Показательные уравнения. Методы решения.

Показательные уравнения. Методы решения.

Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений, решаемых методами элементарной математики. Показательные уравнения рассматриваются в множестве действительных чисел. Уравнение вида ^х = b называется простейшим показательным.

Решение простейших показательных уравнений.

Решение показательных уравнений основано на свойстве степеней: две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели. Используя это свойство, уравнение ^х = b, где ˃ 0 , 1 и b 0, следует решать следующим образом:

^х = b ^х = x = .

Пример 1. Решить уравнение = .

Решение. Поскольку = ; 0,5х² - х = - ; 4х² - 8х +3 = 0.

D = 16 - 12 = 4; х_1,2 = ; х₁ = 0,5, х₂ = 1,5. Ответ: 0,5; 1,5.

Пример 2. Решить уравнение = .

Решение. Поскольку = , = ^2х-5 = ,

2х = 6х - 15 х = . Ответ:

Пример 4. Найти корни уравнения = .

Решение. Используя определение логарифма, запишем = =

Тогда данное уравнение примет вид = . Следовательно, можно записать

= х х² = , а так как > 0 , то х = . Ответ.

Решение показательных уравнений введением новой переменной.

Пример 1. Решить уравнение - + 12 = 12.

Решение. Поскольку = , = 8·, введем новую переменную р = .

Получим уравнение - 8р + 12 = 0, из которого находим р₁ = 2, р₂ = 6. Поэтому исходное уравнение равносильно совокупности простейших показательных уравнений = 2, = 6. Корнем первого уравнения является х = , а второго - х = .

Ответ: ; .

Пример 2. Решить уравнение ( + = 14.

Решение. Используя равенство = , введем новую переменную

р = . В этом случае получим уравнение р + = 14, решая которое, находим его корни, -14р + 1 = 0, р = 7 = 7 .

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

( = 7 ; ( = 7 .

Корень первого уравнения х = 2, второго - х = -2. Ответ: -2; 2.

Пример 3. Решить уравнение - 13· - = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде 13· - = 0.

Оно является однородным третьей степени относительно степеней .

Разделим все члены уравнения на 0 и получим 13·- + 13= 0.

Введем новую переменную р = , уравнение примет вид кубического уравнения

- 13 - р +13 = 0. Разложим методом группировки левую часть уравнения на множители и найдем его корни: - р - 13 - 1) = 0, р(р² -1) - 13(р² - 1) = 0,

(р² -1)(р - 13) = 0, р₁ = -1, р₂ = 1, р₃ = 13. Исходное уравнение равносильно совокупности трех простейших показательных уравнений = -1, = 1, = 13. Первое уравнение корней не имеет, корень второго - х = 0, третьего уравнения х =

Ответ: 0,

Аналогично уравнениям, которые были рассмотрены в примерах 1, 2, 3, введением новой переменной р = ^х решение уравнения вида f(^х) = 0 сводится к нахождению всех положительных корней р_k уравнения f(р) = 0 и решению простейших показательных уравнений ^х = р_k.

Пример 4. Решить уравнение - 5 · + 1 = 0.

Решение. Так как = = 4· то уравнение можно записать так: 4· - 5 · + 1 = 0. Введем новую переменную р = . Получим квадратное уравнение 4р² - 5р +1 = 0, которое имеет корни р₁ = 1, р₂ = . Исходное уравнение равносильно совокупности двух показательных уравнений = 1, = . Решая первое уравнение, получаем 2х - х² = 0, х = 0, х = 2. Решая второе уравнение, находим ещё два корня: 2х - х² = - 2, х = . Ответ: ; 0; 2; .

Пример 6. Решить уравнение + = 3.

Решение. Так как 2 = 1 + , то данное уравнение перепишем в следующем виде + = 3. Сделаем замену у = , тогда получим квадратное уравнение у² + 2у -3 = 0, из которого найдем корни у₁ = -3, у₂ = 1. Значение у₁ = -3, очевидно, постороннее. Поэтому исходное уравнение равносильно уравнению = 1, откуда = 0, х = + , n. Ответ: + , n.

Метод вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1. Решить уравнение + 4 · + 2 · = 19 · - 4 · .

