Задания школьного этапа олимпиады по математике с решениями для 9 класса.

Учитель Крюченкова В.М.

Школьный этап Всероссийской предметной олимпиады по математике Задания для 9 класса

№1. Малыш, Карлсон и Винни-пух ели варенье. Они начали одновременно и ели до тех пор , пока варенье не кончилось. Малыш успел съесть только одну девятую часть варенья. Если бы ели только Малыш и и Карлсон, Малышу досталась бы четверть всего варенья. Какая часть варенья досталась Малышу, если бы он ел только с Винни -пухом?.

Решение.

1. Малыш, Карлсон, Винни -пух съели все варенье

Малышу досталось 1/9 часть ,

значит Карлсон и Винни -пух съели 8/9 часть варенья, (то есть они ели как 8 Малышей)

2. Малыш и Карсон едят вместе.

Малышу досталось ¼ часть варенья, тогда Карлсон съел ¾ варенья

(то есть он ел как 3 Малыша).

3. значит Винни - пух ест как 8 - 3 = 5 Малышей.

4.Варенье едят Винни -пух и Малыш( 5частей съел Винни -пух, 1 часть съел Малыш, значит Малышу достанется 1/6 часть

Ответ 1/6 часть.

С

В

А№2. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке О. Площади треугольника АОВ и СОД равны. Доказать, ВС||АД.

Д

Так как площади треугольников равны, то АО *ВО = СО *ОД

То есть = , отсюда следует треугольники ВОС и АОД подобны,

Значит накрест лежащие углы равны, а стороны параллельны ВС||АД.

№3 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 3км/ч навстречу поезду, за 18секунд.Найдите длину поезда в метрах.Решение.

Скорость сближения пешехода и поезда 57 +3 = 60 км/ч.

1м/с = 3,6 км/ч

Значит, длина поезда (60*18) / 3,6 = 300 метров.

№ 4 №5. Для нумерации страниц книге понадобилось 559 цифр.Сколько страниц в книге,если нумерация начинается с его 3-й страницы?

Решение.

Если нумерация начинается с 3 стр., тогда на первые две страницы потратили 0 цифр.

С 3 по 9 страницу использовали 7 цифр.

С 10 по 99страницу использовали 90 * 2 = 180 цифр

559 - (180 +7) = 372 цифры осталось для обозначения страниц с тремя цифрами.

372 :3 =124 страницы.

Итого в книге 124 + 90 +7 +2 = 223 страницы.

Ответ : 223 страницы.

№6 Найдите все целые n, при которых значение выражения 2/(3n+11) значение целое число.

Решение.

Всё выражение должно быть целым числом, то

1). в числителе у нас стоит число 2 - целое число.

2). Рассмотрим знаменатель. Здесь значение знаменателя зависит целиком и полностью только от значения переменной n. Чтобы вся дробь была целым числом, то числитель должен делиться на знаменатель нацело, отсюда:
3)Знаменатель - также целое число.
4)Знаменатель - один из делителей числа 2.
это числа 1, 2, -1, -2 (речь идёт не о натуральных, а о целых числах).
Таким образом, надо решить следующие уравнения:

1) 3n + 11 = 1
3n = -10
n = -10/3 - но n не целое, что противоречит условию задачи, этот случай не подходит
2) 3n + 11 = 2
3n = -9
n = -3 - подходит
3) 3n + 11 = -1
3n = -12
n = -4 - подходит
4) 3n + 11 = -2
3n = -13
n = -13/3 - не целое число, не подходит
Таким образом, искомых значений 2 - n = - 4 и n = -3