Объем Прямоугольного параллелепипеда.11 класс

Лариса Алексеевна Бритикова учитель математики ВКК МОУ гимназия имени академика Н.Г.Басова при ВГУ, победитель Всероссийского конкурса «Лучших учителей России» в рамках Национального Проекта Образования 2007г., Победитель Всероссийского конкурса Лучших учителей физики и математики от Фонда Дмитрия Зимина «Династия» в номинации «Наставник будущих ученых» 2005г.(стаж работы 21 год) (г.Воронеж)

Как часто мы сетуем на то, что наши дети стали без желания учиться в

школе. Каждый ученик по настоящему учится только тогда, когда у него возникает ИНТЕРЕС К УЧЕБЕ. Интерес к учебе зависит от многих факторов. В первую очередь - от самого учителя, который должен творить вместе с детьми на каждом уроке. Математика - удивительная наука! На некоторых уроках мы с ребятами используем произведения классиков русской литературы, чтобы лучше понять сложные темы. Л.Н.Толстой, с рассказом «Много ли человеку земли надо», помогал изучать понятие наибольшего и наименьшего значения функции, А.П.Чехов, с рассказом «Репетитор», показывал, как можно решать задачи различными способами. Об оригинальных и традиционных методах проведения уроков можно писать много, но мне хочется поразмышлять о целесообразности использования компьютерных технологий на уроках математики.

В гимназии имени академика Н.Г.Басова при ВГУ, где я работаю, компьютер используется мной с 2002 года. Уже ни один открытый урок не проходит без его применения.

Современные компьютерные технологии выводят процесс обучения на качественно новый уровень. Они соответствуют тому способу восприятия информации, которым отличается новое поколение школьников, выросшее на телевидении, компьютерах и мобильных телефонах. У них гораздо выше потребность в темпераментной визуальной информации и зрительной стимуляции. Интерактивные технологии должны быть направлены на то, чтобы у ученика появился интерес к учебе, а вместе с интересом, как следствие, и знания. И только в этом случае наши дети станут активнее, и с большим желанием будут учиться в школе.

Современная грамотность, выросшая из традиционных «читать, писать, считать», изменяет акценты, приоритеты и само содержание этой триады и включает элементы информационных технологий, информационной культуры. Чтобы получить информационно культурного выпускника, учитель сам должен быть информационно грамотным и компетентным.

Исторически педагогика всегда использовала в своей деятельности информационные средства (средства хранения, обработки и передачи информации), и их совершенствование повышало эффективность обучения. Поэтому использование компьютера как самого совершенного информационного средства, наряду с использованием калькулятора, книги, авторучки, видеомагнитофона, телевизора и пр. в изучении учебных предметов должно естественно приводить к совершенствованию процесса обучения.

Скептики новых информационных технологий утверждают, что мел и тряпка - лучшие технические средства обучения (и в чем-то я с ними согласна, ведь математике можно научиться только «рутинной» работой по решению задач), но отставать от современной жизни школа не должна, да и лучшего средства объяснения материала, чем компьютер и интерактивная доска - нет. Это самые наглядные средства обучения!

Большая часть знаний, умений и навыков (ЗУН), полученных на традиционных уроках, не используется учащимися во внеурочной деятельности, и их практическая ценность утрачивается, а прочность - существенно снижается. Использование же ЗУН в компьютерной среде приводит к их актуализации, а желание создать проект на компьютере по предмету - к мотивации их приобретения.

Занятия с использованием компьютера позволяют частично разрядить высокую эмоциональную напряженность и создать более благоприятный климат и на уроках, помогают обеспечить существенную экономию учебного времени, провести урок наглядно, красочно, интерактивно.

Без компьютерных уроков качественное образование уже невозможно. Объем, который нужно очень прочно поместить в ученика, каждый год удваивается.

Предлагаю Вашему вниманию урок в 11 классе, с использованием компьютерной презентации.

Тема урока: Объем прямоугольного параллелепипеда.

В 11 классе первый урок по теме «Объемы тел» - «Объем прямоугольного параллелепипеда». Это должно быть яркое, запоминающееся занятие, учитывая важность вводимого материала и его последующее использование при решении задач стереометрии. Это - урок, углубления знаний не только по геометрии, но и знаний общей культуры человека. Это урок, содержащий исторический материал, с яркими иллюстрациями теории по новой теме.

Цель урока: Ввести понятие объема тела, рассмотреть свойства объемов, теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда и следствие об объеме прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник.

