НОУ по математике 'Интересные свойства чисел'

Интересные свойства чисел.

Работу выполнила:
ученица 10«Б» класса
МБОУ СОШ №103
Коперина А.И.
Руководитель: Вихорева Н.Н.

г. Нижний Новгород
2014г.

Содержание.

1. Введение

2. Загадка числа 196

3. Перемножение чисел чуть меньше 100

4. Интересное число 50

5. Число 13223140496

6. Экономные числа

7. Репдигит время

8. Постоянная Капрекара

9. Числа Армстронга

10. Число Смита время

11. Интересные свойства числа 9

12. 100 чисел

13. Заключение
    
    
    

Введение.

Всё мы со школьной скамьи изучаем математику: цифры, числа, выражения… Мы привыкли решать всё по заданным алгоритмам, по правилам, и ни когда не задумывались о свойствах чисел. Ведь в любой закономерности есть исключение, в любом законе найдётся лазейка и про каждое число можно рассказать что-то интересное. Каждое число чем-то отличается от других, а чем-то и похоже.

Цель: Я поставила перед собой цель найти такие числа, которые объединены между собой интересными закономерностями или наоборот, не подчиняются каким-либо правилам.

Задачи:

1. Найти такие числа

2. Изучить их свойства

3. Произвести проверку

4. Сделать вывод

Загадка числа 196.Возьмём любое натуральное число, например, 12. Переставим в нём цифры в обратном порядке и сложим с исходным числом.

12 + 21 = 33.

Мы получили число-палиндром, одинаково читающееся как справа налево, так и слева направо. Иногда, чтобы получить палиндром, требуется больше шагов. Вот, например, для числа 192:

192 + 291 = 483

483 + 384 = 867

867 +768 = 1545

1545 + 5451 = 6996

Сделано 4 шага и палиндром, 6996, получен.

И так происходит почти с любым числом, с какого бы ни начать процесс. А вот с числом 196 что-то странное. Сколько ни продолжали переставлять цифры и складывать - палиндрома не выходило

196 + 691 = 887

887 + 788 = 1675

1675 + 5761 = 7436

7436 + 6347 = 13783

13783 + 38731 = 52514

52514 + 41525 = 94039

94039 + 93049 = 187088

187088 + 880781 = 1067869

Само число уже превышает миллион, а палиндром не получен! И до сих пор не найдено ни на каком шагу из числа 196 получится палиндром (а таких шагов разными исследователями с помощью компьютера сделано более семисот миллионов), ни строгого доказательства, что палиндром не будет получен никогда. Числа, которые, как и 196, не дают палиндром после некоторого числа шагов, называются числами Лишрел.

Перемножение чисел чуть меньше 100.

Перемножим 2 числа, чуть меньшие сотни:

(100 - a)(100 - b) = 10000 - 100(a + b) + ab = 100(100 - (a + b)) + ab

Например:

81*97

a = 19, b = 3, a + b = 22, ab = 57, 100 - (a + b) = 78.

Результат: 7857

Следует быть внимательным в случае, когда ab окажется трёхзначным:

88*89

a = 12, b = 11, a + b = 23, ab = 132, 100 - (a + b) = 77.

В этом случае нужно будет первую цифру от 132 прибавить к 77, а уже двуциферное окончание приписать к полученному результату.

Получим: 7832

Интересное число 50.
С математической точки зрения число 50 интересно тем, что это - наименьшее натуральное число, которое представляется в виде суммы двух квадратов натуральных чисел двумя способами.

50 = 49 + 1 = 25 + 25.

Если заменить слово "натуральных" словом "целых", то наименьшим числом такого рода будет 25: 25 = 16 + 9 = 0 + 25.

Оказывается, есть простой способ определить, представимо ли число в виде суммы двух квадратов двумя способами. Для этого оно должно иметь в своём разложении как минимум 2 (не обязательно различных) простых множителя, дающих остаток 1 при делении на 4. А количество простых множителей, дающих остаток 3 при делении на 4 должно быть чётным. Например, число 305 = 5 х 61. И 5 и 61 дают остаток 1 при делении на 4. Множителей, дающих остаток 3 в его разложении нет, т.е. их 0 штук - чётное число. Значит, 305 представляется в виде 305=42+172=72+162.Зная это, подобные числа можно конструировать. Возьмём простое число 5, умножим его на простое число 13, и дважды умножим на простое число 3. Полученный результат 585 представляется как:

585=32+242=122+212.

