Работа на научное общество

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ЗАРЕЧЕНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

(143085, Московская область, Одинцовский район, р.п.Заречье, ул.Берёзовая, д.1)

тел.8(495)534-82-84

КОНКУРСНАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИКЕ

Название работы

«Фракталы - красота математики»

Выполнили:

Мариуца Элина Владимировна, 9 класс

Московская область,

Одинцовский район, р.п. Заречье,

ул. Университетская, д.4, кв.76

Агабалаева Эрзи Мадридовна, 9 класс

Московская область, Одинцовский район,

р.п. Заречье, ул. Университетская, д.1, кв.2

Руководитель:

Машкова Наталья Анатольевна

учитель математики

Зареченской средней общеобразовательной школы

Заречье

2013

Содержание:

1. Введение……………………………………………..стр.1

2. Фрактальная геометрия……………………………..стр.2-3

3. История возникновения…………………………….стр.3-5

4. Классификация фракталов………………………….стр.5-12

4.1. Геометрические фракталы……………………..стр.5-7

4.2. Алгебраические фракталы……………………..стр.7-8

4.3. Стохастические фракталы……………………..стр.8-10

4.4. Природные фракталы ………………………….стр.10-12

а) Фракталы в живой природе…………………стр.10-12

б) Фракталы в неживой природе……………....стр.12

5. Практическая работа………………………………..стр.13

6. Применение………………………………………….стр.14-15

7. Заключение…………………………………………..стр.16

8. Список литературы

Введение

Актуальность работы: Интерес к проблеме обусловлен возросшей ролью фракталов не только в компьютерной графике, но и во множестве других сферах деятельности. Вместе с тем, сегодня фракталы еще не изучены до конца. Знакомство с фракталами заставляет пересмотреть взгляды любого человека на геометрические свойства природных и искусственных объектов. Фрактал - удивительное явление, способное выступать моделью сложных природных систем, вроде кроны деревьев, горных хребтов, береговых линий, поверхности Луны. Кроме того, древовидные фракталы применяются для моделирования не только растений, но и бронхиального дерева, работы почек, кровеносной системы, а также для создания, максимально похожих на настоящие, виртуальных объектов. Они также незаменимы при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фракталы - понятия, вошедшие в научную картину мира сравнительно недавно, лишь в последней четверти ХХ века. В 1975 году французский математик Бенуа Мандельброт издал книгу «The fractal Geometry of Nature» («Фрактальная геометрия природы» - перевод авторов данной работы) Слово «фрактал» стало модным, более того, интерес не угасает и в наше время не только в кругу специалистов - физиков, математиков, биологов, но и среди людей, далеких от науки. Различные исследования, связанные с фракталами, меняют привычные каждому из нас представления об окружающем мире. Красота фракталов выявила новые закономерности эстетической гармонии мира, которую другими, неформальными средствами исследуют художники, архитекторы и композиторы.

Основная идея: Открытие фракталов произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии. Фрактальные алгоритмы нашли применение в информационных технологиях. Основная идея работы заключается в изучении, анализе и систематизации литературы и Интернет-ресурсов о фракталах, ознакомлении с историей, рассмотрении применения в различных областях науки и техники. Разработке алгоритмов построения геометрических и алгебраических фракталов в инструментальной среде программирования

Цель: Целью научно-исследовательской практики является систематизация, расширение и закрепление знаний о понятии фрактал. Формировании навыков ведения самостоятельной научной работы учеников и развитии творческих способностей.

