7


  • Учителю
  • Контрольная работа по тригонометрии

Контрольная работа по тригонометрии

Автор публикации:
Дата публикации:
Краткое описание:
предварительный просмотр материала

Контрольная работа по тригонометрии для 10 класса1)Упростите: (sin4a - sin6a) : (cos5a*sina).



A)

-2

B)

2sina

C)

-2sina

D)

-2cosa



Правильный ответ:

A



Решение:

Применим в числителе формулу:sinα - sinβ

= 2sin

α - β

∙ cos

α + β

2

2

Таким образом, числитель дроби:

sin4a - sin6a = 2*sin(4a-6a)/2*cos(4a+6a)/2 = 2*sin(-a)*cos5a = -2sinacos5a.

Как видно, числитель и знаменатель сокращаются на sinacos5a.

В результате остается только -2.





2)Упростите: 4 : (ctga - tga).



A)

tg2a

B)

ctg2a

C)

2tg2a

D)

sin2a

Правильный ответ:

C

Решение:

В знаменателе применим формулы:

tgx

=

sinx

cosx



ctgx

=

cosx

sinx

cos2x = cos2x - sin2x

sin2x = 2sinx cosx

Таким образом, знаменатель дроби:

ctga - tga = cosa/sina - sina/cosa = (cos2a - sin2a) / (sinacosa) (привели к общему знаменателю) = cos2a / (sinacosa).

Получаем:

4 : cos2a / (sinacosa) = 4 * (sinacosa) / cos2a = 2*2sinacosa / cos2a = 2sin2a / cos2a = 2tg2a.





3)Упростите: cos3a/cosa - sin3a/sina.



A)

2

B)

2sina

C)

2cosa

D)

-2

Правильный ответ:

D

Решение:

Приведем дроби к общему знаменателю. Первую дробь умножим на sina, вторую - наcosa. Общий знаменатель получится sinacosa.

cos3a/cosa - sin3a/sina = (sinacos3a - sin3acosa) / sinacosa.

Применим формулу:

sin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ.

Получаем:

sin(a - 3a) / sinacosa = -sin2a / sinacosa.

Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы воспользоваться формулой sin2α = 2sinα cosα:

-2sin2a / 2sinacosa = -2sin2a / sin2a.

Как видно, числитель и знаменатель сокращаются на sin2a.

В результате остается -2.





4)Упростите: 2 : (tga - ctga).



A)

cos2а

B)

ctg2a

C)

tg2a

D)

-tg2a

Правильный ответ:

D

Решение:

В знаменателе применим формулы:

tgx

=

sinx

cosx



ctgx

=

cosx

sinx

cos2x = cos2x - sin2x

sin2x = 2sinx cosx





Таким образом, знаменатель дроби:

tga - ctga = sina/cosa - cosa/sina.

Приводим к общему знаменателю sinacosa, умножая первую дробь на sina, вторую на cosa:

(sin2a - cos2a) / sinacosa = -cos2a / sinacosa.

Получаем:

2 : (-cos2a) / sinacosa = -2sinacosa / cos2a = -sin2a / cos2a = -tg2a.





5) В каком ответе знаки cos870°, sin(-490)° и tg670° приведены в порядке их написания?



A)

-,+,-

B)

+,-,-

C)

-,-,+

D)

-,-,-

Правильный ответ:

D

Решение:

Знак тригонометрической функции зависит от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент.

Синус угла α - это ордината (координата y) точки на тригонометрической окружности.

Косинус угла α - это абсцисса (координата x) точки на тригонометрической окружности.

Тангенс угла α - это отношение синуса к косинусу. То есть отношение координаты yк координате x.

Котангенс - это отношение косинуса к синус. То есть отношение координаты x к координате y.

На рисунке ниже:

синим цветом обозначены положительные значения оси ординат (синус);

красным цветом - положительные значения оси абсцисс (косинус)

Контрольная работа по тригонометрии

Как видно:

Синус в I и II четвертях положительный, в III и IV - отрицательный.

Косинус в I и IV четвертях положительный, во II и III - отрицательный.

Тангенс и котангенс в I и III четвертях положительные, во II и IV - отрицательные. Это следует из того, что тангенс является отношением синуса на косинус. В I четверти синус и косинус положительные, поэтому и тангенс положительный. Во II четверти синус положительный, но косинус отрицательный, поэтому и тангенс отрицательный (плюс на минус дает минус).

В данном случае учитываем, что каждые 360° можно отбросить, т.к. 360° составляют полный оборот. То есть через каждые 360° значения sinx, cosx, tgx, ctgx повторяются.

Кроме того, функции sin, tg, ctg являются нечетными, поэтому:

sin(-α) = -sinα,

tg(-α) = -tgα,

ctg(-α) = -ctgα.

Функция cos - четная, поэтому:

cos(-α) = cosα.

Следовательно, можно упростить расчеты:

а) cos870° = cos(870 - 360*2) = cos(870 - 720) = cos150°.

Угол 150° находится во II четверти, а так как cos во II и III четвертях отрицательный, тоcos870° имеет знак минус.

б) sin(-490)° = -sin(490)° = -sin(490 - 360) = -sin130°.

Угол 130° находится во II четверти, а так как sin во II четверти положительный, тоsin(-490)° имеет знак минус.

в) tg670° = tg(670 - 360) = tg310°.

Угол 310° находится в IV четверти, а так как tg в IV четверти отрицательный, то tg670°имеет знак минус.

Следовательно, правильный порядок знаков

минус,минус,минус.





6)Упростите выражение:

sin2a + 2cosa · cos2a

1 - sina - cos2a + sin3a





A)

2sina

B)

ctga

C)

4tga

D)

2tga

Правильный ответ:

B

Решение:

1) В числителе воспользуемся формулой:

sin2x = 2sinx cosx

Получаем:

sin2a + 2cosa*cos2a = 2sinacosa + 2cosa*cos2a.

Вынесем 2cosa за скобки:

2cosa(sina + cos2a).

2) В знаменателе воспользуемся формулами:

sin2

x

=

1 - cosx

2

2

и

sinα - sinβ

= 2sin

α - β

∙ cos

α + β

2

2

1 - sina - cos2a + sin3a = (1 - cos2a) + (sin3a - sina) = 2sin2a + 2sin(3a - a)/2 * cos(3a + a)/2 = 2sin2a + 2sina * cos2a.

Вынесем 2sina за скобки:

2sina(sina + cos2a).

3) Как видно, числитель и знаменатель можно сократить на (sina + cos2a).

Остается:

2cosa / 2sina = cosa / sina.

Преобразуем полученное выражение по формуле:

ctgx

=

cosx

sinx

cosa / sina = ctga.

Решите приведенные ниже задания:

1. Вычислите функции:



a) sin(5π4)

б) tg(10π3)

в) cos(−7π3)

г) ctg(−9π4)

2. Решите следующие уравнения:



a) sint=3√2

б) cost=−2√2

3.Упростите тригонометрическое выражение:

cos(−t)ctg(t)+sin(5π+t)

4.Докажите тождество:

(tg(t)+ctg(t))sin(t)tg(t)=sin−1(t)

6.Известно, что sin(t)=−23,3π2<t<2π.

Вычислите: cos(t),tg(t),ctg(t).

7. Существует ли такое число t, что выполняется равенство

sin(t)=16√−2√



 
 
X

Чтобы скачать данный файл, порекомендуйте его своим друзьям в любой соц. сети.

После этого кнопка ЗАГРУЗКИ станет активной!

Кнопки рекомендации:

загрузить материал