Число 13223140496 - это наименьшее натуральное число, которое, будучи написанным дважды подряд, образует полный квадрат.

1322314049613223140496 = 363636363642²

Экономные числа

Разложим натуральное число на простые множители. Запись его разложения может иметь как больше цифр, чем само число (например, 2013 = 3*11*61), столько же цифр (27=3³) или даже быть короче (1701 = 37*7)

Числа первого вида в занимательной математике называются избыточными. Это уже третье определение избыточного числа (первое относится к базовому свойству числа - сумме делителей, а второе - к названию числа в определённом языке).

Числа, в разбиение которых на простые множители используется (с учётом больших единицы показателей степеней) столько же цифр, сколько их в самом числе, называются равноциферным. В частности, все простые числа - равноциферны в любой системе счисления.

А те же числа, факторизация которых имеет меньше цифр, чем само число, называются экономными. Наименьшее экономное число для десятичной системы - это 125 = 5³.

Репдигит - это число, которое состоит из повторяющихся цифр. Например, 111 или 5555. Иногда к репдигитам относят и однозначные числа: 1, 2, ... 9.

Поскольку здесь мы имеем дело с цифрами, то в разных системах счисления разные числа окажутся репдигитами. Например, число 26 будет репдигитом в троичной системе, ведь там оно выглядит как 222.

Репдигитом в тринадцатеричной системе счисления является число 2013. А некоторые числа являются репдигитами в нескольких системах. Сразу заметим, что любое число n записывается как 11 в системе счисления с основанием n-1 и является однозначным в системах с основанием n+1 и более.
Если рассматривать только системы счисления с основанием менее n-1, первым нетривиальным множественным репдигитом будет число 15. В двоичной системе оно запишется как 1111, а в четверичной - как 33.

Следующее - число 24: (24)10 = (44)5 = (33)7 = (22)11.

Постоянная Капрекара. Это число равное 6174.
Получение: выбрать любое четырехзначное число, в котором все цифры разные. Расположить цифры сначала в порядке убывания, затем, переставив их в обратном порядке, образовать новое число. Вычесть новое число из старого. Повторяя этот процесс с получающимися разностями (не более чем за семь шагов) получим число 6174 , которое будет затем воспроизводить самого себя. Производя вычитания, нули следует сохранять.

Примеры: 4321 - 1234 = 3087 8730 - 0378 = 8352 8532 - 2358 = 6174.

1100 - 0011 = 1089 9810 - 0189 = 9621 9621 - 1269 = 8352 8532 - 2358 = 6174.

Числа Армстронга. Числа 153, 370, 371, 407

А что, если вместо суммы квадратов вычислять сумму кубов цифр числа? Оказывается, "орбиты" получаются гораздо интереснее. Некоторые числа "вырождаются" - приходят к единице. Другие - "стабилизируются": через несколько шагов цепочка приводит к одному из чисел 153, 370, 371 или 407 . Эти четыре числа обладают замечательным свойством: они равны сумме кубов своих цифр.

Числа 153, 370, 371 и 407 имеют специальное название - числа Армстронга (в честь математика, который их впервые исследовал). Строгое математическое определение таково: n-значное число называется числом Армстронга, если оно равно сумме n-ых степеней своих цифр.

n

Числа Армстронга

3

153; 370; 371; 407

4

1634; 8208; 9474

5

54748; 92727; 93084

6

548834

7

1741725; 4210818; 9800817; 9926315

8

*24678050; 24678051; 88593477

9

146511208; 472335975; 534494836; 912985153

10

4679307774

11

32164049650; 32164049651; 40028394225; 42678290603; 44708635679; 49388550606; 82693916578; 94204591914

14

28116440335967

Число Смита

4937775 = 3 х 5 х 5 х 65837-разложение на простые множители

Сумма цифр числа - 42 Сумма цифр разложения - 42

Числа Смита: 4, 22, 27, ...

