- Учителю
- Методическая разработка по алгебре на тему 'Решение уравнений высших степеней' (8 класс)
Методическая разработка по алгебре на тему 'Решение уравнений высших степеней' (8 класс)
Министерство образования Республики Марий Эл
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 3 г. Козьмодемьянска»
Методическая разработка
элективного курса по математике
для 9-го класса
«Решение алгебраических уравнений
высших степеней»
Разработала: учитель математики
высшей квалификационной категории
МОУ «СОШ № 3 г Козьмодемьянска»
Республики Марий Эл
Авдеева Галина Николаевна
г. Козьмодемьянск
Пояснительная записка.
Элективный курс «Решение уравнений высших степеней» предназначен для предпрофильной подготовки в 9 классе, а так же может быть использован для изучения в профильных 10 - 11 классах. Актуальность этого курса состоит в том, что в последние годы в материалах выпускных экзаменов в форме ОГЭ и ЕГЭ предлагаются задания по этой теме. Курс предназначен для углубления знаний учащихся по теме «Уравнения» и рассчитан на 10 часов. Содержание курса согласовано с государственными стандартами общего среднего образования и примерными программами по математике.
Предлагаемый элективный курс соответствует возрастным особенностям учащихся, не создает у них перегрузок при изучении математики.
Курс ориентирован на развитие у школьника умений решать уравнения более сложные, чем предлагаются в учебнике, выбирать оптимальный метод решения для данного конкретного уравнения.
Данный элективный курс может быть использован учителями общеобразова- тельных классов для индивидуальных и дифференцированных занятий.
Цели курса:
• развитие математической культуры учащихся;
• развитие познавательной деятельности учащихся;
• развитие интереса школьников к предмету.
Задачи курса:
• расширить представления учащихся по важнейшей теме в курсе алгебры;
• познакомить учащихся с различными методами решения уравнений;
• развивать логическое мышление, умение аргументировать ответы.
Ожидаемые результаты:
• умение учащихся решать уравнения различными методами;
• применение полученных знаний для успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ;
• определение склонностей ученика при выборе профильного обучения.
Виды деятельности на занятиях:
• лекция, практикум, беседа.
По окончании курса учащиеся должны выполнить практическую работу: подготовить подборку уравнений рассмотренных видов из дополнительной литературы (с решениями).
Методы решения уравнений высших степеней.
1. Метод разложения на множители.
1)
или
х = − 3. Пусть t ≥ 0.
− посторонний корень
Ответ: −3; .
2)
или
9 + 12 = 21
Ответ: 1; .
2. Метод введения новой переменной.
Это самый распространенный метод.
а) Простейшие случаи. Очевидная замена.
1)
Пусть . Тогда
t = 1; t = − 4
Получаем: или
х = 1 .
Ответ: ; 1.
2)
Пусть . Тогда . t = − 7, t = 4.
− 7 или 4
+ 7 = 0 − 4 = 0
D = 9 - 28 = − 19 D = 9 + 16 = 25
корней нет ; .
Ответ: − 1; 4.
3)
Пусть . Тогда t(t - 10) = 144. − 144 = 0. t = − 8; t = 18.
Имеем два уравнения:
− 8 или 18
+ 6 = 0 20 = 0
D = 1 - 24 = − 23 ; .
корней нет
Ответ: − 5; 4.
4)
Пусть . Тогда 4 = 0. t = 1; t = 4.
1 или 4
х − 1 = − 1 или х − 1 = 1 х − 1 = − 2 или х − 1 = 2
х = 0 х = 2 х = − 1 х = 3
Ответ: − 1; 0; 2; 3.
5)
Пусть . Тогда 2 = 0. t = 1; t = 2.
Имеем два уравнения:
1 или 2
= 0 − 1 = 0
х (х + 1) = 0 D = 1 + 4 = 5
х = 0; х = − 1
Ответ: − 1; 0; .
б) Использование основного свойства дроби
1)
Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то разделим и числитель, и знаменатель каждой дроби на х ≠ 0.
Пусть . Получаем уравнение:
. ОДЗ: t ≠ 6; t ≠ 8.
Возвращаемся к переменной х.
или
D = 49 - 60 = − 11 < 0 D = 49 - 15 = 34
корней нет
Ответ: .
2)
Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то разделим и числитель, и знаменатель каждой дроби на х ≠ 0.
Пусть , тогда ; .
ОДЗ: t ≠ 5; t ≠ −1.
2t + 2 + 13t - 65 - 6(t2 - 4t - 5) = 0
2t2 - 13t + 11 = 0
t = 1;
Возвращаемся к переменной х.
или
2х2 - х + 3 = 0 4х2 - 11х + 6 = 0
D = 1 - 24 = − 23 D = 121 - 96 = 25
корней нет х1 = 0,75; х2 = 2
Ответ: 0,75; 2.
в) Раскрытие скобок парами
1)
Пусть . Тогда
(t + 4)(t - 14) = 40
− 96 = 0
t = − 6; t = 16.
Получаем два квадратных уравнения:
или
х = 2; х = 3; D = 25 + 64 = 89
Ответ: 2; 3; .
2)
Пусть . Тогда (t + 2)(t − 18) = − 96.
60 = 0
t = 6; t = 10.
или
6 10
− 6 = 0 − 10 = 0
D = 9 + 24 = 33 х = − 5; х = 2
Ответ: − 5; 2; .
г) Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения
Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения разделим
на .
Пусть . Тогда
+ 8 = 18
− 10 = 0
t = − 10; t = 1.
