Элективный курс

Методы решения задач с параметрами и модулем

(11 класс, 34 часа)

Пояснительная записка

Необходимость такого курса вызвана несколькими причинами:

• необходимостью формирования логического мышления и математической культуры у школьников;

• тесной взаимосвязью таких задач с физическими процессами и геометрическими закономерностями;

• задания ЕГЭ представлены задачами, которые и определяют цели данного курса.

Практика работы в школе показывает, что задачи с параметрами и модулем представляют для школьников наибольшую трудность, как в логическом так и в техническом плане, поэтому уравнения и неравенства, содержащие параметры и модули - это один из труднейших разделов школьного курса математики. В этом случае, кроме использования алгоритмов решения уравнений или неравенств, приходится думать об удачной классификации, следить за тем, чтобы не пропустить множество тонкостей, спрятанных в задаче. Уравнения и неравенства с параметрами и модулями - это тема, где проверяются знания ученика-понимание им материала. Эти задачи оцениваются более высоким баллом, если включен параметр или модуль, или их конфигурация, и возрастает вдвойне, если задание решено не традиционным, шаблонным, а нестандартным, оригинальным способом.

Данный элективный курс продолжает знакомить учащихся с функционально-графическими методами решения алгебраических задач с параметрами и модулем. В школьной программе этим заданиям мало уделяется времени и элективный курс призван восполнить данный пробел, одновременно призван, не только дополнять и углублять знания учащихся, но и развивать их интерес к предмету, любознательность, логическое мышление.

Решение уравнений, неравенств и систем с параметрами и модулем открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

Элективный курс позволяет значительно сократить разрыв между требованиями, которые предъявляет абитуриенту ВУЗ и требованиями, которые предъявляет к своему выпускнику школа.

Поэтому, особая установка элективного курса - подготовка учащихся к успешной сдаче ЕГЭ

Преподавание элективного курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности - повышенный.

Цели элективного курса

• пробуждение и развитие устойчивого интереса к математике, повышение математической культуры учащихся;

• знакомство учащихся с методами решения различных по формулировке нестандартных задач;

• привитие навыков употребления функционально-графического метода при решении задач;

• расширение и углубление знаний по математике по программному материалу;

• подготовка учащихся к продолжению образования в вузе.

Курс позволяет учащимся глубже познакомиться с нестандартными приемами решения сложных задач, успешно развивает логическое мышление, умение найти среди множества способов решения тот, который комфортен для ученика и рационален. Этот курс требует от учащихся большой самостоятельной работы, способствует подготовке учащихся к продолжению образования, повышения уровня математической культуры.

Содержание элективного курса

1. Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля (2 часа). Что такое модуль числа? Модули и расстояния. Освобождение от модулей в уравнениях. Методы решения уравнений содержащих несколько модулей. Параллельное раскрытие модулей. Метод интервалов в задачах с модулями. Модули и квадраты.

2. Построение графиков, содержащих знак модуля (2 часа). Графики элементарных функций, содержащие знак модуля, как у аргумента, так и у функции; двойные модули; графики уравнений и соответствий, содержащие знак модуля. Знакомство и работа с компьютерными программами для построения графиков.

3. Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений (3 часа). Рациональные уравнения, однородные уравнения, симметрические уравнения, возвратные уравнения. Иррациональные уравнения: простейшие, уравнения с несколькими радикалами, полные квадраты под знаком радикала, домножение на сопряженное, замена переменной, посторонние корни, применение свойств функций. Показательные и логарифмические уравнения, тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

4. Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов (2 часа). Решение неравенств методом интервалов. Неравенства с одним модулем. Освобождение от модуля в неравенствах. Способы решения рациональных неравенств: разложение на множители, выделение полного квадрата, приведение к общему знаменателю и алгебраическое сложение дробей и т.д.

5. Простейшие задачи с параметрами (1 час). Понятие параметра. Две основных формы постановки задачи с параметром. Графическая интерпретация задачи с параметром. Методы решения простейших задач с параметрами.

6. Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена (2 часа). Условия существования корней квадратного трехчлена. Знаки корней. Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки, отрезка. Графическая интерпретация.

7. Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами (2 часа). Решение задач с помощью построения графиков левой и правой части уравнения или неравенства и «считывания» нужной информации с рисунка. Область определения. Множество значений. Четность. Монотонность. Периодичность. Симметрия графика относительно начала координат или оси ординат в зависимости от четности функции.

8. Приемы составления задач с параметрами, используя графики различных соответствий и уравнений. (1 час). Демонстрация приёма составления задач с параметром методом «от картинки к задаче».

9. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств (2 часа). Применение метода оценки левой и правой частей, входящих в уравнение или неравенство. «Полезные неравенства»: сумма двух взаимно обратных чисел, неравенство для суммы синуса и косинуса одного аргумента, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел.

10. Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром у (2 часа). Основные приемы решения уравнений: тождественные преобразования, замена переменной. Равносильность уравнений. Исключение «посторонних» корней. Приемы решения рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.

11. Графический способ решения уравнений и неравенств (2 часа). 12. Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений (2 часа). Основные приемы решения систем уравнений и неравенств: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Системы неравенств с одной и двумя переменными. Сравнение графического и алгебраического способов решения уравнений и неравенств. Уравнения, неравенства и системы с параметрами, их решение и исследование.

13. Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум (2 часа). Производная сложной функции. Производная и касательная. Вторая производная. Исследование функций с помощью производной. Применение производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.

14. Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод областей (4 часа). Перенос метода интервалов с прямой на плоскость. Обобщенный метод областей. Нахождение площади фигур, ограниченных неравенством. Применение метода областей к решению уравнений и неравенств с параметрами и модулем, и их комбинации.

15. Нетрадиционные задачи. Задачи группы "С" из ЕГЭ (5 часов). Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами. Задачи с параметром. От общего к частному и обратно. Задачи с: логическим содержанием. Практикум по решению задач, к группы «С», входящих в контрольно измерительные материалы ЕГЭ. Разбор методов и способов решения заданий.

учебно-тематический план

№ п/п

Название темы

Кол. час.

Формы проведения занятий

Формы контроля

1,2

Понятие модуля. Решение уравнений по определению модуля.

2 ч

Диалог, коллективное обсуждение

Отчет о выполнении групповой работы

3,4

Построение графиков, содержащих знак модуля

2 ч

практикум

Самостоятельная работа Отчет о выполнении индивидуальной работы

5-7

Решение уравнений с переходом к системе или совокупности уравнений.

3 ч

Лекция, практикум. Коллективное обсуждение, групповая работа

Самостоятельная работа. Отчет о выполнении групповой работы

8,9

Рациональные неравенства с модулем. Обобщенный метод интервалов.

2 ч

Беседа, практикум

Собеседование. Тестирование

10

Простейшие задачи с параметрами.

1 ч

Коллективное обсуждение, практикум

Самостоятельная работа. Отчет о выполнении групповой работы

11,12

Задачи с параметром, сводящиеся к использованию квадратного трехчлена.

2 ч

Лекция, практикум

Отчет о выполнении индивидуальной работы

13,14

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами.

2 ч

Коллективное обсуждение, практикум

Собеседование. Отчет о выполнении индивидуальной работы

15

Приемы составления задач с параметрами, используя графики различных соответствий и уравнений.

1 ч

Диалог, коллективное обсуждение

Оценка и коррекция знаний

16,17

Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств.

2 ч

Практикум

Тестирование

18,19

Метод приведения к уравнению относительно неизвестной х с параметром у.

2 ч

Лекция, практикум

Самостоятельная работа. Отчет о выполнении групповой работы

20,21

Графический способ решения уравнений и неравенств.

2 ч

Практикум. Коллективное обсуждение, групповая работа

Самостоятельная работа. Отчет о выполнении групповой работы

22,23

Сочетание графического и алгебраического методов решения уравнений.

2 ч

Практикум

Самостоятельная работа

24,25

Использование производной при решении задач с параметрами. Задачи на максимум и минимум.

2 ч

Диалог, коллективное обсуждение

Отчет о выполнении групповой работы

26-29

Комбинированные задачи с модулем и параметрами. Обобщенный метод областей.

4 ч

Лекция, практикум

Оценка и коррекция знаний

30-34

Задачи раздела "С". КИМ ЕГЭ.

5 ч

Практикум. Уроки самооценки.

Зачет. Оценка и коррекция знаний

Итого:

34 ч

Требования к знаниям и умениям: в результате изучения курса учащиеся должны уметь

• решать линейные и квадратные уравнения с параметром;

• строить графики элементарных функций, и их комбинации, усложненные модулями;

• решать иррациональные, логарифмические, тригонометрические, показательные уравнения с параметром как аналитически, так и графически;

• применять аппарат алгебры и математического анализа для решения прикладных задач;

• иметь четкое представление о возможностях функционально-графического подхода к решению различных задач.

ЛИТЕРАТУРА:

1. П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. - М.: Илскса, Харьков: Гимназия, 2005,

2. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике "Решение задач" (10 класс).-М.: Просвещение 1990

3. Шарыгин И.Ф., Голубев. В. И. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 11 класса средней школы.- М.: Просвещение 1991

Интернет ресурсы