На интервале (0, 10 000) - 376 чисел Смита

На интервале (0, 100 000) - около 3300 чисел Смита

На интервале (0, 1 000 000) - 29928 чисел Смита

Число чисел Смита бесконечно

Наибольшее известное число Смита - 9 x R1031(104594 + 3 x 102297 + 1) x 103913210 имеет 10694985 знаков в своей записи в десятичной системе счисления. Здесь R1031 - репьюнит.(англ. repunit, от repeated unit - повторённая единица) - натуральные числа , запись которых в системе счисления с основанием состоит из одних единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются : ,
и т. д., и общий вид для них:

Известно также родственное понятию числа Смита, понятие Братья Смита - это числа Смита стоящие рядом друг с другом. Например, (728; 729) или (2964; 2965). Однако неизвестно, сколько существует таких пар.

Интересные свойства числа 9 часто применяются в арифметике как для теоретических изысканий и практических действий, так и для составления различных занимательных задач или так называемых «головоломок». Распространено также практическое применение девятки для проверки умножения и деления. Основано оно на том свойстве всякого числа, что остаток, получаемый от деления числа на девять, всегда равен остатку от деления на 9 суммы цифр этого числа. Укажем здесь еще несколько интересных применений этого числа. Прежде всего нетрудно убедиться, что если мы напишем произвольное двузначное число, а затем напишем цифры этого же числа в обратном порядке и возьмем разность полученных чисел, то эта разность всегда разделится на 9. Например,72 − 27 = 45; 92 − 29 = 63; 63 − 36 = 27 и т. д.

Вообще ясно, что (10a + b) − (10b + a) = 9(a − b), т. е. получается число, делящееся на 9. (Кроме того разность эта равна произведению 9 на разность цифр данного двузначного числа.) Знание этой особенности может принести практическую пользу, например, многим бухгалтерам.

100 чисел

• 0 (нуль) Величайшее изобретение человеческого разума, давшего исходный импульс развитию математике как таковой. Согласитесь - невероятно трудно придумать «ничего», дать ему имя и использовать в вычислениях. Самые интересные свойства - на нуль нельзя делить, нуль, будучи показателем степени, приравнивает любое число к единице. Умножение на нуль дает нуль. Сложение и вычитание его результат не меняет. Использование нуля позволяет создавать позиционные системы счисления (в отличие, например, от римских цифр, обходившихся без нуля). О следующих числах предельно кратко.

• 1 Дает тождество при умножении. Равно любому числу в нулевой степени.

• 2 Единственное четное простое число.

• 3 Число размерностей пространства, в которых мы живем. Единственное число, равное сумме всех меньших чисел - естественно, речь все время идет о целых числах. Имеет горизонтальную ось симметрии.

• 4 Наименьшее число цветов для раскраски карты на плоскости. Тетраэдальное число.

• 5 Число Платоновых многогранников. Пятое число из последовательности Фибоначчи. Пирамидальное число.

• 6 =3! Наименьшее совершенное число. Треугольное число.

• 7 Наименьшее число сторон многоугольника, которым нельзя замостить плоскость. Шестиугольное число.

• 8 Наибольший куб в последовательности Фибоначчи. Имеет горизонтальную и вертикальную оси симметрии.

• 9 Максимальное число кубов, необходимое для представления в виде их суммы любого положительного целого числа.

• 10 Основание нашей системы счисления. Число топологически различных фигур из 5 спичек. Тетраэдальное и треугольное число.

• 11Наибольшее количество кусков, на которые делят круг 4 прямые линии. Имеет горизонтальную ось симметрии.

• 12 Наименьшее число, имеющее 4 делителя. Количество плиток пентамино.

• 13 Число Архимедовых многогранников. Число из последовательности Фибоначчи. Перестановочное (с 31) простое число.

• 14 Четвертое число Каталана. Пирамидальное число.

• 15 Четвертое число последовательности Белла. Треугольное число. Произведение первых трех нечетных чисел. Количество сочетаний четырех чисел из шести.

• 16Единственное число (кроме 1), выражаемое в форме x^y=y^x , а именно 2⁴=4².

• 17 Количество вариантов узоров, построенных с использованием сдвигов, поворотов и отражений. Перестановочное (с 71) простое число.

• 18 Единственное число, равное удвоенной сумме его цифр.

• 19 Максимальное число четвертых степеней чисел, с помощью суммы которых можно выразить любое число. Шестиугольное число.