Решение. Преобразуем данное уравнение, перенеся члены с одинаковыми основаниями в одну и ту же уравнения и вынося за скобки степень с наименьшим показателем, к виду:

+ 4 · + 4 · = 19 · - 2 · (9 + 4 · 3 + 4) = 19 - 2 · 5) 25 = 9. Запишем последнее равенство в виде пропорции и получим:

= = . Это уравнение равносильно уравнению х - 2 = 2, откуда х = 4. Ответ: 4.

Пример 2. Решить уравнение - = - .

Решение. Сгруппируем члены, содержащие степени с одинаковыми основаниями с разных сторон равенства: + = + . Выносим общие множители за скобки:

(1 + ) = (1 + 3). Разделим это уравнение на выражение, стоящее в правой части, получим = 1. Таким образом, находим = 0; следовательно, - единственный корень исходного уравнения. Ответ: .

Метод использования монотонности показательной функции.

Пример 1. Решить уравнение + + = 9.

Решение. Можно заметить, что х = 1 - корень данного уравнения. Покажем, что других корней уравнение не имеет. Рассмотрим функцию f(x) = + + . Она монотонно возрастает на всем множестве действительных чисел и f(1) = 9. Свойством монотонной функции является то, что она принимает каждое свое значение только один раз. Поэтому, х = 1 - единственный корень данного уравнения. Ответ: 1.

Пример 2. Решить уравнение + = 34.

Решение. Заметим, что корнем уравнения является число х = 2 (3² + 5² = 34). Докажем, что других корней уравнение не имеет. Каждая из функций и является возрастающей, следовательно, их сумма - тоже возрастающая функция. При х = 2 левая часть равна 34, при х < 2 она, следовательно, меньше 34, при х > 2 - больше 34. Итак, уравнение имеет единственный корень. Ответ: 2.

Пример 3. Решить уравнение + =

Решение. Убеждаемся, что х = 1 - корень уравнения. Можно доказать, что других корней уравнение не имеет. Для этого оценим его левую и правую части уравнения. Если х > 1, то вследствие убывания функции у = имеем + < + = 2, а вследствие возрастания функции у = имеем Поэтому, при х > 1 левая часть уравнения строго меньше 2, а правая строго больше 2. Следовательно, при х > 1 уравнение корней не имеет. Аналогично, при х < 1 левая часть уравнения строго больше 2, а правая строго меньше 2. Поэтому при х < 1 уравнение также не имеет корней. Таким образом, х = 1 - единственный корень уравнения. Ответ: 1.

Метод логарифмирования для решения показательных уравнений.

В основе этого метода лежит следующее утверждение: если выражения f(x) и h(x) положительны на множестве D, то уравнение f(x) = h(x) равносильно уравнению = на множестве D, где >0 и 1.

Пример1. Решите уравнение = .

Решение. Область допустимых значений уравнения х. Так как обе части уравнения положительные, то, прологарифмировав уравнение, например, по основанию 2, получим равносильное ему уравнение: 3х - 2 = (3 - х) · .

Решая это уравнение с помощью равносильных переходов, имеем:

3х - 2 = 3 3х + 3 +2 х(3 + = 3 + 2 х = . Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение · = 500.

Решение. Прологарифмируем это уравнение по основанию 5 или 2. (Можно логарифмировать по любому основанию, но не совсем удачный выбор основания может привести к громоздким преобразованиям). Тогда имеем следующее уравнение х + 3 · = 3 + 2 х² + х( - 3) - 3 = 0. Дискриминант

D = ( - 3)² + 12 = ( + 3)², следовательно, корни уравнения будут

х_1,2 = отсюда х₁ = 3, х₂ = - Ответ: -

Пример 3. Решить уравнение (^х-1 = .

Решение. Обе части данного уравнения положительны. Прологарифмируем обе части этого уравнения по основанию 5: (х - 1) + = - , т.е. уравнение

х( - 1) - + 1 - + = х - 1 - , равносильное исходному уравнению. Отсюда получаем х = , т.е. х = . Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение = 9.

Решение. Область допустимых значений уравнения: х > 0.

