Конспект урока математики 'Приложение производной'

Урок алгебры в 10 классе «Приложение производной»

УМК «Алгебра и начала анализа 10 - 11»

Предмет: Алгебра

Автор учебника: А.Г. Мордкович

Класс: 10

Тип урока: урок-практикум

Цель: Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Приложение производной»

Задачи:

Учебно-познавательная компетенция: обобщить и систематизировать знания, умения и навыки учащихся по теме «Приложение производной»;

проверить умения реализовывать полученные знания при решении

заданий Единого государственного экзамена; осуществить контроль знаний

Коммуникативная компетенция: уметь работать в парах, группах

Информационная компетенция: уметь находить информацию в интернете, в различных источниках

Познавательный аспект: познакомить учащихся с применением производной в различных областях

Воспитательный аспект: повышать интерес к изучению математики, воспитывать культуру общения, уважительного отношения друг к другу, умение внимательно слушать собеседника.

«Теория без практики мертва или бесплодна, а практика без теории невозможна или пагубна. Для теории нужны знания, а для практики умения.»

А.Н.Крылов

Оборудование:

• таблица «Формулы дифференцирования»;

• презентация () «Ученые, внесшие вклад в развитие понятия производной»;

• проектор;

• экран;

• система упражнений.

Ход урока:

• оргмомент (2 мин);

• устная работа (7 мин);

• решение задач (25 мин);

• компьютерная презентация (5 мин);

• домашнее задание (3 мин);

• подведение итогов урока (3 мин).

Оргмомент

Класс заранее разбивается на 4 группы. Каждой группе в процессе урока будет предложено задание из различных областей знаний:

• математика;

• физика;

• экономика и производство;

• химия, биология, экология.

На уроке мы постараемся представить вопрос о практических приложениях производной. В школьном курсе алгебры и начал анализа рассматриваются приложения только в смежных областях знаний - физике и геометрии, исходя из физического и геометрического смысла производной. Поэтому, рассмотрев вопрос о дифференцировании функции, мы попытались перейти к решению задач из областей знаний, далеких от математики - таких как экономика, производство, биология, химия, технология.

Так как математическое моделирование реальных процессов используют в различных областях знаний, то и производную можно применить не только в физике и геометрии.

Опыт решения задач такого вида пока небольшой, но на начальном этапе изучения производной соответствующие задания имеет смысл рассмотреть, с дальнейшим их усложнением.

Предлагаю следующий план проведения урока:

• Разминка в виде решения устных заданий на применение формул и правил дифференцирования.

• Работа в группах по приложению производной в математике; физике; экономике и производстве; химии, биологии, экологии с представлением решения одной задачи от группы на доске с объяснением и проверкой.

• Компьютерная презентация: исторический материал об ученых, внесших вклад в развитие производной.

• Комментарий по выполнению домашнего задания.

• Подведение итогов урока.

Переходим к осуществлению плана работы на уроке.

Устная работа

На доске выписать известные правила нахождения производной.

(х + y)' = x' + y'

(х - y)' = x' - y'

(х * y)' = x' y + x y'

x x' y - x y'

__ = ________

y y²

Найдите производные указанных функций :

Найдите критические точки функции:

Найдите ускорение тела, движущегося по линейному закону:

;

Решение задач

Представитель каждой группы выбирает область знаний .

Каждой группе предлагается 5 заданий. Их необходимо выполнить, решение оформить в тетради, обсудить и предоставить решение одной задачи на доске.

ЭКОНОМИКА

1. Функция полных издержек производства имеет вид , где - объем производства продукции в условных единицах для данного производства. Определите, при каком объеме производства продукции средние издержки производства будут иметь наибольшее значение?

2. Потребление электроэнергии предприятиями и населением города с 8 ч до 18 ч описывается формулой , где - время в часах. В какой момент времени потребление энергии будет наибольшим?

3. Выручка магазина меняется в зависимости от сезона по формуле . Найдите закон изменения дневной выручки магазина (скорость изменения выручки).