• 20 Число топологически различных фигур из 6 спичек. Тетраэдальное число. Количество сочетаний трех чисел из шести.

• 21 Число из последовательности Фибоначчи. Треугольное число. Количество сочетаний двух или четырех чисел из шести.

• 22 Количество кусков, на которые делят круг 6 прямых линий.

• 23 Количество деревьев с восемью звеньями.

• 24 =4! Самое большое число, которое делится на все числа, меньшие корня из него.

• 25 Наименьшее число, которое можно представить как сумму двух квадратов.

• 26 Наименьшее число не-палиндром, квадратом которого является палиндром.

• 27 Единственное (возможно?) число, у которого сумма цифр (9) суммы кубов цифр (8+343=351) с суммой цифр (18) куба суммы цифр (729) равна самому числу.

• 28 Второе совершенное и одновременно треугольное число.

• 29 Седьмое число Люка. Наибольшее количество кусков, на которые делят круг 7 прямых линий.

• 30 Самое большое число, у которого все числа меньшие его и взаимно простые с ним простые. Пирамидальное число.

• 31 Простое число Мерсенна. Перестановочное (с 13) простое число.

• 32 Наименьшая 5-ая степень числа (исключая 1)

• 33 Самое большое число, не равное сумме разных треугольных чисел. Имеет горизонтальную ось симметрии.

• 34 Наименьшее число такое, что имеет равное количество делителей с ближайшими соседними числами. Число из последовательности Фибоначчи

• 35 Количество плиток гексамино. Тетраэдальное число. Количество сочетаний трех или четырех чисел из семи.

• 36 Наименьшее число (кроме 1), которое одновременно и квадратное и треугольное.

• 37 Максимальное количество 5х степеней чисел, необходимое для выражения их суммой любого числа. Количество кусков, на которые делят круг 8 прямых линий. Шестиугольное число. Перестановочное (с 73) простое число.

• 38 Наибольшее римское число (по длине) в лексикографической записи (XXXVIII).

• 39 Три делителя этого числа пишутся одними и теми же цифрами.

• 40 Максимальное число сфер, касающихся каждой сферы при плотнейшей упаковке их в пятимерном пространстве. Количество расстановок 7 ферзей на доске 7*7 не угрожающих друг другу.

• 41 Наименьшее число, не выражаемое в форме |2x - 3y|. А его квадрат содержит в написании два квадрата.

• 42 Пятое число Каталана. Количество вариантов плоскостей гексагексафлексагона.

• 43 Количество гептиамондов. (Фигуры из 7 правильных треугольников)

• 44 Количество вариантов перемешивания пяти предметов.

• 45 число Капрекара. Треугольное число. Количество сочетаний двух или восьми чисел из десяти.

• 46 Количество участков, на которые делят круг 9 прямых линий.

• 47 Наибольшее число кубов, из которых нельзя сложить куб. Количество деревьев с девятью звеньями.

• 48 Наименьшее число, имеющее 10 делителей.

• 49 Наименьшее число такое, что оно само и его ближайшие соседи имеют среди делителей квадраты.

• 50 Наименьшее число, которое можно представить как сумму квадратов двумя способами. Число вариантов складывания полоски из 5 марок.

• 51 Шестое число Мотзкина.

• 52 Это пятое число Белла.

• 53 Является одним из чисел n, которые служат делителем суммы n первых простых чисел.

• 54 Наименьшее число, которое может быть представлено суммой трех квадратов тремя способами.

• 55 Наибольшее треугольное число среди чисел Фибоначчи. Пирамидальное число.

• 56 Количество вариантов Латинских квадратов. Тетраэдальное число.

• 57 = 111 по основанию 7.

• 58 Половина, сумма цифр и сумма квадратов цифр - простые числа.

• 59 Наименьшее число, представляемое четвертыми степенями чисел в форме a4+b4-c4.

• 60 Наименьшее число, имеющее своими делителями все числа от 1 до 6.

• 61 Это шестое число Эйлера. Шестиугольное число.

• 62 Наименьшее число, которое может быть представлено суммой трех квадратов двумя способами.

• 63 Количество вариантов упорядочивания множества из 5 элементов.