Поскольку обе части уравнений положительны, то прологарифмируем по основанию 3:

) = 2, ( + = , = 1 и = 2, следовательно,

(1 + = 2, + - 2 = 0. Сделаем замену = у, тогда у² + у - 2 = 0, корнями которого являются числа у₁ = - 2 и у₂ = 1. Возвращаемся к нашей замене и получаем: = - 2 или = 1. Тогда х₁ = и х₂ = 3. Ответ: ; 3.

Пример 5. Решить уравнение | = 1.

Решение. Понятно, что х 3,следовательно, |х - 3| 0. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, тогда (3х² - 10х + 3) = 0, откуда

3х² - 10х + 3 = 0 или = 0. Корнями квадратного уравнения 3х² - 10х + 3 = 0 будут

х₁ = и х₂ = 3. Из уравнения = 0 находим |х - 3| =1 х - 3 = - 1 или х - 3 = 1.

Поэтому х₃ = 2, х₄ = 4; х₂ = 3 не подходит по ОДЗ логарифма. Ответ: ; 2; 4.

Нестандартные методы решений показательных уравнений.

Пример 1. Решите уравнение 3 + (3х - 10) + 3 - х = 0.

Решение. Данное уравнение кроме показательных функций содержит линейные функции у = 3х - 10 и у = 3 - х. Можно заметить, что относительно р = оно является квадратным:

3р² + (3х - 10)р + 3 - х = 0 и поэтому р = = = = = , откуда р = , р = 3 - х. Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений: = , = 3 - х. Корень первого уравнения х = . Второе уравнение имеет корень х = 1, а других корней не имеет, т. к. его левая часть - всюду возрастающая функция, а правая - всюду убывающая. Ответ: 1; .

Пример 2. Решить уравнение + х = 2.

Решение. Применив формулу основного логарифмического тождества, получим уравнение х² - 2х - 1 + х = 2(*), корни которого х₁ = и х₂ = . Теперь достаточно проверить, какое из полученных чисел удовлетворяет неравенству: х² - 2х - 1 0 (**). Это можно сделать проще (не подставляя в неравенство полученные числа). Перепишем уравнение (*) в виде х² - 2х - 1 = 2 - х, тогда видим, что выражение х² - 2х - 1 положительно тогда и только тогда, когда х 2. Таким образом, вместо Дубова Мария Игоревна 273 - 784 - 574

проверки неравенства (**) можно проверить условие х 2. Теперь видно, что только х = является корнем данного уравнения. Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение = .

Решение. В данном уравнении удобно применить следующий прием: разделив числители и знаменатели в обеих частях уравнения на 0, получим равносильное исходному уравнение: =.Далее сделаем замену = у, у0 и получаем =. (*)

Можно заметить, что у 1, у . Таким образом, получаем равносильное (*) уравнение

(5 + 5у)(2 - 3у) = 4 - 4у; 10 - 5у - 15у² - 4 + 4у = 0; 15у² + у - 6 = 0; D = 1 + 360 = 361;

у₁= у₂= ; у₁ = , у₂ 0. Вернемся к нашей замене, получим уравнение = , откуда х = 1. Ответ: 1.

Пример 4. Решить уравнение + = + 1.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде:

+ = + 1.

Сделаем замену = ; = b, тогда + ^-1 - ² - 1 = 0;

²b + b - ³ - = 0; ²(b - ) + (b - ) = 0; (b - )(² + 1) = 0, откуда b = поскольку уравнение ² + 1 = 0 корней не имеет. Таким образом, = и

х² + 1 = 2х. Очевидно, что х = 1. Ответ: 1.

Пример 5. Решить уравнение 6 · + 8 · = 48.

Решение. Разделим обе части уравнения на 24, получим уравнение

+ = 2. Применяя неравенство ||| + |b| (его легко доказать возведением обеих частей в квадрат), получим |х - 2| + |х - 4| |х - 2 - (х - 4)| = 2 и |х - 1| + |х - 3| = |х - 1 - (х - 3)| = 2, поэтому 1 и 1.

Знак равенства возможен, если имеет решение система уравнений:

. Ответ: Пример 5. Решить уравнение х² - 2х + 2 = 2 · - Решение. Представим уравнение в виде ( - 1)² + (х - 1)² = 0. Это уравнение равносильно системе: откуда х = 1. Ответ: 1.