4. Стоимость эксплуатации оборудования меняется по закону , где - время в годах. В какой момент времени стоимость эксплуатации будет наименьшей?

5. Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью км/ч, составляет . С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость 1 км пути была наибольшей?

ФИЗИКА

1. Высота камня, брошенного вертикально вверх со скоростью меняется по закону . Найдите зависимость скорости камня от времени.

2. Докажите, что движение по закону происходит с ускорением, меняющемся по квадратичному закону.

3. Материальная точка движется по закону . Найдите ускорение в момент времени .

4. Закон движения тела имеет вид . Найдите момент остановки этого тела.

5. Точка движется прямолинейно по закону . Докажите, что движение замедленное.

МАТЕМАТИКА

1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке .

2. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке .

3. Площадь прямоугольника 36 см2. Какую длину должны иметь стороны этого прямоугольника, чтобы его периметр был наибольшим?

4. Сумма двух чисел равна 24. Найдите эти числа, если их произведение принимает наибольшее значение.

5. Одно из двух чисел на 10 меньше другого. Найдите эти числа, если их произведение принимает наименьшее значение.

БИОЛОГИЯ, ХИМИЯ, ЭКОЛОГИЯ

1. В условиях экологического равновесия популяция хищников меняется по закону , где - время в годах. Найдите моменты времени, когда популяция хищников будет наибольшей и наименьшей.

2. В условиях экологического равновесия популяция травоядных жертв хищников меняется по закону , где - время в годах. Найдите моменты времени, когда популяция травоядных жертв хищников будет наибольшей и наименьшей.

3. В задачах 1. и 2. выясните, когда популяции хищников и травоядных жертв хищников будут равными.

4. Зависимость плотности азотной кислоты от ее концентрации при комнатной температуре описывается эмпирической формулой . Найдите закон изменения плотности азотной кислоты.

5. Процент электропроводности раствора кислоты при комнатной температуре зависит от процента ее концентрации в соответствии с формулой , где и измеряются в процентах. При каком значении процент электропроводности достигает наибольшего значения?

Представление решения задач на доске

Получив задание в начале урока, каждая группа приступает к решению задач на своих рабочих местах. Порядок выполнения заданий ученики выбирают сами: можно решать одновременно группой все задания, можно каждому ученику решить одну, а затем провести обсуждение решения в группе. В ходе обсуждения необходимо выбрать ту задачу, которую группа будет представлять у доски для остальных рабочих групп. Следует продумать, на какие теоретические вопросы предстоит отвечать, так как вопросы по домашнему заданию - как по теоретической, так и по практической части, должны задавать ученики, работающие в других группах.

Презентация

При подготовке к уроку учащимся было дано задание подготовить презентацию «Ученые, внесшие вклад в развитие понятия производной».

Каждая группа представляет свой слайд, рассказывая о математиках, работающих в области производной. Это Птолемей, Леонард Эйлер, Жозеф Луи Лагранж, Огюстен Луи Коши.

Рефлексия.

Как вы считаете, кто из вас работал в полную силу своих возможностей, чувствовал себя уверенно?
А кто из вас работал хорошо, но не полную силу, испытывал чувство неуверенности, боязни, что отвечу неправильно?
А у кого из вас не было желания работать, то есть сегодня не ваш день?

Оцените , выбрав одну из категорий: безразлично, скучно, интересно, увлекательно.

Домашнее задание

Сдать тетради на проверку. На следующем уроке в качестве заданий будут предложены подобные упражнения. Выбрать задания из тех областей, которые кажутся вам наиболее непонятными, разобрать их при выполнении домашнего задания.

Подведение итогов урока

Объявление оценок, полученных на уроке.

Литература

1. Апанасов П.Т., Апанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием. Книга для учителя. М.: Просвещение, 1987.

2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2-х частях.
   Часть 1. Учебник для общеобразовательных учреждений .
   Часть 2. Задачник для общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 2006.