Разработка занятия кружка по математике для 10 класса

Разработка занятия кружка по математике для 10 класса

Тема: « Решение задач для нахождения наибольшего и наименьшего значения некоторых выражений»

Цель: совершенствовать навыки составления и решения уравнений по условию задачи.

Учебная задача: научить учащихся по одному или нескольким условиям задачи получить либо дополнительное уравнение, либо выделить единственное решение из многих возможных.

Развивающие задачи:

-развивать творческую сторону мышления, сообразительность и наблюдательность

- учить школьников самостоятельно осуществлять исследовательскую деятельность

Воспитательная задача: формировать навыки умственного труда - поиск рациональных путей решения.

План занятия:

1. Информационный ввод.

Сообщить учащимся тему занятия, цель

2. Актуализация ЗУН.

Повторение:

1) признаки возрастания и убывания функции;

2) критические точки и экстремумы функции

3. Решение задач.

4. Итог занятия.

Ход занятия:

1. Информационный ввод

Сообщается тема занятия и цель

2. Актуализация ЗУН

Устные упражнения:

1. Укажите промежутки возрастания функции

А) f(x) = - 2, б) f(x) = в) f(x) = . г) f(x) = х³ + х² + х

2. Укажите промежутки убывания функции

А) f(x) = -2х² + 5х -3, б) f(x) = - х³ .

3. При каком значении а функция f(x) = х² - ах + 3 убывает на промежутке (-; 7], возрастает на промежутке [7; + ?

4. Укажите наибольшее целое отрицательное число, принадлежащее промежутку возрастания функции f(x) = х +

5. Дана функция f(x) = х³ - (а² - 4)х². При каких значениях а точка х = 0 является точкой максимума этой функции?

6. Точка х =-2 является точкой максимума функции f(x₀) = - х³ - х² - ах. Найдите значение а и определите в этом случае точку минимума этой функции.

3. Решение задач

На первом этапе учащиеся делятся на 2 группы. Каждой группе предлагается разобрать условие задачи 1

Задача 1. Автомобиль выезжает из пункта А и едет с постоянной скоростью v км/ч до пункта В, отстоящего от пункта А на расстояние 24,5 км/ч . В пункте В автомобиль переходит на равнозамедленное движение, причем за каждый час его скорость уменьшается на 54 км/ч , и движется так до полной остановки. Затем автомобиль сразу же поворачивает обратно и возвращается в А с постоянной скоростью v км/ч. Какова должна быть скорость v, чтобы автомобиль за наименьшее время проехал путь от А до полной остановки и обратно до пункта А указанным выше способом?

И записать в виде выражения:

• время, за которое автомобиль проезжает расстояние в 24,5 км

• время в течении которого автомобиль двигался до полной остановки с ускорением 54 км/ч²

• время, затраченное на обратный путь

• полное время движения

Затем идет обсуждение выполненного задания, выбирается верное; и учащиеся приходят к заключению, что: «время движения автомобиля от пункта А до полной остановки и обратно является функцией одной переменной - его скорости на первом участке». После этого оформляется в тетрадях учащихся решение задачи 1:

Решение:

Подсчитаем время, которое затрачивает автомобиль на весь путь от А до полной остановки и обратно:

1. Расстояние 24,5 км автомобиль проезжает за время t₁ = .

2. Вслед за этим он двигался до полной остановки с ускорением 54 км/ч² в течение времени t₂ = , пройдя при этом расстояние, которое можно определить по формуле для равноускоренного движения: S = ·t₂ - _, S = - = .

3. Время t_3? затраченное на обратный путь, равно t₃ = = + .

Поэтому полное время движения автомобиля T = t₁ + t₂ +t₃ = + + ( + ) = +

Таким образом, время движения автомобиля от пункта А до полной остановки и обратно является функцией одной переменной - его скорости на первом участке: T = T() = +

Определим, при каком значении эта функция достигает своего минимума:

T'() = - .

Необходимым условием экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю ее производной - = 0. Находим корни данного уравнения v = ± 42, но учитываем, что > 0. Получается, что при = 42 функция T() имеет минимум, поскольку T'() > 0 при > 42 и T'()< 0 при < 42.

Итак, при скорости 42 км/ч автомобиль, двигаясь указанным выше способом, затратит на весь путь минимально возможное время.

