Урок по теме «Примеры применения производной для исследования функции» (для учащихся 10 класса)

Тема урока: Примеры применения производной к исследованию функции.

Цели урока: 1) Закрепить знания нахождения промежутков возрастания и убывания функции, экстремумов функции с помощью производной;

2) Способствовать выработке навыка построения графика функции исследованием с помощью производной.

Задачи урока:

Учебная: Повторить:

1) Признаки возрастания и убывания функции;

2) Определение критических точек, точек экстремума;

3) Признаки максимума и минимума

4) Теорему о монотонности функции.

Развивающая: Учить осуществлять исследовательскую деятельность.

Воспитательная: Формировать навыки умственного труда.

Тип урока: Урок комплексного применения ЗУН учащихся.

Методы обучения: Частично - поисковый , работа по обобщающей схеме, системные обобщения, самопроверка.

Формы организации урока: Индивидуальная, фронтальная.

Оборудование и источники информации: Учебник, рисунки, презентация.

План урока.

1. Информационный ввод (1 мин.).

2. Актуализация ЗУН (5 мин.).

3. Работа с учебником (7 мин.).

4. Устная работа (5 мин.).

5. Психофизиологическая пауза (1 мин.).

6. Исследовательская работа (14 мин.)

7. Закрепление материала (5мин.)

8. Подведение итога (2 мин.).

Ход урока.

1. Информационный ввод.

Учитель сообщает тему урока, цель и ставит задачи.

2. Актуализация ЗУН.

Повторение:

1) Признаки возрастания и убывания функции:

Если в каждой точке интервала , то функция f возрастает на .

Если в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

2) Определение критических точек:

Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - экстремумами.

3) Признаки максимума и минимума:

Если функция f непрерывна в точке х₀ , а на интервале (а;х₀) и на интервале (х₀;в), то х₀ является точкой максимума функции f.

Если функция f непрерывна в точке х₀ , а на интервале (а;х₀) и на интервале (х₀;в), то х₀ является точкой минимума функции f.

4) Если производная функции на некотором промежутке I, то функция на этом промежутке монотонно возрастает (монотонно убывает).

Задание: Даны графики производной. Назовите точки экстремума.

y

y

1). 2).

-3 -2 -1 0 1 2 3 x -2 0 2 х

y

y

3) 4)

-2 0 2 x 0 1 x

y

5)

-5 0 1 3 х

Ответы:

1) х=-3, х=1 - точки максимума; х=-1, х=3 - точки минимума.

2) х=2 - точка максимума, х=-2 точка минимума.

3) х=2 - точка максимума.

4) точек экстремума нет.

5) х=1 - точка максимума, х=-5, х=3 - точки минимума.

3. Работа с учебником.

Автор А. Н. Колмогоров, стр. 153, пример 1, рис. 111.

Значит, при построении графика функции с помощью производной полезно придерживаться такого плана: (Учащиеся записывают в тетрадь).

1) Найти область определения функции.

2) Выяснить, является ли функция четной или нечетной, периодической.

3) Определить точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.

4) Найти критические точки функции.

5) Определить промежутки монотонности и экстремумы функции.

6) Используя результаты исследования, соединить полученные точки плавной кривой.

Иногда для большей точности находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Этот план исследования функции и построения ее графика является примерным, его не всегда надо придерживаться пунктуально: можно менять порядок пунктов, некоторые совсем опускать, если они не подходят к данной функции. В частности, если нахождение точек пересечения с осями координат связано с большими трудностями, то это можно не делать.

Если функция четная, то ее график симметричен относительно оси Оy, поэтому достаточно построить график для положительных значений аргумента, принадлежащих области определения и так далее.

4. Устная работа.

Назовите по следующим данным промежутки возрастания, убывания и точки максимума и минимума.

1.

х

(-7;1)

1

(1;6)

6

(6;7)

+

0

-

0

+

f(x)

10

-3

2.

х

(-3;0)

0

(0;4)

4

(4;8)

8

(8;+)

+

0

-

0

+

0

-

f(x)

-3

-5

6

3. y

1

-1 0 1 x

5. Психофизиологическая пауза.

Упражнения для коррекции осанки и упражнения гимнастики для глаз.

6. Исследовательская работа.

Исследовать функцию и построить ее график:

Решение.

;

2) Функция ни четная, ни нечетная, не периодическая;

3) Нули функции:

Пересечение с OY: (0;0).

Возьмем две дополнительные точки:

4)

5) Найденные критические точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка:

(-;-1), (-1;0), (0;2), (2;+).

х

(-;-1)

-1

(-1;0)

0

(0;2)

2

(2;+)

-

0

+

0

-

0

+

f(x)

-

0

-

убывает

min

возрастает

max

убывает

min

возрастает

y

1

-1

-1,4 0 1 2 3 x

-1

-2

№ 297 г). Исследуйте и постройте график функции:

1) D(f)=R;

2) Ни четная, ни нечетная, не периодическая;

3)

4)

5)

х

(-;0)

0

(0;2)

2

(2;+)

-

0

+

0

+

f(x)

0

4

убывает

min

возрастает

max

убывает

y

0 2 3 х

7. Закрепление.

Прочитайте график функции:

1) 2)

y y

0 1 2 х -1 0 1 х

3) y

0 х

№ 299 (а;б). Докажите, что функция f возрастает на множестве R.

а)

Производная функции положительна на всей области определения, значит, сама функция возрастает на множестве R.

8. Подведение итога.

Учитель подводит итог и выставляет оценки за урок.

1) Д/З: №298(г); №299(в).

2) Исследовать функцию и построить ее график:

Решение.

а ) D(y)=(-;-2)

б) Функция нечетная, так как

График симметричен относительно начала координат.

в) Если х=0, то y=0.

Дополнительные точки:

г)

Производная функции отрицательна на всей области определения, следовательно, функция убывает на всей области определения и экстремумов не имеет.

y

-2 -1 0 1 2 3 х

№299 в) Докажите, что функция f возрастает на множестве R.

Решение.

№298 г) Найдите промежутки возрастания и убывания функции.

Решение.

Использована литература.

1. Алгебра и начала математического анализа. (Учебник для общеобразовательных учреждений под редакцией А. Н. Колмогорова). Москва. «Просвещение». 2008 г.

2. Математика 5 - 11 кл. Уроки учительского мастерства. (Автор - составитель Е. В. Алтухова). Волгоград. «Учитель». 2007 г.

3. Математика 5 - 11 кл. Игровые технологии на уроках. ( Автор - составитель Н. В. Барышникова). Волгоград. «Учитель». 2007 г.

4. «Математика» №3/ 2005. Библиотечка «Первого сентября».