1

1. Фрактальная геометрия Когда-то большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, коническое сечение, многоугольник, сфера, квадратичная поверхность, а также их комбинациями. К примеру, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в нашей солнечной системе движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам? Этот замечательный закон - один из трех постулатов планетарного движения, сформулированных Иоганном Кеплером на основе наблюдений и измерений, сделанных Тихо Браге. Позднее, сэр Исаак Ньютон вывел закон обратных квадратов для гравитационного притяжения как решение некоторого дифференциального уравнения, причем законы Кеплера следовали из его решения. Как в этом, так и в других случаях, когда применение простых геометрических моделей оказалось удачным, это привело к огромным научным достижениям. Все прекрасно знают и много раз слышали и употребляли в своем творчестве теорию золотого сечения, но почему-то о такой теории как фрактальная геометрия в фотографии практически не слышно. В науке эта теория (или концепция) была открыта лишь в семидесятых годах прошлого века, хотя в человеческой культуре она существует уже тысячи лет. И это только если говорить о человеческой культуре. В природе эта теория существует с момента ее создания.
"Геометрию часто называют "холодной" и "сухой". Одна из причин этого состоит в ее неспособности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака - не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не окружности, древесная кора не гладкая, молния распространяется не по прямой. Многие природные объекты настолько иррегулярны и фрагментированы, что по сравнению со стандартной геометрией Евклида природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня."
Бенуа Мандельброт. Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной. Столь же сложной и нерегулярной может быть и динамика реальных природных систем. Как подступиться к моделированию каскадных водопадов или турбулентных процессов, определяющих погоду? Какая математика отвечает за ритмы сердца и головного мозга, наблюдаемые на электрокардиограмме и энцефалограмме, в особенности за те внезапные приступы аритмии, которые могут вызвать сбой в работе сердца? Можно ли математически описать внезапное возникновение волны паники на финансовых рынках или даже построить математическую модель социального поведения?
Фракталы и математический хаос - подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Термин фрактал относится к некоторой статичной геометрической конфигурации, такой как мгновенный снимок водопада. Хаос - термин динамики, используемый для описания явлений, подобных турбулентному поведению погоды.

2

Что такое фракталы? Фрактал - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого. Фрактальная геометрия - это теория построения чего-либо на основе одного простого правила - САМОПОДОБИЯ - каждая мельчайшая часть структуры является подобной всей структуре в целом или же какой либо более крупной части структуры. Фрактальная геометрия - это теория построения снежинки, облака и вселенной в целом. С помощью фрактальной геометрии можно даже измерить степень хаоса и описать форму облака. Это принципиально другая, но не менее совершенная модель построения структуры. Это совершенно другая культура и абсолютно другой взгляд на окружающий мир.
Основная проблема классической математики перед фракталами - невозможность измерить длину, высоту и т.д., т.к. фракталы всегда бесконечны.
Многим, конечно, это трудно понять т.к. в школе нас учили евклидовой геометрии - прямоугольники, треугольники, окружности. Но если понять принцип фрактальности - открывается огромнейший горизонт для нового взгляда на мир. 2. История возникновения. Заслуживает внимания тот факт, что появление фракталов (еще не получивших этого имени) в математической литературе около ста лет назад было встречено с прискорбной неприязнью, как это бывало в истории развития многих других математических идей. Один известный математик,Шарль Эрмит, даже окрестил их монстрами.По крайней мере, общее мнение признало их патологией,представляющей интерес только для исследователей,злоупотребляющих математическими причудами,а не для настоящих ученых.

В результате усилий Бенуа Мандельброта такое отношение изменилось, и фрактальная геометрия стала уважаемой прикладной наукой. Бенуа Мандельброт ( род. 20 ноября 1924, Варшава) - французский математик. Основатель и ведущий исследователь в области фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993). Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году в семье литовских евреев,но уже в 1936 году семья Бенуа Мандельброта эмигрировала во Францию, в Париж. В Париже он попал под влияние своего дяди Шолема Мандельбройта, известного парижского математика, члена группы математиков, известной под общим псевдонимом «Николя Бурбаки». После начала войны Мандельброты бежали на свободный от оккупации юг Франции, в городок Тюль. Там Бенуа Мандельброт пошел в школу, но вскоре потерял интерес к учебе. Поэтому к шестнадцати годам он еле знал алфавит и таблицу умножения до пяти. Но у Бенуа Мандельброта открылся необычный математический дар, который позволил ему сразу после войны стать студентом Сорбонны. Оказалось, что у Бенуа великолепное пространственное воображение.

