Методическая разработка по математике. Изучение логарифмов в слабых классах.

Методическая разработка по математике.

Тема разработки:

Изучение логарифмов в слабых классах.

Разработал: учитель МБОУ СОШ № 25 г. Брянска Головачева Л.А.

Брянск

2014 г

Биология учит нас работе организма,

физика - явлениям в природе,

литература - мышлению…
И только высшая математика учит страдать.

Основная цель данного проекта - познакомить, либо же освежить в памяти тему «Логарифмы», научить решать уравнения и закрепить навыки разнообразными примерами и задачами.

Потому-то словно пена,
Опадают наши рифмы.
И величие степенно
Отступает в логарифмы.
Борис Слуцкий

Введение.

На всем протяжении XVI века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего в астрономии. Исследование планетных движений требовало колоссальных расчетов.

Астрономы просто могли утонуть в невыполнимых расчетах. Очевидные проблемы возникали и в других областях, таких как финансовое и страховое дело. Основную трудность представляли умножение и деление многозначных чисел, особенно же тригонометрических величин.

Иногда для приведения умножения к более легкому сложению и вычитанию пользовались таблицами синусов и косинусов. Была также составлена таблица квадратов до 100 000, с помощью которой умножение можно было производить по определенному правилу.

Однако эти приемы не давали удовлетворительного решения вопроса. Его принесли с собой таблицы логарифмов.

Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу XVI века свойства прогрессий. Связь между членами геометрической профессии и арифметической прогрессией не раз отмечалась математиками, о ней говорилось еще в «Псаммите» Архимеда. Другой предпосылкой было распространение понятия степени на отрицательные и дробные показатели, позволившее перенести только что упомянутую связь на более общий случай.

Применение логарифма позволило упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволило заменить умножение более простой операцией сложения, деление - вычитанием, возведение в степень - умножением и извлечение корней - делением.

На сегодняшний день можно сказать, что поистине безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. В этом году исполнилось четыре столетия с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогли астрономам и инженерам, сокращая время на вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский ученый Лаплас, «удлиняли жизнь вычислителям».

Определение логарифма.

К сожалению, логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. А уж решать логарифмы и логарифмические уравнения могут далеко не все школьники.

Однако, это мнение не совсем верно. Тема логарифмы и логарифмическая функция достаточно проста и понятна, если в ней хорошенько разобраться.

Но для начала работы необходимо вспомнить определение логарифма.

Определение: Логарифм по основанию a от аргумента b- это степень х, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Схематически это правило записывается так:

если , тогда ,

где a - основание, b - аргумент, x - собственно то, чему равен логарифм.

Случай a=1 интереса не представляет, поскольку тогда при b не равным 1 это уравнение не имеет решения, а при b=1 любое число является решением; в обоих случаях логарифм не определён. Аналогично заключаем, что логарифм не существует при нулевом или отрицательном a; кроме того, значение показательной функции у = a^х всегда положительно, поэтому следует исключить также случай отрицательного b. Окончательно получаем:

логарифм имеет смысл при .

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log_a b = x ⇒ b > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число х(значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log₂ 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2⁻¹.

Приведу несколько примеров решения логарифмов.

1. Вычислить log₂ 8.

Решение: задам наводящий вопрос: В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8? Ответ очевиден - это 3. Поскольку 2³ = 8, то значит log₂ 8=3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем)

Ответ: 3;

2. log₂ 64 = 6, поскольку 2⁶ = 64;

3. Log₇ 7 = 1, поскольку 7¹= 7;

4. log₂ = - 1, поскольку 2^-1= ;

5. log₃ = , поскольку 3 =

6. log₂₄ 1 = 0, поскольку 24⁰= 1.

Можно рассуждать немного иным способом:

1. Вычислите логарифм: log₅ 25

Решение:

1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5¹;25 = 5² и так далее;

2. Составим и решим уравнение:
   log₅ 25 = b ⇒ (5¹)^b = 5² ⇒ 5^b = 5² ⇒ b = 2;

3. Получили ответ: 2.

2. Вычислите логарифм:

Решение

1. Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 3¹;1/81 = 81⁻¹ = (3⁴)⁻¹ = 3⁻⁴;

2. Составим и решим уравнение:

3. Получили ответ: −4.

Примеры для самостоятельного решения.

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log₂ 5. Мы не сможем придумать такое целое число м, чтобы 2 ^м = 5. (Можно рассуждать иначе: числа 5 нет в таблице натуральных степеней числа 2) Однако, логика подсказывает, что этот логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 2² <����������^�����������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������
����_������������
����_������������
����_�������������

��������������������������������фры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log₂ 5, log₃ 8,log₅ 100.

Основное логарифмическое тождество.

Запишем знакомое нам выражение:

log_ab = c.

Мы уже хорошо знаем, что если число а (основание) возвести в степень с, то получим числоb. Это из самого определения логарифма следует. Стало быть, можно записать:

a^c = b

А теперь смотрим, чему же равно число с? Да вот оно:

с = log_аb

Подставим это в предыдущую формулу, и получим:

Возникает планомерный вопрос, а зачем нам эта перетасовка? Затем, что 4х-этажное выражение превращается в элементарное b! Это хорошее свойство!

Это первая формула свойств логарифмов. Её обычна называют основным логарифмическим тождеством .Единственная формула, где логарифм стоит в показателе степени.

Например: .

Ещё один пример: вычислить .

Решение: используя свойство степени и основное логарифмическое тождество получаем

Задания для самостоятельного решения:

Решение уравнений с помощью определения логарифма.

