Опорный конспект по математике для учащихся по теме 'Числовая окружность'

Опорный конспект по теме: «Числовая окружность»

Пример 1. В единичной окружности проведены два взаимно перпендикулярных диаметра: горизонтальный CA и вертикальный DB. Дуга AB разделена точкой M на две равные части, а точками K и P - на три равные части. Чему равна длина дуги: AM, MB, AK, KP, PB, AP, KM?

Пример 2. Вторая четверть единичной окружности разделена пополам M, а четвертая четверть разделена на три равные части точками K и P. Чему равна длина дуги: AM, AK, AP, PB, MK, KM?

Пример 3. Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:

ЗАПОМНИТЬ

Как запомнить имена числовой окружности.

Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка - это 2π (крайняя правая точка на оси х).

2π - это длина окружности. Значит, половина окружности - это π (крайняя левая точка на оси х). Крайняя верхняя точка на оси у делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность - это π, то половина полуокружности - это π/2.

Одновременно π/2 - это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей - и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у -3π/2.

2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый знаменатель - причем это противоположные точки и относительно оси у, и относительно центра осей, и относительно оси х.

Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

- Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше).

Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π/6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше - то есть это 7π/6.

- Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше - эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа - то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 - то есть 11π/6.

Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 - то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число - то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 - и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти - это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти - это 3π. Числитель середины третьей четверти - это 5π. Числитель середины четвертой четверти - это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей - четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Решение заданий из учебника

№ 4.1

Решение:

№ 4.6

Решение:

№ 4.11

Решение:

Утверждение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t , то она соответствует и числу вида t+2π •k, где k - целое число

Важно! М(t) = M(t+2π •k)

№ 4.13

№ 4.14 № 4.15

Домашнее задание. № 4.2, 4.7, 4.10, 4.16