Получаем два уравнения с переменной х:
или
D = 25 + 20 =45 х = −4; х = 5
Ответ: −4; 5; .
д) Выделение квадрата двучлена.
Пусть . Тогда
t = 1; t = − 5
Имеем два уравнения:
= 1 или = − 5
х = − 1; х = 2; D = 25 - 40 = − 15
корней нет
Ответ: −1; 2.
е) Возвратные уравнения
Определение. Возвратным уравнением называют уравнение, в котором
равноудаленные от концов уравнения коэффициенты равны.
1)
Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения разделим
на .
Пусть = t. Тогда ; значит,
D = 25 + 1200 = 1225
Имеем два уравнения с переменной х:
= или =
х = − 3; ; х = 2; .
Ответ: − 3; ; ; 2.
2)
Т. к. х = 0 не является корнем уравнения, то обе части уравнения разделим
на .
Пусть = t. Тогда ; значит,
t = 0; t = 4
Имеем два уравнения с переменной х:
= 0 или = 4
х = 1
Ответ: 1; .
ж) Уравнения, сводящиеся к однородному уравнению
1)
Первый способ
Разделим обе части уравнения на .
Пусть . Получаем квадратное уравнение:
D = 25 - 24 = 1
; .
Возвращаемся к переменной х:
или
ОДЗ: х ≠ 3; х ≠ 4.
х = 1; ; х = 0; .
Ответ: 0; 1; ; .
Второй способ.
Пусть , . Тогда имеем квадратное уравнение
с двумя переменными:
2u + v = 0 или 3u + v = 0
Подставим в эти равенства выражения с переменной х:
или
х = 1; ; х = 0; .
Ответ: 0; 1; ; .
2)
Пусть , . Тогда имеем квадратное уравнение
с двумя переменными:
2а2 - 13аb - 7b2 = 0
2а2 - 14аb + аb - 7b2 = 0
2а(а - 7b) + b(a - 7b) = 0
(a - 7b) (2а + b) = 0
a - 7b = 0 или 2а + b = 0
х2 + х + 1 - 7х + 7 = 0 или 2х2 + 2х + 2 + х − 1 = 0
х2 − 6 х + 8 = 0 2х2 + 3х + 1 = 0
х = 2; х = 4; х = − 1; х = − 0,5.
Ответ: − 1; − 0,5; 2; 4.
з) Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения.
1)
Пусть , тогда .
Получаем уравнение: ; t = − 2; t = .
или ОДЗ: х ≠ 0.
х2 + 2х + 1 = 0 2 х2 + х + 2 = 0
(х + 1)2 = 0 D = 1 - 16 = − 15
х = − 1 корней нет
Ответ: − 1.
2)
Пусть , тогда .
Получаем уравнение: ; t = 16; t = .
или
или или
ОДЗ: х ≠ − 2,5.
3х - 1 = 8х + 20; 3х - 1 = − 8х − 20; 12х - 4 = 2х + 5; 12х - 4 = − 2х − 5;
5х = − 21 11х = − 19 10х = 9 14х = − 1
х = − 4,2 х = х = 0,9 х = .
Ответ: − 4,2; ; ; 0,9.
3. Применение следствия из теоремы Безу.
Если число α является корнем многочлена Р(х), то этот многочлен делится на
двучлен х - α.
1)
Подбором находим, что число 2 является корнем уравнения. Значит, левая
часть уравнения делится на х - 2. Получаем:
х + 5 = 0 или х2 - 3 = 0
х = − 5 х2 = 3
Ответ: −5; 2; .
2)
Подбором находим, что число 1 является корнем уравнения. Значит, левая
часть уравнения делится на х - 1. Получаем:
Подбором находим, что число −1 является корнем уравнения. Значит, левая
часть уравнения делится на х + 1. Получаем:
Подбором находим, что число −2 является корнем уравнения. Значит, левая
часть уравнения делится на х + 2. Получаем:
D1 = 4 + 4 = 8
Ответ: −2; −1; 1; .
Для самостоятельного решения:
1.
Ответ: 1; ; 2.
2.
Ответ: 1; 0.
3.
Ответ: − 4; .
4.
Ответ: 0,5; 3,5.
5.
Ответ: ; .
6.
Ответ: −3; 2; 3; 4; 5.
7.
Ответ: −1; 23; ; .
8.
Ответ: − ; 2; .
9.
Ответ: −2; 3;
10.
Ответ: 3; 4.
Список литературы
1. А.Г. Мордкович. Алгебра - 8 . Часть 1. Учебник. Мнемозина, 2013 год.
2. А.Г. Мордкович и др. Алгебра - 8. Часть 2. Задачник. Мнемозина, 2013 год
3. А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. Алгебра - 8. Учебник для классов с
углублённым изучением математики. Мнемозина, 2010 год.
4. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский. Алгебра - 8. Задачник для классов с
углублённым изучением математики. Мнемозина, 2010 год.
5. А.Г. Мордкович. Алгебра - 9 . Часть 1. Учебник. Мнемозина, 2013 год.
6. А.Г. Мордкович и др. Алгебра - 9. Часть 2. Задачник. Мнемозина, 2013 год
7. А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. Алгебра - 9. Учебник для классов с
углублённым изучением математики. Мнемозина, 2009 год.
8. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский, П.В. Семёнов. Алгебра - 9. Задачник для
классов с углублённым изучением математики. Мнемозина, 2009 год.
9. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре. 8 - 9
классы. М.: Просвещение, 2010 год.