Поставим задачу: решить уравнение log_aх = c. Для этого воспользуемся определением и получим, что а^с = х. Мы перешли к элементарному показательному уравнению, которое не сложно решить. Вот сейчас, используя эти нехитрое правило мы будем учиться решать логарифмические уравнения.

Пример 1. Решить уравнение log₇х = 3.

Решение: log₇х = 3

Х = 7³

Х = 343.

Пример 2. Решить уравнение log_х 32= 5.

Решение Х⁵ = 32;

Х⁵ = 2⁵;

Х=2.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение: Сначала посмотрим на ОДЗ этого уравнения. Очевидно, что 4 - х > 0. Из чего следует, что

х< 4. Значит, корни уравнения должны быть меньше 4.

А теперь воспользуемся определением логарифма, тогда получается

4 - х = 2⁷ :

4 - х = 128,

- х = 128-4;

х = - 124 .

Это число удовлетворяет ОДЗ, значит это корень уравнения.

Ответ: - 124.

Данный пример можно решить и проще. Не находить ОДЗ, потому что уравнение элементарное, а в конце подставить найденное значение в уравнение и получить верное числовое равенство. Рассмотрим его на примере.

Решить уравнение: ;

13 -х =( )^-2;

13 - х = 8² ;

13 - х = 64;

х = - 51.

А теперь устно сделаем проверку. В скобках получаем 64, а в степени -2 как раз равно 64. Значит, решение верное.

Примеры для самостоятельного решения:

Решить уравнения 1.

Решить уравнения 2.

Решение некоторых показательных уравнений.

С помощью определения логарифма мы теперь можем решать показательные уравнения, которые раньше «не решались».

Например: 3^х = 7

Имеем: х = log_з7, то есть в ответе получилось иррациональное число.

Примерыдля самостоятельного решения:

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм от аргумента x - это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x.

Обозначают lgx.

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log₁₀ x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм от аргумента x - это логарифм по основанию e, т.е. степень, в которую надо возвести число e, чтобы получить число x.

Обозначают его ln x.

Многие спросят: что еще за число e? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459...

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто нужно помнить, что e - основание натурального логарифма:
ln x = log_e x

Таким образом, ln e = 1; ln e² = 2; ln e¹⁶ = 16 - и т.д. С другой стороны, ln 2 - иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

Основные свойства логарифмов.

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы - это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать - без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного - все можно выучить за один день.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log_a x и log_a y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

1. log_a x + log_a y = log_a (x · y);

2. log_a x − log_a y = log_a (x : y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность - логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь - одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются.

Примеры:

1. Найдите значение выражения: log₆ 4 + log₆ 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.

2. Найдите значение выражения: log₂ 48 − log₂ 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ (48 : 3) = log₂ 16 = 4.

3. Найдите значение выражения: log₃ 135 − log₃ 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:

log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Примеры для самостоятельной работы:

1. Вычислите сумму логарифмов:

2. Вычислите разность логарифмов:

3. Вычислите:

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

1. log_a xⁿ = n · log_a x;

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить - в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Примеры:

1. Найдите значение выражения: log₇ 49⁶.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:

log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12.

2. Найдите значение выражения:

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2⁴; 49 = 7². Имеем:

Пояснения : В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log₂ 7. Поскольку log₂ 7 ≠ 0, можем сократить дробь - в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано.

3. Найдите значение выражения: .

Заметим, что log₂₅ 64 = log₅ 8 - просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Примеры для самостоятельного решения:

1. Вычислить

2. Вычислить:

3. Вычислить логарифмы:

4. Используя основное логарифмическое тождество, вычислите:

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, специально подчеркивалось, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Теорема

Пусть дан логарифм log_a x. Тогда для любого числа c такого,что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

1. Найдите значение выражения: log₅ 16 · log₂ 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели:

log₅ 16 = log₅ 2⁴ = 4log₅ 2; log₂ 25 = log₂ 5² = 2log₂ 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

2. Найдите значение выражения: log₉ 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма - точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Примеры для самостоятельного решения:

1.

2.

4. Решить уравнения методом замены:

Следует обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Когда х - > 0, то логарифмическая кривая y = log_ax неограниченно приближается к оси ординат. Но оси этой она никогда не достигает. Об этом не следует забывать при построении логарифмических кривых.

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел.

3. Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство 0

2..

Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма и получим ² = 2, переходим к модульному уравнению IхI = 5² , откуда следует, что х= ±5. Но число 5 не входит в ОДЗ, а значит является посторонним корнем для данного уравнения.

3.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

4.1.

4.2.

4.3.

= ;

4.4.

4.5.

5.1. Найдите значение выражения

5.2. Найдите значение выражения

Решение: = = = 0,25

5.3. Найдите значение выражения

5.4. Найдите значение выражения

5.5. Найдите значение выражения

5.6. Найдите значение выражения .

6.1. Найдите значение выражения

6.2. Найдите значение выражения

6.3. Найдите значение выражения

Решение: = 8 ∙ 6 = 48.

6.4. Найдите значение выражения

6.5. Найдите значение выражения

6.6. Найдите значение выражения:

6.7. Найдите значение выражения:

6.8. Найдите значение выражения:

6.9. Найдите значение выражения

6.10. Найдите значение выражения

6.11. Найдите значение выражения

Решение: = = 8.

6.12. Найдите значение выражения

6.13. Найдите значение выражения

6.14. Найдите значение выражения

Решение: = 5³ ∙ 2 = 125 ∙ 2 = 250.

6.15. Найдите значение выражения