Ход урока:

1. Ввести понятие объема тела.

Величина части пространства. Занимаемого геометрическим телом называется объемом этого тела.

2. Рассказ учителя о мерах объема.

В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, коробки, банки. В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел. Среди них английские меры:

• Бушель - 36,4 дм³

• Галлон -4,5 дм³

• Баррель (сухой)-115,628 дм³

• Баррель (нефтяной)-158,988 дм³

• Английский баррель для сыпучих веществ 163,65 дм³.

Меры когда-то, применявшиеся в России:

Ведро - 12 дм³

• Бочка -490 дм³

• Штоф - 1,23 дм³ = 10 чарок

• Чарка -0,123 дм³=0,1 штофа = 2 шкалика

• Шкалик -0,06 дм³ = 0,5 чарки.

Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долог. В древнеегипетских папирусах,

в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды.

Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда.

Но только он имел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода площади объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике.

На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда - о том, что объемы этих тел относятся как 3: 2.

Когда Римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в 1 в. до н.э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.

3. Наша задача на уроке - найти для объема параллелепипеда выражение в виде некоторого числа, измеряющего эту величину.

При этом мы будем руководствоваться следующими исходными положениями:

1⁰Равные тела имеют равные объемы. (Понятие определяется на основе понятия наложения).

2⁰Объем тела, состоящего из некоторых частей. Равен сумме объемов этих частей.

Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей.

Число измерения (единичных кубов) и частей единицы, содержащихся в данном теле, принимается за числовое значение объема при выбранной единице измерения. Это число может быть как рациональным (в частности, целым), так и иррациональным.

4. Доказать важное следствие: Объем куба с ребром равен.

Рассмотрим куб, принятый за единицу измерения объемов. Его ребро равно единице измерения отрезков.

Разобьем ребро этого куба на n равных частей (n - произвольное целое число) и проведем через точки разбиения плоскости, перпендикулярные к этому ребру.

Куб разобьется на n ³ равных маленьких кубов с ребром

Так как сумма объемов всех маленьких кубов равна объему всего куба (свойство 2⁰), т.е. равна 1, то объем каждого из маленьких кубов равен

(объемы маленьких кубов равны друг другу по свойству 1⁰). Итак, объем куба с ребром равен .

5. Доказать теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда.

Дано: параллелепипед, а, b, c его измерения.

V - объем параллелепипеда.

Доказать: V = abc.

Доказательство:

1 сл. Пусть а, b, c - конечные десятичные дроби (n ³ 1).

Числа а10ⁿ , b10ⁿ, c10ⁿ-целые.

Разобьем каждое ребро параллелепипеда на равные части длины и через точки разбиения проведем плоскости, перпендикулярные к этому ребру.

Параллелепипед разобьется на abc·10³ⁿ равных кубов с ребром .

Т.к. объем каждого такого куба равен , то объем всего параллелепипеда равен . Итак, V = abc.

2. сл. Хотя бы одно из измерений a, b, c -бесконечная десятичная дробь. Пусть а_n, b_n, c_n - конечные десятичные дроби, полученные из чисел a, b, c отбрасыванием в каждом из них всех цифр после запятой, начиная с (n + 1). Тогда a_n£ a£ a_n', где (аналогично для b, c). Перемножим эти неравенства a_nb_nc_n£abc£ a_n'b_n'c_n'.

По доказанному в 1 сл., левая часть -V_n, а правая V_n'. Т.к. параллелепипед Р содержит в себе параллелепипед Р_n, а сам содержится в параллелепипеде P_n', то объем V параллелепипеда Р заключен между V_n=a_nb_nc_n и V'_n= a_n'b_n'c_n' т.е. a_nb_nc_n£V£ a_n'b_n'c_n'. При неограниченном увеличении n число будет становиться сколь угодно малым, и потому числа a_nb_nc_n и a_n'b_n'c_n' будут сколь угодно мало отличаться друг от друга. Следовательно, число V сколь угодно мало отличается от числа abc. Значит они равны: V = abc. Ч.т.д.

6. Рассмотреть следствие 1: Объем прямоугольного параллелепипеда, равен произведению площади основания на высоту.

Доказать следствие 2: Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

7. Решение задач. №650.

№ 653.

8. Домашнее задание п.63 п.64. №654, № 656.(уч.Атанасян Л.С.и др.10-11)

9. Итог урока

Приложение: Презентация урока.

8