Методическая разработка урока по алгебре ' Числовые последовательности' (9 класс)

Тема урока : « ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ»

Определение числовой последовательности. Способы задания последовательности.

Тип урока: Урок открытия новых знаний.

Учебные цели: 1. Познакомить учащихся с понятием последовательности.

2. Рассмотреть способы задания последовательности.

3. Закрепить изученный материал решением примеров.

Развивающие цели: 1. Развивать познавательный интерес к предмету.

2. Развивать целостное представление о гармонии и красоте мира и связи этой красоты

с математическими познаниями.

3. Развивать интерес к творениям природы и художественным творениям человека .

Воспитательные цели: 1.Воспитывать внутреннюю культуру человека, стремление к познанию мира.

2. Воспитывать у обучающихся внимательность и аккуратность.

Межпредметные связи: 1. История

2. Биология

3. Физика

Внутрипредметные связи: 1. Функция, область определения функции, график функции.

2. Множества натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел.

Оборудование : 1. Плакат «Фракталы в физике»

2. Презентация «Золотое сечение»

Ход урока:

1. Постановка проблемы. ( Исторические сведения)

Теперь более чем когда-либо все в нашем мире основано на числах. Некоторые из них имеют собственные имена, например число пи, число е. Среди всех этих замечательных чисел одно является особенно интересным:

1,6180339887… Оказывается это число очаровало много блестящих умов. К нему относились с благоговением: золотое число, божественное число, божественное сечение… Оно обозначается греческой буквой Ф (фи) и играет в математике выдающуюся роль, обладая удивительными свойствами и неожиданными связями с творениями природы и человека. Это число встречается как в повседневных геометрических объектах, таких как кредитные карты и пятиконечные звезды, до золотого сечения в структуре зданий, мозаиках, на полотнах великих художников Леонардо да Винчи, Сандро Боттичелли. В окружающей природе мы также обнаружим золотое сечение. Развитие многих живых существ следует законам, установленным этим числом, и даже фракталы - красивые структуры, недавно открытые математиками, - связаны с золотым сечением.

Демонстрация презентации «Золотое сечение»

Рассмотрим пример, где тоже господствует золотое сечение - мир растений. Здесь присутствие золотого сечения неочевидно и требует введения нового математического понятия: последовательности Фибоначчи. Эта последовательность чисел, описанная итальянским математиком в XIII веке:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610…

Вопрос: Наблюдается ли какая-то особенность у чисел этого ряда? Какими способами можно задать определенный ряд чисел?

Предположения:

1. Числа записаны последовательно одно за другим. Значит - это последовательность чисел.

2. У каждого числа есть свое определенное место, каждое число обладает своим порядковым номером ( индексом).

3. Первые два числа - 1, а каждое следующее число равно сумме двух предыдущих.

4. Правее числа 610 стоят еще числа, так как стоит многоточие.

5. Можно словами описать какой ряд чисел мы хотим задать.

У этого ряда есть еще одна особенность: частное от деления любого числа последовательности на предшествующее ему число будет стремиться к Ф, давая все более точное значение для каждого следующего числа ряда. Покажем это:

1/1=1

2/1=2

3/2=1,5

5/3=1,666…

8/5=1,6

13/8=1,625

21/13=1,615348…

34/21=1,61904…

55/34=1,61764…

89/55=1,61818…

144/89=1,61797…

Ф=1,6180339887…

Для сорокового числа ряда частное совпадает с «золотым» числом с точностью до четырнадцатого десятичного знака.

Связи с числами Фибоначчи многочисленны и неожиданны, эта связь между абстрактным царством чисел и физической реальностью. Число лепестков многих цветов соответствует членам ряда Фибоначчи. Например, у сирени ( 3 лепестка, бывает 5 у махровой сирени), лютика (5), календулы (13), астры (21). Различные виды ромашки имеют разное количество лепестков, но это всегда числа Фибоначчи (21,34,55,89).

2. Формулировка обучающимися определения последовательности чисел.

3. Обобщение учителем предположений обучающихся. Изучение нового материала.

Функцию у = f (х), х принадлежит множеству N, называют функцией натурального аргумента и обозначают у = f ( n ).

Значения у называют соответственно первым, вторым, третьим и т.д. членами последовательности.. Число n называют индексом, который задает порядковый номер того или иного члена последовательности. Многоточия в обозначении последовательности означают, что правее располагаются дальнейшие члены последовательности.

Для обозначения последовательности используются различные буквы х,у,а,b и т.д.

Способы задания последовательности :

1.аналитический;

2. словесный;

3. рекуррентный.

Аналитический способ. Последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена у = f (n).

Пример: 1,3,5,7,9,…

у(n) = 2n-1 ( последовательность нечетных чисел)

2,4,6,8,10…

у(n) = 2n ( последовательность четных чисел)

5,5,5,5,5,…

у(n) = 5 (стационарная последовательность)

Словесное задание последовательности. Правило составления последовательности описано словами

( не формулой). Нахождение аналитического задания последовательности по ее словесному описанию часто бывает сложной задачей ( а иногда и неразрешимой).

Рекуррентное задание последовательности. Указывается правило, позволяющее вычислить n - й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. При вычислении членов последовательности по этому правилу мы как бы все время возвращаемся назад, выясняем, чему равны предыдущие члены. Такой способ задания последовательности называется рекуррентным ( от лат. - «возвращаться»). Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают один-два начальных члена последовательности. Например: 2,5,8,…

Вопрос: Сформулируйте определение возрастающей и убывающей последовательностей.

Определение 1. Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член ( кроме первого) больше предыдущего.

Определение 2. Последовательность называют убывающей, если каждый ее член ( кроме первого) меньше предыдущего.

Возрастающие и убывающие последовательности - это монотонные последовательности.

1,3,5,7,9,… - возрастающая последовательность

1,1/2,1/3,1/4,1/5,…- убывающая последовательность.

Вернемся к последовательности Фибоначчи. Он определил свою последовательность с помощью рекуррентного соотношения. Формула общего члена последовательности была обнаружена в 1843 г. французским математиком

Жаком Бине. Эта формула показывает, что предел отношений соседних членов последовательности Фибоначчи равен золотому сечению.

4. Закрепление изученного материала. Задание на уроке:

Решение № 560, 561,562, 566, 569 (а,б)

5. Подведение итогов урока.

Сообщения учащихся «Золотое сечение в архитектуре и искусстве», «Числа Фибоначчи у растений и живых существ ».

6. Домашнее задание. п. 24, № 565, 568, 569 (в,г), 570.

Используемая литература:

1. Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк и др. «Алгебра 9» , изд. «Просвещение»,2010

2. А.Г.Мордкович, П.В.Семенов « Алгебра 9», изд.Мнемозина», 2011

3. Ф.Корбалан «Мир математики. Золотое сечение. Математический язык красоты», изд. « Де Агостини», 2014