Ответ: 42 км/ч

На втором этапе каждая группа решает предложенную задачу (1 группа получает задачу 2, 2 группа получает задачу 3).

Решение задач записываются на доске и обсуждаются всем классом.

Задача 2. Три бригады должны выполнить работу. Первая бригада делает в день 200 деталей, вторая - на m деталей меньше, чем первая ( 0< m<200), а третья - на 5 m деталей больше, чем первая. Сначала первая и вторая бригады, работая вместе, выполняют всей работы, а затем все три бригады, работая вместе, выполняют оставшиеся

Работы. На сколько деталей в день меньше должна делать вторая бригада, чем первая, чтобы вся работа была выполнена указанным способом как можно скорее?

Решение:

Из условия задачи понятно, что вторая бригада делает в день 200 - m деталей, а третья бригада - 200 + 5 m деталей. Обозначим общее количество деталей, которое нужно сделать через Q. Тогда время всей работы (T) слагается из двух частей:

t₁ = - время работы отдельно первой и второй бригад и t₂ = - время совместной работы всех трех бригад. Итак, T = t₁ + t₂ = + = .

Таким образом, время всей работы T является функцией (t(m)) только одной переменной m.

Найдем, при каком значении m функция t(m) достигает минимума. Решим уравнение t'(m) = 0. t'(m) = = 0.

Откуда m = 125 и при m t'(m) m t'(m)

Итак, при m = 125 функция t(m) действительно достигает минимума.

Значит, работа будет выполнена за наименьшее время, если вторая бригада будет делать на 125 деталей в день меньше, чем первая.

Ответ: на 125 деталей меньше.

Задача 3. Между двумя портами, удаленными друг от друга на расстояние 1200 км, с постоянной скоростью курсирует теплоход. Затраты на рейс в одном направлении слагаются из двух частей. Первая часть, связанная с обслуживанием пассажиров, пропорциональна времени нахождения теплохода в пути, а другая, обусловленная стоимостью топлива, пропорциональна кубу скорости движения. Найти скорость, с которой должен идти теплоход, чтобы затраты на рейс были минимальны, если известно, что при скорости 90 км/ч затраты равны 11,61 тыс. руб., причем стоимость обслуживания пассажиров составляет стоимости топлива.

Решение: Обозначим искомую скорость теплохода через а затраты на рейс через Q. Выразим время движения теплохода в одном направлении : t = (ч)

Из условия задачи имеем : Q = k₁t + k₂ = k₁ · + k₂ , где k₁ и k₂ - коэффициенты пропорциональности. Получается, что Q -является функцией только одной переменной

Для определения k₁ и k₂ используем остальные условия задачи, согласно которым Q(90) = k₁ · + k₂· = 11610 и k₁ · = · k₂· . Получаем систему двух линейных уравнений:

Решая которую, получаем: k₁ = 324, k₂ = 0,01.

Таким образом, затраты на рейс теплохода при скорости движения определяются выражением Q(

Найдем, при каком значении > 0 эта функция достигает минимума. Для этого решим уравнение: Q'( = 0.

Q'( = - = 0.

Получаем, что Кроме того, Q'( при Q'( <0 при Q(

Значит, затраты на рейс будут минимальны при скорости движения 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

После обсуждения решения учитель подводит итог занятия, задавая вопрос учащимся: «Можно ли отметить закономерность решения этих задач?»

4. Итог занятия.

-Рассмотрев эти задачи, можно отметить общую закономерность их решения. В каждой задаче сначала выявлялось выражение, изменение которого позволило бы дать ответ поставленный вопрос.

-В первой задаче это было время всего движения, во второй задаче - время выполнения работы, в третьей - затраты на рейс.

-Затем вводился переменный параметр, от которого это выражение зависело. И таким образом , возникала функция, для которой отыскивалось наибольшее или наименьшее значение.

- Во всех рассмотренных случаях для этой цели использовалась производная

Используемая литература:

1. М.В. Лурье, Б.И. Александров. Задачи на составление уравнений. М. Наука, 1990.

2. Е.В. Алтухова и др. Математика. 5-11 классы: уроки учительского мастерства. Волгоград, Учитель, 2007.

3. Б.Г.Зив, П.И. Алтынов. Алгебра и начала анализа. Геометрия.10-11 кл.: Учебн.- метод.пособие. М. Дрофа,1999