• 64 Наименьшее число, имеющее 7 делителей.

• 65 Еще одно (как и 50) число, которое можно представить как сумму квадратов двумя способами.

• 66 Треугольное число. Количество сочетаний двух или десяти чисел из двенадцати.

• 67 Наименьшее число, которое будет палиндромным, если его представить по основанию 5 или 6.

• 68 Попытка проследить последовательные суммы квадратов цифр сразу обрывается, так как ряд замыкается.

• 69 интересно тем, что n2 и n3 вместе содержат все цифры.

• 70 Количество сочетаний четырех элементов из восьми.

• 71 Делитель суммы всех простых чисел, меньших его самого. Перестановочное (с 17) простое число.

• 72 Максимальное число сфер, касающихся каждой сферы при плотнейшей упаковке их в шестимерном пространстве.

• 73 Наименьшее из чисел (исключая 1), которое меньше удвоенного числа с перевернутыми цифрами (37*2=74). Перестановочное (с 37) простое число.

• 74 Одно из чисел с таким свойством, что сумма его с перевернутым числом равна квадрату суммы его цифр (74+47=11^2). Число областей, на которые делят плоскость 9 пересекающихся окружностей.

• 75 Если сложить сумму цифр с их произведением и повторять эту операцию, то вскоре зациклимся на числе 39.

• 76 Количество треугольников, которые можно сложить из зубочисток 6 цветов.

• 77 Наибольшее число, которое не может быть представлено суммой ряда чисел, начиная с 1.

• 78 Наименьшее число, которое может быть представлено суммой четырех квадратов тремя вариантами. Треугольное число. Количество сочетаний двух или одиннадцати чисел из тринадцати.

• 79 Перестановочное простое число, так как 97 тоже простое.

• 80 Наименьшее число n такое, что n и n+1 оба являются произведениями четырех и более простых чисел.

• 81 Квадрат суммы цифр.

• 82 Пятиугольное число.

• 83 Еще одно из чисел с таким свойством, что сумма его с перевернутым числом равна квадрату суммы его цифр.

• 84 Тетраэдальное число. Количество сочетаний трех или шести чисел из девяти. Количество областей, на которые делят пространство 7 сфер.000

• 85 Если взять сумму квадратов цифр и повторять эту операцию, то вскоре попадем в замкнутое кольцо, в котором, что самое интересное, число 85 не участвует.

• 86 = 222 по основанию 6.

• 87 Единственное ничем не примечательное число в первой сотне, этим и интересно :) 03.01.2002 Василий Данилов прислал сообщение о том, что 87 - сумма квадратов первых 4 простых чисел 87 = 22 + 32 + 52 + 72 с сылкой на источник! Зайдите - это интересно!

• 88 Единственное число из двух одинаковых цифр, квадрат которого содержит две пары одинаковых цифр. Имеет горизонтальную и вертикальную оси симметрии.

• 89 = 81 + 92 Число из последовательности Фибоначчи.

• 90 Число десятков равно количеству делителей (не считая 1)

• 91 Запишется как 10101 по основанию 3. Шестиугольное число. Самое большое число, для которого выполняется равенство 12+22+32+...+n2 = 1+2+3+...+m, поэтому оно пирамидальное и еще и треугольное число.

• 92 Число расстановок восьми ферзей на шахматной доске так, чтобы они не угрожали друг другу. Число областей, на которые делят плоскость 10 пересекающихся окружностей.

• 93 = 333 по основанию 5.

• 94 Половина, сумма цифр и сумма квадратов цифр - простые числа.

• 95 Количество вариантов разделения плоскости на 10 областей.

• 96 Наименьшее число, которое можно представить как сумму квадратов четырьмя способами.

• 97 Наименьшее из чисел, три первых кратных которого содержат цифру 9. Перестановочное (с 79) простое число.

• 98 Наименьшее из чисел, пять первых кратных, которого содержат цифру 9.

• 99 Число Капрекара, так как 992=9801, а 98+01=99.

• 100 Наименьший квадрат, равный сумме кубов четырех последовательных чисел.

Заключение

Вывод: В своей работе я постаралась узнать свойства чисел, которые в школьном курсе математики не рассматриваются, произвела вычисления и доказала, что эти числа действительно подчинятся заданным критериям.