2x-3y+4); (2;-2) 2y²(2x-3y);

6. Вынесите общий множитель за скобки 7a²b³-14b²+35b³

(-3; 0) 7b² (a²-2+35b); (0; -2) 7b ²(7ab-2+5b);

(- 2; 0) 7b² (a²b-2+5b); (-2; 2) 7b ²(a²b+2+5b);

7. Представьте в виде произведения a²-a b-7a+7b

(0; 2) (a -b) (a+7); (1; 0) (a-b) (7-a);

(0; 3) (a +b)(a-7); (0; 1) (a-b) (a-7);

8. Представьте в виде произведения x³-x²+x-1

(2;2) (x-1)(1-x²); (2;1) (x-1)(x²+1);

(1;2) x²(x-1); (2;3) (x²+x)(x-1);

9. Разложите на множители многочлен a b-ac-a²+b c

(1;0) (a-c)(b-a); (2;0) (c-a)(b-a);

(3;0) (a +c)(b-a); (0;3) (a +c)(a-b);

10. Представьте в виде произведения 13ax-5a b-26x+10b

(3; - 2) (a -2) (13 x-5b); (3; -4) (3a-6) (4x-b);

(3;-3) (a +2)(3x-5b); (-3; 3) (a-2) (5b-3x);

11. Разложите на множители многочлен 81-4t²

(3; -3) (9-4t²)(9+4t²); (3; - 4) (9-2t)(9+2t);

(-4;3) (9+4t)(9-4t); (3;-5) (9-2t)(9-2t);

12. Представьте в виде квадрата двучлена 16m²-8m n+n²

(2;- 5) (4m-n)²; (-5;2) (4m²-n²)²;

(3;-5) (4m+n)²; (1;-5) (16m-n)²;

13. Представьте в виде квадрата двучлена 49x²+42x y²+9y⁴

(1;5) (7x+3y)²; (-1; -5) (7x+3y²)²;

(-1;5) (49x+9y²)²; (1;-5) (7x²+3y⁴)²;

14. Представьте в виде произведения y³+1000

(2;4) (y+10)(y²-20y+100); (2;-4) (y-10)(y²+10y+100);

(-2;4) (y+10)(y²+10y+100); (-2; -4) (y+10)(y²-10y+100);

15. Представьте в виде произведения 125-x⁶

(2;3) (5-x²)(25-5x²+x⁴); (2;-3) (5-x²)(25-10x²+x⁴);

(-2; -3) (5-x²)(25+5x²+x⁴); (-2;3) (5+x²)(25-5x²+x⁴);