3

Он даже алгебраические задачи решал геометрическим способом. Оригинальность его решений позволила Бенуа Мандельброту поступить в университет. Окончив университет, Бенуа Мандельброт сначала стал «чистым математиком». Он получил докторскую степень.
В 1958 он переехал в США, где приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне, поскольку IBM в то время занималась как раз интересными Бенуа Мандельброту областями математики.
Работая в IBM, Бенуа Мандельброт ушел далеко в сторону от чисто прикладных проблем компании. Он работал в области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики. Ему нравилось именно переключаться с одной темы на другую, изучать различные направления.
Исследуя экономику, Бенуа Мандельброт обнаружил, что произвольные внешне колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени, который не описывается стандартными кривыми.
Бенуа Мандельброт ввел в употребление термин фрактал (от латинского fractus, означающего «сломанный, разбитый»). основываясь на теории фрактальной (дробной) размерности Хаусдорфа, предложенной в 1919 году. За много лет до появления его первой книги по фрактальной геометрии, Мандельброт приступил к исследованию появления монстров и других патологий в природе. Он отыскал нишу для имевших дурную репутацию множеств Кантора, кривых Пеано, функций Вейерштрасса и их многочисленных разновидностей, которые считались нонсенсом. Он и его ученики открыли много новых фракталов, например, фрактальное броуновское движение для моделирования лесного и горного ландшафтов, флуктуации уровня рек и биения сердца. С выходом в свет его книг приложения фрактальной геометрии стали появляться как грибы после дождя. Это коснулось как многих прикладных наук, так и чистой математики. Даже киноиндустрия не осталась в стороне. Миллионы людей любовались горным ландшафтом в фильме «Звездное переселение II: гнев хана», сконструированным с помощью фракталов.
Французский математик Анри Пуанкаре инициировал исследования в области нелинейной динамики около 1890 года, что привело к появлению современной теории хаоса- Интерес к предмету заметно увеличился, когда Эдвард Лоренц, занимавшийся нелинейным моделированием погоды, в 1963 году обнаружил невозможность долгосрочных прогнозов погоды. Лоренц заметил, что даже ничтожные ошибки при измерении параметров текущего состояния погодных условий могут привести к абсолютно неправильным предсказаниям о состоянии погоды в будущем. Эта существенная зависимость от начальных условий лежит в основе математической теории хаоса.
Траектории частиц броуновского движения, которым занимались Роберт Броун еще в 1828 году и Альберт Эйнштейн в 1905 году, представляют собой пример фрактальных кривых, хотя их математическое описание было дано только в 1923 году Норбертом Винером. В 1890 году Пеано сконструировал свою знаменитую кривую - непрерывное отображение, переводящее отрезок в квадрат и, следовательно, повышающее его размерность с единицы до двойки.

4

Граница снежинки Коха (1904 год), чья размерность d » 1,2618, - это еще одна хорошо известная кривая, повышающая размерность.
Фрактал, никоим образом не похожий на кривую, который Мандельброт назвал пылью - это классическое множество Кантора (1875 или ранее). Это множество настолько разрежено, что оно не содержит интервалов, но, тем не менее, имеет столько же точек, сколько интервал. Мандельброт использовал такую «пыль» для моделирования стационарного шума в телефонии. Фрактальная пыль того или иного рода появляется в многочисленных ситуациях. Фактически, она является универсальным фракталом в том смысле, что любой фрактал - аттрактор системы итерированных функций - представляет собой либо фрактальную пыль, либо ее проекцию на пространство с более низкой размерностью.
Различные древовидные фракталы применялись не только для моделирования деревьев-растений, но и бронхиального дерева (воздухоносные ветви в легких), работы почек, кровеносной системы и др. Интересно отметить предположение Леонардо да Винчи о том, что все ветки дерева на данной высоте, сложенные вместе, равны по толщине стволу (ниже их уровня). Отсюда следует фрактальная модель для кроны дерева в виде поверхности-фрактала.
Многие замечательные свойства фракталов и хаоса открываются при изучении итерированных отображений. При этом начинают с некоторой функции у = /(х) и рассматривают поведение последовательности f(х), f(f(х)), f(f(f(x))),... В комплексной плоскости работы такого рода восходят, по всей видимости, к имени Кэли, который исследовал метод Ньютона нахождения корня в приложении к комплексным, а не только вещественным, функциям (1879). Замечательного прогресса в изучении итерированных комплексных отображений добились Гастон Жюлиа и Пьер Фату (1919). Естественно, все было сделано без помощи компьютерной графики. В наши дни, многие уже видели красочные постеры с изображением •множеств Жюлиа и множества Мандельброта, тесно с ними связанного. Освоение математической теории хаоса естественно начать именно с итерированных отображений.
Изучение фракталов и хаоса открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики. Но в то же время, как это часто случается в так называемой новой математике, открытия опираются на пионерские работы великих математиков прошлого. Сэр Исаак Ньютон понимал это, говоря: «Если я и видел дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов».

3. Классификация фракталов.

Для чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их классификации.
3.1 Геометрические фракталы
С них, собственно, и начиналась история фракталов. Фракталы этого класса самые наглядные Этот тип фракталов получается путем простых геометрических

5

построений. Построение данного вида фракталов не составляет особого труда: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем бесконечное количество преобразований - получим геометрический фракталы. Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох . Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рис.1 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом. На рис. 2 (снежинка Коха)

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рисунке представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Предельная фрактальная кривая (при n стремящемся к бесконечности) называется драконом Хартера-Хейтуэя . Вот как выглядит Дракон Хартера-Хейтуэя полностью (построение вы-полнено с помощью компьютера) .Любопытное свойство драконов: уложенные рядом, они полностью со-вмещаются, но не пересекаются, совсем как пазлы! Таким образом, в Кривой

6

дракона явственно прослеживается свойство само подобия. Если мы возьмем лишь часть Кривой дракона, то все равно найдём в ней «кривую Дракона», состоящую из множества других «кривых Дракона».

3.2 Алгебраические фракталы
Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.
Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.
В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта

Множество Мандельброта.
Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении:

7

Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C,
где Z[i] и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например, 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет). Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 pаз.

Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе множества (именно там возникают сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон).
Ярким алгебраическим фракталом также является множество Жюли

3.3 Стохастические фракталы. Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

8

Самый ранний след этой идеи мы находим у мудрецов древней Эллады. Впервые Пифагор обратил внимание на порядок и гармонию, царящие во Вселенной. Мы попробуем прикоснуться к прекрасному через одно из открытий этого прекрасного ученого. Пифагорово дерево Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево. Впервые дерево Пифагора построил А. Е. Босман во время второй мировой войны, используя обычную чертёжную линейку. Каждая тройка попарно соприкасающихся квадратов ограничивает прямоугольный треугольник и получается картинка, которой часто иллюстрируют теорему Пифагора, «пифагоровы штаны во все стороны равны».

Хорошо видно, что всё дерево ограничено. Если самый большой квадрат единичный, то дерево поместится в прямоугольник 6 × 4. Значит, его площадь не превосходит 24. Но с другой стороны, каждый раз добавляется в два раза больше троек квадратиков, чем в предыдущий, а их линейные размеры в √2 раз меньше. Поэтому на каждом шаге добавляется одна и та же площадь, которая равна площади начальной конфигурации, то есть 2. Казалось бы, тогда площадь дерева должна быть бесконечна! Но на самом деле противоречия здесь нет, потому что довольно быстро квадратики начинают перекрываться, и площадь прирастает не так быстро. Она всё-таки конечна, но, по всей видимости, до сих пор точное значение неизвестно, и это открытая проблема. Если менять углы при основании треугольника, то будут получаться немного другие формы дерева. А при угле 60° все три квадрата окажутся равными, а дерево превратится в периодический узор на плоскости

Можно даже заменять квадраты на прямоугольники. Тогда дерево будет больше похоже на настоящие деревья. А при некоторой художественной обработке получаются довольно реалистичные изображения:

9

Если же в классическом дереве Пифагора угол равен 45 градусам, то также можно построить и обобщённое дерево Пифагора при использовании других углов. Такое дерево часто называют обдуваемое ветром дерево Пифагора. Если изображать только отрезки, соединяющие каким-либо образом выбранные «центры» треугольников, то получается обнаженное дерево Пифагора:

3.4 Природные фракталы. а) Фракталы в живой природе Нередко то, что мы наблюдаем в природе, удивляет нас бесконечным повторением одного и то же узора, увеличенного или уменьшенного. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т. д. Элемент «разветвления» может повторяться много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды - вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство само подобия. Фракталы с большой точностью описывают многие физические и природные явления: облака, горы, течения, береговые линии, корни и ветки деревьев, листья папоротника, что далеко не соответствует простым геометрическим фигурам. Поэтому мы можем вслед за Мандельбротом с полным правом говорить о фрактальной геометрии природы. Растения нашей планеты являются самыми древнейшими природными фракталами. Эта фрактальность особенно ярко выражена в листе папоротника. 10

Форма листа папоротника является классическим примером фрактала. Да и самому растению приписываются магические свойства.
Всем нам хорошо известна легенда, что раз в году в ночь на Ивана Купала распускается волшебный цветок папоротника. Согласно поверью, именно в купальскую полночь ненадолго раскрывалась земля перед тем, кто нашел цветок папоротника, делая видимыми скрытые в ней сокровища и клады.

Древнейшими природными фракталами нашей планеты являются деревья.

Строение кроны деревьев и корневой системы не оставляют сомнений в своей фрактальной природе.
Растения и деревья сформировали плодородный слой нашей планеты, и от него зависит наше существование, как биологического вида.
Деревья, вопреки законам гравитации растут вверх и способны перерабатывать солнечную энергию.
Деревья - это не только природные фракталы, это еще и легкие нашей планеты. Неудивительно, что кровеносная система и строение легких человека, сетчатка глаза человека имеют такую же фрактальную форму, как и деревья.

Также в природе можно встретить

Осьминог - морское придонное животное из отряда головоногих. Очевидно фрактальное строение его тела и присосок на всех восьми щупальцах. Присосок на щупальцах взрослого осьминога достигает до 2000. Коралл - их огромные скопления образуют целые коралловые рифы, фрактальный способ образования которых заметен даже невооруженным глазом.

11

Ярким примером фрактала в природе является капуста «Романеску», она же «романская брокколи» или «цветная коралловая капуста». Первые упоминания об этом экзотическом овоще относятся к Италии 16 века. Почки этой капусты растут по логарифмической спирали. Ей не перестают восхищаться 3D-художники, дизайнеры и кулинары

Рассмотрим строение цветной капусты. Если разрезать один из цветков, очевидно, что в руках остаётся всё та же цветная капуста, только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и снова, даже под микроскопом - однако все, что мы получим - это крошечные копии цветной капусты. В этом простейшем случае даже небольшая часть фрактала содержит информацию обо всей конечной структуре

б) Фракталы в неживой природе.

Фрактал - удивительное явление, способное выступать моделью сложных природных систем горных хребтов, береговых линий, поверхности Луны. Что же касается соответствия реальному миру, то фрактальная геометрия описывает весьма широкий класс природных процессов и явлений. Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: облака, горы, турбулентные течения, береговые линии, что далеко не соответствует простым геометрическим фигурам, и поэтому мы можем вслед за Б.Мандельбротом с полным правом говорить о фрактальной геометрии природы. В этой галерее (приложение 1) мы собрали природные образы, в которых ясно видна фрактальность. И конечно, в природе гораздо больше фрактальных объектов, нежели тут представлено, поскольку фракталы, по нашему скромному мнению - сама суть природы

12

Практическая работа

1. За основу своей практической работы мы взяли шестигранную снежинку. (Приложение №2 рис.1)

2. Из 7 подобных снежинок мы составили увеличенную копию данной снежинки. (Приложение №2 рис.2)

3. На следующем этапе, используя 7 увеличенных снежинок, мы составили еще одну снежинку большего размера. Сразу стало ясно, что она представляет собой точную копию той, что была взята нами изначально. Так как из работы мы уже знаем, что фрактал - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого, мы можем с уверенностью утверждать, что полученная нами снежинка является фракталом. (Приложение №2 рис.3)

4. Чем же данный, самодельный фрактал может быть полезен в наше время? Многие люди не догадываются о таком понятии, как фрактал, не смотря на то, что они окружают нас повсеместно. Данная модель может помочь преподавателям больше рассказать своим ученикам о таком удивительном явлении на конкретном примере. При изучении в школах или других образовательных учреждениях наша снежинка может использоваться не только как пример, но и как модель создания подобных фракталов своими руками. Возможно, такая снежинка заинтересует школьников помладше не только своим строением, но и красотой, которая, несомненно, завораживает. Фракталы получили большую популярность в наше время в компьютерной графике. Но мы доказали, что любой человек может создать собственный фрактал не только при помощи специальных программ на своих компьютерах, но и без каких-либо специальных средств. Главное - фантазия! (Приложение №2 рис.4, рис.5, рис.6)

13

4.Применение фракталов. Большинство людей, считают, что фракталы, это лишь красивые картинки, которые услаждают глаз. К счастью, это не так, и фракталы применяются во многих областях деятельности человека. Уже существует теоретическая база для создания новых направлений их применения, такие как диагностика заболеваний, прогнозирование разрушений при динамическом ударе и многие другие. Но, несмотря на теоретическую неисчерпаемость использования фракталов, можно предположить, что со временем выделятся основные направления их применения

Фракталы в дизайне мебели. Прагматичное использование принципа фрактальности продемонстрировал японский дизайнер Такеши Миякава.Его фрактальная тумбочка является отличным примером использования фракталов в реальном мире, а не только в виртуальном. Тумбочка Fractal 23 содержит 23 ящика самых разных размеров и пропорций, которые как-то ухитряются уживаться между собой внутри кубического корпуса, заполняя почти всё доступное им пространство.Такеши Миякава показывает, как это можно делать одновременно эффективно и эстетично. Его фрактальный шкаф подтверждение тому, что использование фракталов в дизайне - это не только дань моде, но и гармоничное конструкторское решение в условиях ограниченного пространства. Этот пример использования фракталов в реальной жизни, применительно к дизайну мебели доказывает, что фракталы реальны не только на бумаге в математических формулах и компьютерных программах. И, похоже, что принцип фрактальности природа использует повсеместно. Только нужно присмотреться к ней внимательней, и она проявит себя во всем своем великолепном изобилии и бесконечности бытия.

Фракталы в цифровой технике Фрактальная геометрия внесла неоценимый вклад в разработку новых технологий в области цифровой музыки, а так же сделала возможной сжатие цифровых изображений. Существующие фрактальные алгоритмы сжатия изображения основаны на принципе хранения сжимающего изображения вместо самой цифровой картинки. Для сжимающего изображения основная картинка остаётся неподвижной точкой. Фирма «Microsoft» использовала один из вариантов данного алгоритма при издании своей энциклопедии, но по тем или иным причинам широкого распространения эта идея не получила.

14

Фракталы в сети Принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения сведений об узлах сети «Netsukuku» использует система назначения IP-адресов. Каждый её узел хранит 4 килобайта информации о состоянии соседних узлов. Любой новый узел подключается к общей сети Интернет, не требуя центрального регулирования раздачи IP-адресов. Можно сделать вывод, что принцип фрактального сжатия информации обеспечивает децентрализованную работу всей сети, а потому работа в ней протекает максимально устойчиво.

Фракталы в графике Фракталы широко применяются в компьютерной графике - при построении изображений деревьев, кустов, поверхности морей, горных ландшафтов, и других природных объектов. Благодаря фрактальной графике был изобретён эффективный способ реализации сложных неевклидовых объектов, чьи образы похожи на природные: это алгоритмы синтеза коэффициентов фрактала, позволяющие воспроизвести копию любой картинки максимально близко к оригиналу. Интересно, что кроме фрактальной «живописи» существуют так же фрактальная музыка и фрактальная анимация. В изобразительном искусстве существует направление, занимающееся получением изображения случайного фрактала - «фрактальная монотипия» или «стохатипия».

15

6.Результат работы

Исследования, связанные с фракталами, меняют привычные представления об окружающем нас мире. Фракталы заставляют пересмотреть наши взгляды на геометрические свойства объектов. Они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Мы не можем описать камень, участок ландшафта, поверхность моря, скалу или границы острова с помощью прямых линий, кругов и треугольников. Здесь нам приходят на помощь фракталы. С помощью фракталов эти структуры можно моделировать, создавать, что и используется в различных компьютерных программах. Когда мы всматриваемся во фрактальную форму, то видим одну и ту же структуру независимо от степени увеличения. Такое подобие можно увидеть в природе, рассматривая при разном приближении горы, облака, береговые линии. Природа есть неразрывная паутина. Фрактальная геометрия - геометрия природы. Сама природа пользуется её достижениями и примеры этого можно найти повсюду: от спиралей раковины и цветков маргаритки до симметрии шестиугольных пчелиных сот. «Самоподобие» можно встретить, исследуя формы молекул или галактик. Все объекты во Вселенной взаимопроникают друг в друга. Фрактальная геометрия предопределяет формы молекул и кристаллов, которые составляют наши тела и Космос. Фактически, она есть ключ к пониманию Вселенной.

Фрактальная структура - это генетический код Вселенной.

Нами рассмотрены и изучены различные области, в которых видны проявления фракталов. Написан реферат, в котором рассмотрены ( и показаны на примерах ) применения фракталов в различных областях науки и техники, использование их в компьютерной графике. Создана презентация, с помощью которой мы постарались познакомить вас с красотой и многообразием фракталов. В презентации также присутствует пример создания фрактала. Основные положения данной работы доложены и обсуждены на школьной научно-практической конференции. В своей работе мы кратко изложили информацию о фракталах: их истории и применении. Фрактальная геометрия постепенно проникает в образовательный процесс школы через информатику. Также, в наше время предпринимаются попытки обоснования искусства с точки зрения фракталов, что, безусловно, станет началом новой эры современного искусства. Мы также узнали, что фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на обыкновенных домашних компьютерах. Значение открытия фракталов для науки трудно переоценить. Создание практически точных моделей окружающей среды позволит точнее рассмотреть и оценить факторы, влияющие на ее состояние и дальнейшее развитие. Не стоит забывать и о том, что теория фракталов используется при изучении структуры Вселенной. Появляются теории о том, что наша Вселенная - фрактал. Возможно, именно фракталы раскроют тайну бесконечности нашей Вселенной?

16

Список литературы:

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.

2. Маврикиди Ф. И. Фрактальная математика и природа перемен // 2008.

3. Цицин Ф.А. - Фрактальная Вселенная. 1997.

4. Надежда Атаева - фрактальные множества

5. Самоподобие и фракталы. Телекоммуникационные приложения: О. И. Шелухин, А. В. Осин, С. М. Смольский - Санкт-Петербург, ФИЗМАТЛИТ, 2008 г.

6. Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса, Б. Б. Мандельброт Издательство: "НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика"" (2009)

7. Ссылка:

ПРИЛОЖЕНИЕ №2

рис.1 рис.2 рис.3

рис.4

рис.5 рис.6